Corrigé Exercice 20 : Équations et inéquations du 1er degré à une inconnue 3e

 

Trouvons trois nombres entiers consécutifs tels que la différence entre le carré du plus grand et le produit des deux autres soit égale à $715.$ (on pourra noter ces nombres $x\;,\ x+1\ $ et $\ x+2)$

 

Considérons trois nombres entiers consécutifs :

$$x\;;\ x+1\;;\ x+2$$

Le plus grand de ces trois nombres étant $x+2$ alors, son carré est donné par :

$$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$$

Le produit des deux autres est donc égal à :

$$x\times(x+1)=x^{2}+x$$

On sait que : la différence entre le carré du plus grand et le produit des deux autres est égale à $715.$

 

Cela se traduit mathématiquement par :

$$(x+1)^{2}-x\times(x+1)=715$$

En résolvant cette équation, on trouve la valeur de $x.$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} (x+2)^{2}-x\times(x+1)=715&\Leftrightarrow&x^{2}+4x+4-(x^{2}+x)=715\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}+4x-x^{2}-x=715-4\\\\&\Leftrightarrow&3x=711\\\\&\Leftrightarrow&x=\dfrac{711}{3}\\\\&\Leftrightarrow&x=237\end{array}$

 

Donc, $\boxed{x=237}$

 

Par conséquent, les trois nombres entiers consécutifs tels que la différence entre le carré du plus grand et le produit des deux autres soit égale à $715$ sont :

$$237\quad;\quad 238\quad;\quad 239$$