Solutions des exercices: Série d'exercices sur les limites et continuité 1e S

Exercice 1

Étudier la limite en $x₀$ de la fonction $f$

 1)$ f(x) = x² + x + 1$ ; $x₀ = 2$
 Cette fonction polynomiale est continue partout.
$$\lim_{x\to 2} (x^2 + x + 1) = 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$$

 2) $f(x) = -x² - x + 2$ ; $x₀ = 1$
 Fonction polynomiale continue.
$$\lim_{x\to 1} (-x^2 - x + 2) = -(1)^2 - 1 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$$

 3) $f(x) =\dfrac{x+1}{x}$ ; $x₀ = -2$
 Fonction rationnelle continue en $x₀ = -2$.
$$\lim_{x\to -2} \frac{x+1}{x} = \frac{-2+1}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$$

 4) $f(x) = \dfrac{3x-1}{7x-4}$ ; $x₀ = 1$
 Fonction rationnelle continue en $x₀ = 1$.
$$\lim_{x\to 1} \frac{3x-1}{7x-4} = \frac{3(1)-1}{7(1)-4} = \frac{2}{3}$$

 5) f(x) = $(x²-1)/(x+1)$ ; $x₀ = -1$
 Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On factorise le numérateur.
$$\frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1 \quad \text{(pour } x \neq -1\text{)}$$
$$\lim_{x\to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \lim_{x\to -1} (x-1) = -1-1 = -2$$

 6) $f(x) = \dfrac{x³-8}{x-2}$ ; $x₀ = 2$
 Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On utilise la factorisation $a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)$.
$$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$$
$$\frac{x^3-8}{x-2} = \frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \quad \text{(pour } x \neq 2\text{)}$$
$$\lim_{x\to 2} \frac{x^3-8}{x-2} = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$$

 7) $f(x) =\dfrac{x⁵+1}{x³+1}$ ; $x₀ = -1$
 Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On factorise en utilisant les formules de sommes de puissances.
$$x^5 + 1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$$
$$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$$
$$\frac{x^5+1}{x^3+1} = \frac{(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^4-x^3+x^2-x+1}{x^2-x+1}$$
$$\lim_{x\to -1} = \frac{(-1)^4-(-1)^3+(-1)^2-(-1)+1}{(-1)^2-(-1)+1} = \frac{1+1+1+1+1}{1+1+1} = \frac{5}{3}$$

 8) $f(x) = \dfrac{x²+2x-3}{3x²-2x-1}$ ; $x₀ = 1$
 Forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On factorise les deux polynômes.

Numérateur: $x² + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$

Dénominateur: $3x² - 2x - 1 = (3x+1)(x-1)$

$$\frac{x^2+2x-3}{3x^2-2x-1} = \frac{(x+3)(x-1)}{(3x+1)(x-1)} = \frac{x+3}{3x+1} \quad \text{(pour } x \neq 1\text{)}$$
$$\lim_{x\to 1} = \frac{1+3}{3(1)+1} = \frac{4}{4} = 1$$

 9) $f(x) = \frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$ ; $x₀ = 9$
 Forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$. On rend rationnel le dénominateur.
$$\frac{x-9}{\sqrt{x}-3} = \frac{x-9}{\sqrt{x}-3} \cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} = \frac{(x-9)(\sqrt{x}+3)}{x-9} = \sqrt{x}+3$$
$$\lim_{x\to 9} = \sqrt{9} + 3 = 3 + 3 = 6$$

 10) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}$ ; $x₀ = 3$
 Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On rend rationnel le numérateur.
$$\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2} = \frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)} = \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}$$
$$= \frac{1}{\sqrt{x+1}+2} \quad \text{(pour } x \neq 3\text{)}$$
$$\lim_{x\to 3} = \frac{1}{\sqrt{3+1}+2} = \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$$

 11) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}-2)}{(\sqrt{x+6}-3)}$ ; $x₀ = 3$
 Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On rend rationnel numérateur et dénominateur.

Numérateur: $\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+1}+2} \to x+1-4 = x-3$

Dénominateur: $\frac{\sqrt{x+6}-3}{\sqrt{x+6}+3} \to x+6-9 = x-3$

$$\frac{\sqrt{x+1}-2}{\sqrt{x+6}-3} = \frac{(x-3)/(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)/(\sqrt{x+6}+3)} = \frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+1}+2}$$
$$\lim_{x\to 3} = \frac{\sqrt{3+6}+3}{\sqrt{3+1}+2} = \frac{\sqrt{9}+3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3+3}{2+2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

 12) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x²}-3}$ ; $x₀ = 0$
 Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On rend rationnel le dénominateur.
$$\frac{x}{\sqrt{1+x^2}-3} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+3}{\sqrt{1+x^2}+3} = \frac{x(\sqrt{1+x^2}+3)}{1+x^2-9}$$
$$= \frac{x(\sqrt{1+x^2}+3)}{x^2-8}$$

À x = 0: $\lim_{x\to 0} = \frac{0(\sqrt{1}+3)}{0-8} = \frac{0}{-8} = 0$

 13) $f(x) = \dfrac{x²(x-3)}{x-\sqrt{x+6}}$ ; $x₀ = 3$
 Forme indéterminée $\frac{0}{0}$. On rend rationnel le dénominateur.
$$x - \sqrt{x+6} = \frac{x^2 - (x+6)}{x + \sqrt{x+6}} = \frac{x^2 - x - 6}{x + \sqrt{x+6}}$$
$$= \frac{(x-3)(x+2)}{x + \sqrt{x+6}}$$

$$f(x) = \frac{x^2(x-3)}{\frac{(x-3)(x+2)}{x + \sqrt{x+6}}} = \frac{x^2(x + \sqrt{x+6})}{x+2}$$
$$\lim_{x\to 3} = \frac{9(3 + \sqrt{9})}{5} = \frac{9(3+3)}{5} = \frac{9 \cdot 6}{5} = \frac{54}{5}$$

 14) $f(x) = \dfrac{(2x-\sqrt{x+1}-4)}{(x+1)(x-3)}$ ; $x₀ = 3$
 On vérifie d'abord l'indétermination en $x = 3$:
- Numérateur: $2(3) - \sqrt{4} - 4 = 6 - 2 - 4 = 0$
- Dénominateur: $(4)(0) = 0 $

Forme $\frac{0}{0}$. On rend rationnel le numérateur:
$$2x - \sqrt{x+1} - 4 = \frac{(2x-4)^2 - (x+1)}{2x-4+\sqrt{x+1}}$$
$$= \frac{4x^2 - 16x + 16 - x - 1}{2x-4+\sqrt{x+1}} = \frac{4x^2 - 17x + 15}{2x-4+\sqrt{x+1}}$$
$$= \frac{(x-3)(4x-5)}{2x-4+\sqrt{x+1}}$$

$$f(x) = \frac{(x-3)(4x-5)}{(x+1)(x-3)(2x-4+\sqrt{x+1})} = \frac{4x-5}{(x+1)(2x-4+\sqrt{x+1})}$$
$$\lim_{x\to 3} = \frac{12-5}{4(6-4+2)} = \frac{7}{4 \cdot 4} = \frac{7}{16}$$

 15) $f(x) = \dfrac{x-\sqrt{x+2}}{(\sqrt{4x+1}-3)}$ ; $x₀ = 2$
 Vérification $x = 2$: numérateur $= 2 - 2 = 0$, dénominateur $= \sqrt{9} - 3 = 0$

On rend rationnel numérateur et dénominateur:
$$\frac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3} \cdot \frac{x+\sqrt{x+2}}{x+\sqrt{x+2}} \cdot \frac{\sqrt{4x+1}+3}{\sqrt{4x+1}+3}$$
$$= \frac{(x^2-x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}{(4x+1-9)(x+\sqrt{x+2})} = \frac{(x-2)(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x-2)(x+\sqrt{x+2})}$$
$$= \frac{(x+1)(\sqrt{4x+1}+3)}{4(x+\sqrt{x+2})}$$
$$\lim_{x\to 2} = \frac{3(\sqrt{9}+3)}{4(2+2)} = \frac{3(3+3)}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$

 16) $f(x) = \dfrac{x-\sqrt{x²-x+1}}{2x-\sqrt{4x²+2}}$ ; $x₀ = 0$
 Vérification $x = 0$: numérateur $= 0 - 1 ≠ 0$

En fait, le numérateur tend vers $-1$ et on évalue le dénominateur:
$$\lim_{x\to 0} 2x - \sqrt{4x^2+2} = 0 - \sqrt{2} = -\sqrt{2}$$
$$\lim_{x\to 0} = \frac{0 - 1}{0 - \sqrt{2}} = \frac{-1}{-\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

 17) $f(x) = \dfrac{2}{x²-1} - \dfrac{1}{x-1}$ ; $x₀ = 1$
 On met au même dénominateur.
$$\frac{2}{x^2-1} - \frac{1}{x-1} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} - \frac{1}{x-1}$$
$$= \frac{2 - (x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2 - x - 1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1-x}{(x-1)(x+1)}$$
$$= \frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{-1}{x+1}$$
$$\lim_{x\to 1} = \frac{-1}{1+1} = -\frac{1}{2}$$

 18) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}-\sqrt{3}}{(x²-16)}$ ; $x₀ = 4$
 Vérification $x = 4$: numérateur $= √3 - √3 = 0$, dénominateur $= 16 - 16 = 0$

On rend rationnel le numérateur:
$$\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{3}}{x^2-16} \cdot \frac{\sqrt{x-1}+\sqrt{3}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{3}} = \frac{(x-1)-3}{(x^2-16)(\sqrt{x-1}+\sqrt{3})}$$
$$= \frac{x-4}{(x-4)(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{3})} = \frac{1}{(x+4)(\sqrt{x-1}+\sqrt{3})}$$
$$\lim_{x\to 4} = \frac{1}{8(\sqrt{3}+\sqrt{3})} = \frac{1}{8 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{1}{16\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{48}$$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes

 1) $\lim_{x \to 2} \frac{x²+x-6}{x²-5x+6}$

 Vérification: le numératteur en $2 = 4+2-6 = 0$, le dénominateur en $2 = 4-10+6 = 0$ 

Factorisation:
- Numérateur: $x² + x - 6 = (x+3)(x-2)$
- Dénominateur: $x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

$$\frac{x^2+x-6}{x^2-5x+6} = \frac{(x+3)(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+3}{x-3}$$

$$\lim_{x\to 2} = \frac{2+3}{2-3} = \frac{5}{-1} = -5$$

 2) $\lim_{x \to -2} \frac{x³+x²-8x-12}{x²-4x-12}$

 Vérification: 
- le numérateur en $-2 = -8+4+16-12 = 0$ 
- le dénominateur en $-2 = 4+8-12 = 0 $

Factorisation du dénominateur: $x² - 4x - 12 = (x-6)(x+2)$

Pour le numérateur, puisque $x = -2$ est racine: $x³ + x² - 8x - 12 = (x+2)(x²-x-6) = (x+2)(x-3)(x+2) = (x+2)²(x-3)$

$$\frac{(x+2)^2(x-3)}{(x+2)(x-6)} = \frac{(x+2)(x-3)}{x-6}$$

$$\lim_{x\to -2} = \frac{(-2+2)(-2-3)}{-2-6} = \frac{0 \cdot (-5)}{-8} = 0$$

 3) $\lim_{x\to 0.5} \dfrac{6x³+5x²-x-1}{2x²-9x+4}$

 Vérification à $x = 1/2$:
- numérateur $= 6(1/8) + 5(1/4) - 1/2 - 1 = 3/4 + 5/4 - 1/2 - 1 = 2 - 1/2 - 1 = 1/2 ≠ 0$

- dénominateur $= 2(1/4) - 9(1/2) + 4 = 1/2 - 9/2 + 4 = 1/2 - 9/2 + 8/2 = 0 $

Le dénominateur s'annule mais pas le numérateur:

$$\lim_{x\to 1/2} = \pm\infty$$

Le dénominateur: $2x² - 9x + 4 = (2x-1)(x-4)$

Près de $x = 1/2: (2x-1) → 0$ et $(x-4) → -7/2$

$$\lim_{x\to 1/2^-} = \frac{1/2}{0^- \cdot (-7/2)} = \frac{1/2}{0^+} = +\infty$$

$$\lim_{x\to 1/2^+} = \frac{1/2}{0^+ \cdot (-7/2)} = \frac{1/2}{0^-} = -\infty$$

La limite n'existe pas (limites latérales différentes).

Exercice 3

On compare les degrés du numérateur et du dénominateur et on factorise par la plus haute puissance de \(x\).

a) \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+3x-1}{x^{2}-2}\)

Factorisons par \(x^2\):
\[
\frac{x^{2}(1+\tfrac{3}{x}-\tfrac1{x^2})}{x^{2}(1-\tfrac2{x^2})}
=\frac{1+\tfrac{3}{x}-\tfrac1{x^2}}{1-\tfrac2{x^2}}
\;\longrightarrow\;\frac{1+0-0}{1-0}=1.
\]

b) \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x^{4}+3x^{2}-1}{2x^{4}+x-2}\)

Factorisons par \(x^4\):
\[
\frac{x^4\bigl(1+\tfrac3{x^2}-\tfrac1{x^4}\bigr)}{x^4\bigl(2+\tfrac1{x^3}-\tfrac2{x^4}\bigr)}
=\frac{1+0-0}{2+0-0}=\frac12.
\]

c) \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{5x+3}{x^{2}-4x+1}\)

Le numérateur est de degré 1, le dénominateur de degré 2, donc
\(\tfrac{5x+3}{x^2-\dots}\sim\tfrac{\text{const}\,x}{x^2}=\tfrac{\text{const}}x\to0.\)

d) \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{5x+3}{x^{2}-4x+1}\)

Même raisonnement qu’en c), le signe ne change pas le degré : la limite est \(0\).

e) \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{2}+4x-1}{x+2}\)

Ici le numérateur est de degré 2, le dénominateur de degré 1, donc la fraction croît en valeur absolue comme \(x\). Plus précisément, division euclidienne :
\[
\frac{5x^2+4x-1}{x+2}=5x-6+\frac{11}{x+2}
\]
et pour \(x\to+\infty\), \(5x-6\to+\infty\). Donc la limite est \(+\infty\).

f) \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{2}-x+3}{2x-1}\)

De même degré 2 sur degré 1, la fraction se comporte comme \(2x\) (puisque \(4x^2/(2x)=2x\)). Pour \(x\to-\infty\), \(2x\to -\infty\). Donc la limite est \(-\infty\).

Exercice 4

\(f(x)=\displaystyle \frac{(x+3)(x-2)}{|x-2|}.\)

– Pour \(x>2\), \(|x-2|=x-2\) et
\[
f(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3.
\]
– Pour \(x<2\), \(|x-2|=-(x-2)\) et
\[
f(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{-(x-2)}=-(x+3).
\]
• \(x\to2^+\): \(f(x)\to 2+3=5\).  
• \(x\to2^-\): \(f(x)\to -(2+3)=-5\).  

Les deux limites latérales sont différentes, donc \(\lim_{x\to2}f(x)\) n’existe pas.

Pour \(x\to+\infty\), on est dans la branche \(x+3\), donc \(f(x)\to+\infty\).  
Pour \(x\to-\infty\), on est dans la branche \(-x-3\), donc \(-x-3\to+\infty\).

Exercice 5

\(f(x)=x+\frac{\sqrt{x^2}}{x}=x+\frac{|x|}{x}.\)

Or \(\displaystyle\frac{|x|}{x}=\begin{cases}+1&x>0,\\-1&x<0.\end{cases}\)

– Quand \(x\to0^+\), \(f(x)\approx0+1=1\).  
– Quand \(x\to0^-\), \(f(x)\approx0-1=-1\).

Les deux limites latérales sont différentes, donc \(\lim_{x\to0}f(x)\) n’existe pas.

Exercice 7

1) \(\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\bigl[\sqrt{x^2-x-1}-(x-1)\bigr].\)  
On multiplie par le conjugué :
\[
\sqrt{x^2-x-1}-(x-1)
=\frac{(x^2-x-1)-(x-1)^2}{\sqrt{x^2-x-1}+(x-1)}
=\frac{x^2-x-1-(x^2-2x+1)}{\sqrt{x^2-x-1}+(x-1)}
=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-x-1}+(x-1)}.
\]
Quand \(x\to+\infty\), top \(\sim x\), bas \(\sim 2x\)\;: on obtient \(1/2\).

2) \(\displaystyle L=\lim_{x\to+\infty}\bigl[\sqrt{x^4+x^2+2}-(x^2+x+1)\bigr].\)  
Conjugué :
\[
\frac{(x^4+x^2+2)-(x^2+x+1)^2}
{\sqrt{x^4+x^2+2}+(x^2+x+1)}
\sim\frac{-2x^3}{2x^2}=-x\to-\infty.
\]

3) Même expression, \(x\to-\infty\). On trouve
\[
\sqrt{x^4+\cdots}\sim +x^2,\quad 
(x^2+x+1)^2\sim x^4,
\]
mais l’élan donne \(\sim -2x^3\) au numérateur et le dénominateur \(\sim2x^2\). Donc
\(-2x^3/2x^2=-x\), qui tend vers \(+\infty\) quand \(x\to-\infty\).

4) \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\bigl[\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1}\bigr].\)  
On factorise \(|x|\) : pour \(x\to-\infty\), \(|x|=-x\).  
\[
\sqrt{x^2-x}-\sqrt{x^2-1}
=-x\Bigl[\sqrt{1-\tfrac1x}-\sqrt{1-\tfrac1{x^2}}\Bigr].
\]
Conjugué → résultat \(\displaystyle\tfrac12\).

Exercice 8

(a) \(\displaystyle L_+=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sqrt{x^2+x+1}}{2x-\sqrt{4x^2+x}}.\)  
On met \(x\) en facteur dans chaque racine et on développe par petite puissance de \(1/x\).  
Au final on trouve
\[
L_+=2.
\]

(b) \(\displaystyle L_-=\lim_{x\to-\infty}\frac{x-\sqrt{x^2+x+1}}{2x-\sqrt{4x^2+x}}.\)  
Même méthode (avec \(|x|=-x\)) →  
\[
L_-=\frac12.
\]

(c) \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x-\sqrt{x^2+x+1}}{2x-\sqrt{4x^2+x}}
\quad(\text{redemande }L_+, \;=2).
\)

(d) \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{x-\sqrt{x^2+3}}{x-\sqrt{x^2+x-3}}.\)  
Développement asymptotique donne
\[
\frac{2x+O(1/x)}{2x+O(1)}\longrightarrow1.
\]

Exercice 9

Soit 
\[
f(x)=\frac{2x-1-\sqrt{4x^2+2x-5}}{x-3+\sqrt{3x^2-x+2}}.
\]

1) \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)\).  
On factorise \(x\) dans chaque racine ; on voit que le dénominateur croît comme \((1+\sqrt3)x\) alors que le numérateur tend vers une constante.  
Résultat : \(0\).

2) (Probablement \(\lim_{x\to-\infty}\))  
Pour \(x\to-\infty\), \(\sqrt{4x^2+2x-5}\sim -2x\), \(\sqrt{3x^2-x+2}\sim -\sqrt3\,x\).  
On trouve 
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x)
=\frac{2x-(-2x)}{x+(-\sqrt3\,x)}
=\frac{4x}{x(1-\sqrt3)}
=\frac{4}{1-\sqrt3}
=-2\,(1+\sqrt3).
\]

3) \(\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)\).  
On fait \(x=1+t\), \(t\to0\), et on développe en série première.  
On trouve 
\[
\lim_{x\to1}f(x)=-\frac43.
\]

Exercice 10 : Limites et Prolongement par Continuité

 1) $f(x)=\dfrac{x^{2}-a^{2}}{x-a}$ avec $x_{0}=a$

Étape 1 : Calcul de la limite
Si on remplace directement $x$ par $a$, on obtient $\frac{a^2 - a^2}{a - a} = \frac{0}{0}$. C'est une forme indéterminée. Nous devons simplifier l'expression.

On reconnaît une identité remarquable au numérateur : $x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)$.

$$
f(x) = \frac{(x-a)(x+a)}{x-a}
$$

Pour $x \neq a$, on peut simplifier par $(x-a)$ :
$$
f(x) = x + a
$$

Maintenant, calculons la limite :
$$
\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} (x + a) = a + a = 2a
$$

Étape 2 : Prolongement par continuité
La fonction $f$ n'est pas définie en $a$. Pour la prolonger par continuité, on définit une nouvelle fonction $g$ (ou on garde le nom $f$) telle que $g(a)$ soit égal à la limite que nous venons de trouver.

Le prolongement par continuité est défini par :
$$
\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a \\ 2a & \text{si } x = a \end{cases}
$$

 2) $f(x)=\dfrac{6x^{2}+5x-4}{2x-1}$ avec $x_{0}=\dfrac{1}{2}$

Étape 1 : Calcul de la limite
Si on remplace $x$ par $1/2$ :
Numérateur : $6(1/2)^2 + 5(1/2) - 4 = 6(1/4) + 2.5 - 4 = 1.5 + 2.5 - 4 = 0$.
Dénominateur : $2(1/2) - 1 = 1 - 1 = 0$.
On a encore une forme indéterminée $\frac{0}{0}$.

Cela signifie que $(2x-1)$ est un facteur du numérateur. Factorisons $6x^2 + 5x - 4$.
On cherche les racines ou on effectue une division euclidienne par $(2x-1)$.
$(2x-1)(3x+4) = 6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4$. C'est correct.

Donc :
$$
f(x) = \frac{(2x-1)(3x+4)}{2x-1}
$$

Pour $x \neq 1/2$, on simplifie :
$$
f(x) = 3x + 4
$$

Calculons la limite :
$$
\lim_{x \to 1/2} f(x) = \lim_{x \to 1/2} (3x + 4) = 3\left(\frac{1}{2}\right) + 4 = \frac{3}{2} + \frac{8}{2} = \frac{11}{2}
$$

Étape 2 : Prolongement par continuité
Le prolongement est défini par :
$$
\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq \frac{1}{2} \\ \frac{11}{2} & \text{si } x = \frac{1}{2} \end{cases}
$$

 

Exercice 11 : Étude de la continuité

Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle. Les fonctions polynômes, rationnelles (là où le dénominateur n'est pas nul), et racines carrées sont continues sur leur domaine de définition.

 1) $f(x) = x^{2}-7x+\sqrt{2}$
C'est une fonction polynôme (le $\sqrt{2}$ est juste une constante).
Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (l'ensemble des réels) car c'est une fonction polynôme.

 2) $f(x) = \dfrac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+7x-8}$
C'est une fonction rationnelle. Elle est continue partout où elle est définie. Cherchons les valeurs interdites (dénominateur nul).
$x^2 + 7x - 8 = 0$.
On remarque une racine évidente $x=1$ (car $1+7-8=0$). L'autre racine est $c/a = -8$.
Les valeurs interdites sont $1$ et $-8$.
Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{-8 ; 1\}$.

 3) Fonction définie par morceaux
$$
f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+1}{x+2} & \text{si } x \in [-1 ; 1] \\ \dfrac{3x+3}{x+4} & \text{si } x \in \mathbb{R} \setminus [-1 ; 1] \end{cases}
$$
Les morceaux sont des fonctions rationnelles continues sur leurs domaines respectifs (les valeurs interdites $-2$ et $-4$ ne sont pas dans $[-1;1]$).
Le problème potentiel se situe aux points de raccordement : $x=-1$ et $x=1$.

   En $x = 1$ :
       Limite à gauche ($x \le 1$) : $f(1) = \frac{1+1}{1+2} = \frac{2}{3}$.
       Limite à droite ($x > 1$) : $\lim_{x \to 1^+} \frac{3x+3}{x+4} = \frac{3(1)+3}{1+4} = \frac{6}{5}$.
       $\frac{2}{3} \neq \frac{6}{5}$, donc $f$ n'est pas continue en $1$.

   En $x = -1$ :
       Limite à droite ($x \ge -1$) : $f(-1) = \frac{-1+1}{-1+2} = \frac{0}{1} = 0$.
       Limite à gauche ($x < -1$) : $\lim_{x \to -1^-} \frac{3x+3}{x+4} = \frac{3(-1)+3}{-1+4} = \frac{0}{3} = 0$.
       Les limites sont égales. $f$ est continue en $-1$.

Conclusion : $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

 4) Autre fonction par morceaux
$$
f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{x+1} & \text{si } x \in \mathbb{R}^{-} \\ \dfrac{x^{2}-x}{x+3} & \text{si } x \in \mathbb{R}^{\ast}_{+} \end{cases}
$$
Domaine : Pour $x \le 0$, il faut $x \neq -1$. Pour $x > 0$, le dénominateur $x+3$ ne s'annule pas.
Donc $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
Étudions le raccordement en $x=0$.

   Limite à gauche ($x \le 0$) : $f(0) = \frac{0}{0+1} = 0$.
   Limite à droite ($x > 0$) : $\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2-x}{x+3} = \frac{0-0}{0+3} = 0$.

Les limites sont égales.
Conclusion : $f$ est continue sur son ensemble de définition $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Exercice 12

Pour qu'une fonction définie par morceaux soit continue sur son ensemble de définition, elle doit être continue sur chaque intervalle ouvert défini, et les limites à gauche et à droite aux points de "raccordement" doivent être égales à la valeur de la fonction en ce point.

 1) $f(x)=x+1 \text{ si } x\leq 1$

Analyse :
Cette fonction n'est définie que pour $x \in ]-\infty, 1]$.
Sur cet intervalle, $f(x)$ est une fonction polynomiale (une droite), donc elle est continue partout où elle est définie.

Il n'y a pas de point de raccordement à vérifier car la fonction n'est pas définie pour $x > 1$.

Conclusion :
La fonction est continue sur son ensemble de définition $]-\infty, 1]$.

 2) $\left\lbrace\begin{array}{rclll} f(x) &=& 0 &\text{pour}& x<0 \\ f(x) &=&x& \text{pour}& 0\leq x<1 \\ f(x)&=&3-ax^{2} &\text{si}& x\geq 1\end{array}\right.$

Analyse :
La fonction est définie sur $\mathbb{R}$.
   Sur $]-\infty, 0[$, $f(x)=0$ (continue).
   Sur $]0, 1[$, $f(x)=x$ (continue).
   Sur $]1, +\infty[$, $f(x)=3-ax^2$ (continue).

Nous devons vérifier la continuité aux points de raccordement $x=0$ et $x=1$.

Au point $x=0$ :
   Limite à gauche : $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$
   Limite à droite : $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$
   Valeur en 0 : $f(0) = 0$
Puisque $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$, $f$ est continue en 0.

Au point $x=1$ :
   Limite à gauche : $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} x = 1$
   Limite à droite : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3-ax^2) = 3 - a(1)^2 = 3-a$
   Valeur en 1 : $f(1) = 3-a(1)^2 = 3-a$

Pour que $f$ soit continue en 1, il faut que la limite à gauche soit égale à la limite à droite :
$$1 = 3 - a$$
$$a = 2$$

Conclusion :
   Si $a=2$, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
   Si $a \neq 2$, $f$ est continue sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

 3) $\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& -x^{2}+4x-2 &\text{pour} &1\leq x\leq 3 \\ f(x) &=& 4-x &\text{pour} & x\geq 3 \end{array}\right.$

Analyse :
L'ensemble de définition est $[1, +\infty[$.
Les deux expressions sont des polynômes, donc continus sur leurs intervalles respectifs. Le seul point de raccordement à vérifier est $x=3$.

Au point $x=3$ :
   Limite à gauche (et valeur en 3) :
    $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3) = -(3)^2 + 4(3) - 2 = -9 + 12 - 2 = 1$$
   Limite à droite :
    $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (4-x) = 4 - 3 = 1$$

Puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite ($1 = 1$), la fonction est continue en 3.

Conclusion :
La fonction est continue sur son ensemble de définition $[1, +\infty[$.

 4) $\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x^{2}-a &\text{si} &x<1 \\ f(x) &=& 3x+a &\text{si} & x>1 \\ f(1) &=& b &  & \end{array}\right.$

Analyse :
La fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Le point critique est $x=1$.

Au point $x=1$ :
   Limite à gauche : $\lim_{x \to 1^-} (x^2 - a) = 1 - a$
   Limite à droite : $\lim_{x \to 1^+} (3x + a) = 3(1) + a = 3 + a$
   Valeur en 1 : $f(1) = b$

Pour la continuité en $x=1$, il faut que :
$$\text{Limite à gauche} = \text{Limite à droite} = f(1)$$
$$1 - a = 3 + a = b$$

Résolvons d'abord pour $a$ :
$$1 - a = 3 + a$$
$$-2 = 2a$$
$$a = -1$$

Maintenant, trouvons $b$ en utilisant la valeur de $a$ :
$$b = 1 - (-1) = 2$$
(Vérification : $3 + (-1) = 2$, c'est cohérent).

Conclusion :
   Si $a = -1$ et $b = 2$, la fonction est continue sur $\mathbb{R}$.
   Sinon, la fonction est discontinue en $x=1$.

 5) $\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& x^{2}-ab & \text{si} & x<-2 \\ f(x) &=& 2x+a &\text{si} & -2\leq x<1 \\ f(x) &=& x-a & \text{si} & x\geq 1 \end{array}\right.$

Analyse :
La fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Il y a deux points de raccordement : $x = -2$ et $x = 1$.

Au point $x = 1$ :
   Limite à gauche : $\lim_{x \to 1^-} (2x + a) = 2(1) + a = 2 + a$
   Limite à droite (et valeur) : $f(1) = 1 - a$

Pour la continuité en 1 :
$$2 + a = 1 - a$$
$$2a = -1$$
$$a = -\frac{1}{2}$$

Au point $x = -2$ :
   Limite à gauche : $\lim_{x \to -2^-} (x^2 - ab) = (-2)^2 - ab = 4 - ab$
   Limite à droite (et valeur) : $f(-2) = 2(-2) + a = -4 + a$

Pour la continuité en -2 :
$$4 - ab = -4 + a$$

Nous devons satisfaire les deux conditions simultanément pour que la fonction soit continue partout. Nous savons déjà que $a = -0.5$. Remplaçons $a$ dans la deuxième équation :

$$4 - (-0.5)b = -4 + (-0.5)$$
$$4 + 0.5b = -4.5$$
$$0.5b = -8.5$$
$$b = -17$$

Conclusion :
   Si $a = -\frac{1}{2}$ et $b = -17$, la fonction est continue sur $\mathbb{R}$.
   Si $a = -\frac{1}{2}$ mais $b \neq -17$, la fonction est continue en $x=1$ mais discontinue en $x=-2$.
   Si $a \neq -\frac{1}{2}$, la fonction est discontinue en $x=1$ (et potentiellement en $x=-2$ selon la valeur de $b$).