Produit scalaire - 2nd

Classe: 
Seconde

I. Définitions

I.1 Définition 1

Soient u  et  v deux vecteurs non nuls, A un point du plan. Il existe deux points B  et  C tels que AB=u  et  AC=v

 

 
On appelle produit scalaire de u  et  v le réel noté uv=ABAC=AB¯×AH¯=AH¯×AC¯H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et H est le projeté orthogonal de B sur (AC).

 

 

I.2 Définition 2

ABAC=||AB||×||AC||×cos(AB, AC)
 
En effet 
 
ABAC=AB¯×AC¯=AB.AC=||AB||×||AC||×cos(AB, AC)=1

 

 
ABAC=AB¯×AC¯=AB.AC=||AB||×||AC||×cos(AB, AC)=1

 

 
ABAC=AB¯×AA¯=0=||AB||×||AC||×cos(AB, AC)=0

 

 
ABAC=AB¯×AH¯
 
Or, cos(AB, AC)=AH¯AC¯ donc, AH¯=AC.cos(AB, AC)
 
Par suite, ABAC=AB×AC×cos(AB, AC)
 
D'où, ABAC=||AB||×||AC||×cos(AB, AC)

 
 
 
ABAC=AB¯×AH¯=AB×AH
 
Or, cos(AB, AC)=AH¯AC¯=cos(π(AB, AC))=cos(AB, AC)
 
Donc, AH¯=AC.cos(AB, AC)
 
Par suite, ABAC=AB×AC×cos(AB, AC)

D'où, ABAC=||AB||×||AC||×cos(AB, AC)

 
 

 

Activité

Soit ABC un triangle équilatéral de coté 4, de centre G et on désigne par I le milieu du coté [AC].
 
Calculer les produits scalaires ci-dessous.
 
IBAC; IBCI; IGAI; ABAC
 
BIBI; ABAG; GBGC

Résolution 

 
 
IBAC=IB×AC×cos(IB, AC) or (IB, AC)^=90 donc, cos(IB, AC)=0
 
Ainsi, IBAC=IB×AC×cos(IB, AC)=0
 
IBCI=IB×CI×cos(IB, CI)=0 car, (IB)(IC)
 
IGAI=IG×AI×cos(IG, AI)=0 car, (IG)(AI)
ABAC=AB×AC×cos(AB, AC)=4×4×cos(π3)=4×4×12=8
D'où, ABAC=8
 
BIBI=BI2×cos(BI, BI) or d'après théorème de Pythagore on a BI2=BC2IC2=4222=164=12
D'où BIBI=12
ABAG=AB×AG×cos(AB, AG)or  AG=23AH  et  (AB, AG)=(AB, AC)2=4×23AH×cos(π6)or  BH=BI=4×23BI×32=4×23×23×32=8
D'où, ABAG=8 
GBGC=GB×GC×cos(GB, GC)or  (GB, GC)=2(AB, AC)=23BI×23BI×cos(2π3)=49×12×(12) = 83
D'où, GBGC=83

I.3 Propriétés

  uv=vu
 
En effet, uv=||u||.||v||.cos(u, v)
 
vu=||v||.||u||.cos(v, u), or (v, u)=(u, v)
 
Donc, cos(v, u)=cos((u, v))=cos(u, v))
 
D'où, uv=vu
 
  αR, u(αv)=(αuv)=α(uv)
 
  α,βR, (αu)(βv)=(uv)(α.β)
 
  u(v+w)=uv+uw
 
  u0,v0,uv=0uv
 
  ||u+v||2=||u||2+||v||2+2uv
 
  ||uv||2=||u||2+||v||22uv
 
  ||u+v||2+||uv||2=2(||u||2+||u||2)
 
  uu=||u||2

I.4 Expression du produit scalaire dans une base orthonormé

(O i, j) un repère orthonormé direct.
 
||i||=||j||=1
 
ij et ij=0
 
ii=||i||2=1 et jj=||j||2=1
 
Considérons deux vecteurs u(xy) et v(xy) dans cette base.
 
On a : u=xi+yj et v=xi+yj
 
Donc, uv=(xi+yj)(xi+yj)=xx(ii)+xy(ij)=0+xy(ij)=0+yy(jj)
 
D'où, uv=xx+yy

Exercice d'application

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O; i, j). Soit A(12), B(34) et C(21) trois points du plan.
 
1) Déterminer une équation de la médiatrice de [AB]
 
2) Déterminer une équation du cercle de diamètre [BC]

Résolution 


 

 
1) Soit I milieu de [AB]; I(23).
 
N(xy) appartenant à la médiatrice de [AB] alors, IN(x2y3)AB(22).
 
Donc, INAB=0  2(x2)+2(y3)=0 
 
Ainsi, (D) : x+y5=0
 
2) Soit M(xy)(C) alors, BM(x3y4)CM(x+2y1).
BMCMBMCM=0(x3)(x+2)+(y4)(y1)=0x2+y2x5y2=0
D'où (C) : x2+y2x5y2=0

I.5 Distance d'un point à une droite

Soient (D) la droite d'équation ax+by+c=0, M0(x0y0)(D) un point du plan, n(ab) un vecteur normal à (D). Soit H(xHyH) le projeté orthogonal de M0 sur (D).
Nous appelons d(M0, (D)) la distance de M0 à (D).
 
On a : d(M0, (D))=||M0H||

 

 
Calculons M0Hn de deux façons différentes.
 
On a :
M0Hn=||M0H||.||n||.cos(M0H, n)=a(xHx0)+b(yHy0)=axH+byHax0by0
Or, H(D) donc, ses coordonnées vérifient l'équation de la droite (D).
 
axH+byH+c=0, ce qui donne axH+byH=c
 
M0Hn=cax0by0
 
||M0Hn||=|cax0by0|=|ax0+by0+c|
 
On avait ||M0Hn||=||M0H||.||n||
 
donc, ||M0H||=|ax0+by0+c|||n||   

Comme ||n||=a2+b2 alors, d(M0, (D))=||M0H||=|ax0+by0+c|a2+b2

Exemple 

Soit la droite (D) d'équation 2xy+3=0 et A(51) un point du plan.
 
Déterminer d(A, (D))

Résolution 


 

 
Soit n(21) un vecteur normal à (D) alors on a : d(A, (D))=|(2)(5)+(1)(1)+3|22+(1)2=125=1255
 

I.6 Relations d'Alkashi


 

 
Soit ABC un triangle d'angles A^,  B^ et C^ respectivement opposés aux cotés a,  b et c. Nous avons :
 
  a2=b2+c22bc.cosA^
 
  b2=a2+c22ac.cosB^
 
  c2=a2+b22ab.cosC^

Preuve

On a :
BC2=(BA+AC)2=(AB+AC)2=||AB||2+||AC||22ACAB=||AB||2+||AC||22AB.ACcos(AB, AC)
D'où,  a2=b2+c22bc.cosA^
AC2=(AB+BC)2=(BA+BC)2=||BA||2+||BC||22BABC=||BA||2+||BC||22BA.BCcos(BA, BC)
D'où,  b2=c2+a22ac.cosB^
AB2=(AC+CB)2=(CA+CB)2=||CA||2+||CB||22CACB=||CA||2+||CB||22CA.CBcos(CA, CB)
 
D'où,  c2=a2+b22ab.cosC^

I.7 Relation des sinus



 
 
Soit S l'aire du tringle ABC. Considérons HA,  HB et HC les projections orthogonales de A,  B et C sur (BC),  (AC) et (AB) respectivement. On a : sinA^a=sinB^b=sinC^c=2Sabc

Preuve

On a : S=BC×AHA2=AB×CHC2=AC×BHB2 or,
 
sinC^=AHAAC AHA=AC.sinC^=b.sinC^
 
sinB^=CHCBC CHC=BC.sinB^=a.sinB^
 
sinA^=BHBAB BHB=AB.sinA^=c.sinA^
 
Donc, S=BC.b.sinC^2=AB.a.sinB^2=AC.c.sinA^2
 
Ainsi,  S=a.b.sinC^2=c.a.sinB^2=b.c.sinA^2
 
Par suite,  2S=a.b.sinC^=c.a.sinB^=b.c.sinA^
 
D'où,  2Sabc=sinA^a=sinB^b=sinC^c
 
Si de plus nous considérons le cercle C circonscrit au triangle ABC, de centre O (point de rencontre des trois médianes) et de rayon R.

Soit A le symétrique de A par rapport à O. On a : 
 
sinC^=sinAAB^=ABAA  or,  AA=2R  donc,  sinC^=c2R
 
D'où, sinC^c=12R
 

II. Lignes de niveau

Activité

A et B deux points du plan P tels AB=4cm.
 
On définit l'application f f : PRMf(M)=ABAM
 
1) Si C est tel que ABC est équilatérale direct, calculer f(C)
 
2) Déterminer l'ensemble E0 des points M du plan tels que f(M)=0
 
3) Déterminer l'ensemble Ek des points M du plan tels que f(M)=k
 
4) Déterminer l'ensemble E8 des points M du plan tels que f(M)=8

Résolution


 

 
1) Soit f(M)=ABAM
 
On a : f(C)=ABAC=AB×AC×cos(AB, AC)=4×4×12=8
2) E0={MP; f(M)=0}
 
ABAM=0  ABAM
 
E0 est donc la perpendiculaire à (AB) passant par A.
 
3) Soit le repère (A, AB4); xA=0, xB=4

 

 
ABAM=k  AB¯×AH¯k=kHk est le projeté orthogonal de M sur (AB).
AB¯×AH¯k=k(xBxA)(xHkxA)=k4xHk=kxHk=k4
Donc, Ek est la perpendiculaire à (AB) passant par Hk tel que xHk=k4
 
4) f(M)=8 donc E8 est la perpendiculaire à (AB) passant par H8 tel que xH8=84=2.
 
Ainsi, E8 passe par le milieu de [AB] donc c'est la médiatrice de [AB].

Complément

  E={MP; MAMB=0} est le cercle de diamètre [AB].
 
Soit I milieu de [AB] , on a :
MAMB=(MI+IA)(MI+IB)=MI2+MI(IA+IB)=0+IAIB=MI2AB2AB2 = 0 MI2=AB24
Et on retrouve bien le cercle de centre I et de rayon AB2. C'est tout simplement le cercle de diamètre [AB]
 
  E={MP; MAMB=k>0} est le cercle de centre I milieu de  [AB] et de rayon R=k+AB24.
 
En suivant la même approche du raisonnement précédent on obtient :
 
MI2=k+AB24
 
On reconnait bien un cercle de centre I; milieu de [AB] et de rayon R=k+AB24.
 
Et dans un contexte plus général, il suffit juste d'avoir k>AB24 pour que le cercle soit bien défini.
 
  E={MP; ||MA||=||MB||} est la médiatrice du segment [AB].
 
Soit I milieu de [AB] , on a :
||MA||=||MB||||MA||2=||MB||2||MA||2||MB||2=0(MAMB)(MA+MB)=0(MI+IAMIIB)(MI+IA+MI+IB)=02BAMI=0ABMI=0
On reconnait la perpendiculaire à (AB) passant par I. C'est la médiatrice du segment [AB].

Théorème de la médiane


 

 
 
 
Soient I milieu du segment [AB] et M un point du plan tel que MBA soit un triangle. Alors on a :
 
MI=12(MA+MB)
 
MA2+MB2=2MI2+AB22

Preuve

I milieu de [AB], alors I est isobarycentre de A et B, donc on a :
 
MA+MB=2MI  MI=12(MA+MB)
MA2+MB2=(MI+IA)2+(MI+IB)2=MI2+IA2+2MIIA+MI2+IB2+2MIIB=2MI2+IA2+IB2+2MI(IA+IB)
Or, IA=IB=AB2 et IA+IB=0
 
D'où, MA2+MB2=2MI2+AB24+AB24=2MI2+AB22

Travaux Pratiques 

Soit A et B deux points du plan tels que AB=6.
 
Déterminons l'ensemble des points M du plan tels que 2MA2+3MB2=k
 
Soit G barycentre de (A, 2), (B, 3)
 
On a :
2MA2+3MB2=k2(MG+GA)2+3(MG+GB)2=k2(MG2+2MGGA+GA2)+3(MG2+2MGGB+GB2)=k5MG2+4MGGA+6MGGB+2GA2+3GB2=k5MG2+2MG(2GA+3GB)=0+2GA2+3GB2=kMG2=k2GA23GB25
  si k2GA23GB25<0, Ek=
 
  si k2GA23GB25=0, Ek={G}
 
  si k2GA23GB25>0 alors MG=k2GA23GB25
 
D'où, Ek est le cercle de centre G et de rayon r=k2GA23GB25
 
Ek=C(G, k2GA23GB25)
 

 
Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

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