Solutions des exercices: Série d'exercices sur les transformations du plan 1e S

 Exercice 1 : Généralités 

La correspondance est donnée par le système, où $M(x, y)$ est transformé en $M'(x', y')$ :
$$
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \alpha x+\beta y \\ \\ y' &=& \gamma x+\delta y \end{array}\right.
$$

 1) Application et Transformation

 Cette correspondance est-elle une application de $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}$ ?

Explication :
Une application est une règle qui attribue à chaque point de l'ensemble de départ (ici le plan $\mathcal{P}$) un unique point dans l'ensemble d'arrivée (aussi $\mathcal{P}$).
Puisque $x, y, \alpha, \beta, \gamma, \delta$ sont des nombres réels, les calculs pour $x'$ et $y'$ sont toujours possibles et donnent un unique couple de coordonnées $(x', y')$ pour tout point $M(x, y)$.

Réponse :
Oui, cette correspondance est une application de $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}.$

 A quelle condition est-ce une transformation de $\mathcal{P}$ ?

Explication :
Une application est une transformation si elle est bijective. Cela signifie que :
1.  C'est une application (déjà vérifié).
2.  Chaque point $M'$ du plan d'arrivée est l'image d'un unique point $M$ du plan de départ.

Pour cela, on doit pouvoir résoudre le système pour trouver $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$ (existence de l'antécédent $M$) et que cette solution soit unique (unicité de l'antécédent).

Le système est un système linéaire de deux équations à deux inconnues ($x$ et $y$). Nous utilisons la méthode de substitution ou de combinaison pour isoler $x$ et $y$.

Par exemple, en isolant $x$ et $y$ (méthode générale) :
Multiplions la première équation par $\delta$ et la deuxième par $\beta$ :
$$\begin{array}{lcl} \delta x' &=& \alpha\delta x+\beta\delta y \\ \beta y' &=& \beta\gamma x+\beta\delta y \end{array}$$
Soustrayons les deux équations pour éliminer $y$:
$$\delta x' - \beta y' = (\alpha\delta - \beta\gamma) x$$
Si le coefficient devant $x$ est non nul, on peut trouver $x$ :
$$ x = \frac{\delta x' - \beta y'}{\alpha\delta - \beta\gamma} $$

De même, en multipliant la première par $\gamma$ et la deuxième par $\alpha$ pour éliminer $x$ :
$$\begin{array}{lcl} \gamma x' &=& \alpha\gamma x+\beta\gamma y \\ \alpha y' &=& \alpha\gamma x+\alpha\delta y \end{array}$$
Soustrayons les deux équations :
$$\alpha y' - \gamma x' = (\alpha\delta - \beta\gamma) y$$
Si le coefficient est non nul, on trouve $y$ :
$$ y = \frac{\alpha y' - \gamma x'}{\alpha\delta - \beta\gamma} $$

Pour que la solution $(x, y)$ existe et soit unique pour tout $(x', y')$, il faut que le dénominateur commun (appelé le déterminant du système) soit différent de zéro.

Réponse :
C'est une transformation de $\mathcal{P}$ si et seulement si :
$$
\alpha\delta - \beta\gamma \neq 0
$$

 Déterminer alors la transformation réciproque.

Réponse :
En utilisant les expressions trouvées précédemment, la transformation réciproque est donnée par :
$$
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x &=& \frac{\delta}{\alpha\delta - \beta\gamma} x' - \frac{\beta}{\alpha\delta - \beta\gamma} y' \\ \\ y &=& \frac{-\gamma}{\alpha\delta - \beta\gamma} x' + \frac{\alpha}{\alpha\delta - \beta\gamma} y' \end{array}\right.
$$

 2) Composition de deux transformations

$f_{1}$ (associée à $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1, \delta_1$) et $f_{2}$ (associée à $\alpha_2, \beta_2, \gamma_2, \delta_2$) sont toutes deux des transformations, donc leurs "déterminants" sont non nuls.

 Montrer que $f_{2}\circ f_{1}$ est une transformation de $\mathcal{P}.$

Raisonnement :
La composée de deux applications bijectives est toujours une application bijective.
Puisque $f_1$ est une transformation, elle est bijective. Puisque $f_2$ est une transformation, elle est bijective.
L'application $f_{2}\circ f_{1}$ prend un point $M$ et lui applique $f_1$ pour obtenir $M_1 = f_1(M)$, puis applique $f_2$ à $M_1$ pour obtenir $M' = f_2(M_1)$.

   Pour tout $M'$, on peut trouver un unique antécédent $M_1$ par $f_2$ (car $f_2$ est une transformation).
   Pour cet $M_1$, on peut trouver un unique antécédent $M$ par $f_1$ (car $f_1$ est une transformation).
   Donc, pour tout $M'$, il existe un unique $M$ tel que $M' = f_2(f_1(M))$.

Réponse :
$f_{2}\circ f_{1}$ est la composition de deux transformations (applications bijectives). Par conséquent, $f_{2}\circ f_{1}$ est aussi une application bijective, ce qui en fait une transformation de $\mathcal{P}.$

 Exercice 2 : Domaine de définition

On cherche l'ensemble des points $M(x, y)$ pour lesquels les coordonnées $M'(x', y')$ sont des nombres réels bien définis.

 a) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& x^{2}+y^{2} \\ \\ y' &=& x^{2}-y^{2}\end{array}\right.$

Puisque $x$ et $y$ sont des réels, $x^2$, $y^2$, $x^2+y^2$ et $x^2-y^2$ sont toujours des réels.

Réponse :
Cette correspondance est une application de $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}.$

 b) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \sqrt{x} \\ \\ y' &=& \sqrt{y}\end{array}\right.$

Pour que la racine carrée d'un nombre réel soit un nombre réel, le nombre sous la racine doit être positif ou nul.
   $x'$ est réel si $x \geq 0$.
   $y'$ est réel si $y \geq 0$.

Réponse :
Cette correspondance est une application de l'ensemble des points $M(x, y)$ tels que $x \geq 0$ et $y \geq 0$ (le premier quadrant, bords inclus) vers $\mathcal{P}.$ Elle n'est pas une application de $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}$.

 c) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \dfrac{x}{x^{2}+y^{2}} \\ \\ y' &=& \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}\end{array}\right.$

Pour que les fractions soient définies, le dénominateur $x^2+y^2$ ne doit pas être nul.
$$
x^2 + y^2 = 0 \quad \text{si et seulement si} \quad x=0 \text{ et } y=0
$$
Le seul point qui annule le dénominateur est l'origine $O(0, 0)$.

Réponse :
Cette correspondance est une application de $\mathcal{P}$ privé du point $O(0, 0)$ vers $\mathcal{P}.$

 d) $\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& \sqrt{x^{2}+y^{2}} \\ \\ y' &=& x-y\end{array}\right.$

L'expression $x^2+y^2$ est toujours positive ou nulle, donc $\sqrt{x^2+y^2}$ est toujours un nombre réel bien défini. $x-y$ est aussi toujours un réel.

Réponse :
Cette correspondance est une application de $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}.$

 Exercice 3 : Affinités 

Ce type de transformation est peu fréquent au niveau Première. Nous allons utiliser la géométrie vectorielle de manière explicite.

$f$ est l'application qui transforme $M$ en $M'$ tel que :
1. $H$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de la droite passant par $M$ et parallèle à $\Delta$.
2. $\overrightarrow{HM'} = k \overrightarrow{HM}$ avec $k \neq 0$.

 1) Montrer qu'on a ainsi défini une transformation $f$ du plan.

Explication :
Nous avons montré dans la correction générale que :
   Chaque point $M$ a une image unique $M'$ (Application).
   Chaque point $M'$ a un antécédent unique $M$, car si $\overrightarrow{HM'} = k \overrightarrow{HM}$, alors $\overrightarrow{HM} = \frac{1}{k} \overrightarrow{HM'}$. Comme $k \neq 0$, cette relation est bien définie et $M$ est unique (Bijectivité).

Réponse :
L'unicité de $H$ et la relation vectorielle $\overrightarrow{HM'} = k \overrightarrow{HM}$ garantissent que $M'$ est unique. L'existence et l'unicité de l'antécédent $M$ (via $\overrightarrow{HM} = \frac{1}{k} \overrightarrow{HM'}$) garantissent que l'application est bijective. $f$ est donc une transformation du plan.

 2) Déterminer les points invariants par $f$ et les droites globalement invariantes par $f.$

 Points invariants

$M$ est invariant si $M' = M$, soit $\overrightarrow{HM} = k \overrightarrow{HM}$.
$$ (1-k) \overrightarrow{HM} = \vec{0} $$
   Si $k = 1$, alors $0 \cdot \overrightarrow{HM} = \vec{0}$, ce qui est toujours vrai. Tous les points du plan sont invariants.
   Si $k \neq 1$, il faut que $\overrightarrow{HM} = \vec{0}$, ce qui signifie $M = H$. Puisque $H$ est sur $\mathcal{D}$, les points invariants sont les points de la droite $\mathcal{D}$.

Réponse :
   Si $k=1$, tous les points du plan sont invariants.
   Si $k \neq 1$, les points invariants sont ceux de la droite $\mathcal{D}.$

 Droites globalement invariantes par $f$

Une droite $\mathcal{L}$ est globalement invariante si l'image $f(M)$ appartient à $\mathcal{L}$ pour tout $M \in \mathcal{L}$.

1.  L'axe $\mathcal{D}$ : Si $k \neq 1$, tous les points de $\mathcal{D}$ sont invariants, donc l'image de $\mathcal{D}$ est $\mathcal{D}$ elle-même. $\mathcal{D}$ est globalement invariante.

2.  Droites parallèles à la direction $\Delta$ :
    Soit $\mathcal{L}$ une droite parallèle à $\Delta$. Pour tout $M \in \mathcal{L}$, le point $H$ (intersection de $\mathcal{L}$ et $\mathcal{D}$) est sur $\mathcal{L}$.
    Comme $\overrightarrow{HM'} = k \overrightarrow{HM}$, les points $H, M, M'$ sont alignés. Puisque $H$ et $M$ sont sur $\mathcal{L}$, $M'$ est aussi sur $\mathcal{L}$.

Réponse :
Les droites globalement invariantes sont :
1.  La droite $\mathcal{D}$ (l'axe de l'affinité).
2.  Toutes les droites parallèles à la direction $\Delta$.

 3) Déterminer l'image par $f$ d'une droite.

Comme $f$ est une transformation qui préserve l'alignement (c'est une application affine), l'image d'une droite est une droite.

 Construction de l'image $M'$

1.  Identifier $H$ : Du point $M$, tracer la droite $\mathcal{L}_M$ parallèle à $\Delta$. Le point $H$ est l'intersection de $\mathcal{L}_M$ avec $\mathcal{D}$.
2.  Construire $M'$ : $M'$ est sur la droite $(HM)$. Placer $M'$ tel que le vecteur $\overrightarrow{HM'}$ soit égal à $k$ fois le vecteur $\overrightarrow{HM}$.

 4) Déterminer $f^{-1}.$

Comme nous l'avons montré à la question 1, la relation $\overrightarrow{HM'} = k \overrightarrow{HM}$ est équivalente à $\overrightarrow{HM} = \frac{1}{k} \overrightarrow{HM'}$.
$f^{-1}$ est la transformation qui envoie $M'$ sur $M$. Elle a le même axe $\mathcal{D}$ et la même direction $\Delta$, mais le rapport est l'inverse.

Réponse :
$f^{-1}$ est l'affinité d'axe $\mathcal{D}$, de direction $\Delta$, et de rapport $\frac{1}{k}.$

 5) Donner une expression analytique de $f$ (Repère convenable).

Nous choisissons le repère $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ tel que :
   $O$ est l'intersection de $\mathcal{D}$ et $\Delta$.
   $\mathcal{D}$ est l'axe des abscisses (équation $y=0$).
   $\Delta$ est l'axe des ordonnées (direction du vecteur $\vec{j}$).

Soit $M(x, y)$.
1.  Coordonnées de $H$ : $H$ est le point d'abscisse $x$ sur l'axe $\mathcal{D}$. Donc $H(x, 0)$.
2.  Vecteurs :
    $$\overrightarrow{HM} = \begin{pmatrix} x-x \\ y-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix}$$
    $$\overrightarrow{HM'} = \begin{pmatrix} x'-x \\ y'-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x'-x \\ y' \end{pmatrix}$$
3.  Relation $\overrightarrow{HM'} = k \overrightarrow{HM}$ :
    $$ \begin{pmatrix} x'-x \\ y' \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ ky \end{pmatrix} $$
    Ceci donne :
    $$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' - x &=& 0 \\ y' &=& ky \end{array}\right.$$

Réponse :
L'expression analytique de $f$ dans le repère choisi est :
$$
\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& x \\ \\ y' &=& ky \end{array}\right.
$$