I Limites et Indéterminations

Exercice 1

Examiner $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ dans chacun des cas suivants :

$a)\ f(x)=3x^{2}+5x-7\qquad\qquad b)\ f(x)=-2x^{3}+7x-9$

$c)\ f(x)=\dfrac{5x^{2}+x-3}{x+2}\qquad\qquad d)\ f(x)=\dfrac{2x^{3}+5x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}$

$e)\ f(x)=x^{2}+\sin x\qquad\qquad f)\ f(x)=-x^{3}+\cos(x^{2})$

$g)\ f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\qquad\qquad h)\ f(x)=\sqrt{4x^{2}+1}-2x$

$i)\ f(x)=\sqrt{9x^{2}+x+2}-3x+1\qquad\qquad j)\ f(x)=\dfrac{2x\sqrt{x}+1}{x^{2}+1}$

$k)\ f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+2}-2}\qquad\qquad l)\ f(x)=\sqrt{\dfrac{4x-3}{x+1}}$

Exercice 2

Examiner $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$ dans chacun des cas suivants :

$a)\ f(x)=x\sqrt{\dfrac{2}{x^{2}+1}}\qquad\qquad b)\ f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+2}}{3x-6}$

$c)\ f(x)=\sin\dfrac{1}{x}\qquad\qquad d)\ f(x)=\dfrac{x\cos x}{x^{2}+1}$

Exercice 3

Examiner $\lim\limits_{x\to 0}f(x)$ dans chacun des cas suivants :

$a)\ f(x)=\dfrac{\sin x}{x} \qquad\qquad b)\ f(x)=\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}$

$c)\ f(x)=\dfrac{\sin 4x}{x}\qquad\qquad d)\ f(x)=\dfrac{1-\cos x}{\sin^{2}5x}$

$e)\ f(x)=\dfrac{\sin x+\sin 2x}{\sin x-\sin 2x}\qquad\qquad f)\ f(x)=\dfrac{\sin 3x}{\sqrt{1-\cos 4x}}$

$g)\ f(x)=x^{2}\sin\dfrac{1}{x}\qquad\qquad h)\ f(x)=\dfrac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$

Exercice 4

Calculer les limites suivantes :

$a)\ \lim\limits_{x\to 1} \dfrac{\sin(2x-2)}{x-1} \qquad\qquad b)\ \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x}-1}$

$c)\ \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^{3}-8}{x-2} \qquad\qquad d)\ \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$

$e)\ \lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin 4x}\qquad\qquad f)\ \lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{6}}\dfrac{\sin 6x}{2\cos x-\sqrt{3}}$

$g)\ \lim\limits_{x\to -\tfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{-\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x}\qquad\qquad h)\ \lim\limits_{x\to \tfrac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin x-\cos x}{1-\sin x+\cos x}$

$i)\ \lim\limits_{x\to 2}\dfrac{\sqrt{2x+5}-3}{x^{2}-4}\qquad\qquad j)\ \lim\limits_{x\to -2}\dfrac{x^{2}+6x+8}{x^{2}-4}$$

II Limites et asymptotes

Dans chaque exercice, on note $\mathcal{C}_{i}$ la courbe représentative de la fonction $i$.

Exercice 1

Déterminer les asymptotes à $\mathcal{C}_{f}$ dans chacune des situations suivantes :

$a)\ f(x)=\dfrac{3x+1}{x-1}\qquad\qquad b)\ f(x)=\dfrac{2x^{2}+1}{-x^{2}+4x-3}$

$c)\ f(x)=2x-1+\dfrac{3}{x-2}\qquad\qquad d)\ f(x)=-5x+1-\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x^{2}+1}$

Exercice 2

Démontrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$, $f$ étant définie par : $$f(x)=\dfrac{x^{3}+2}{x^{2}+x+1}$$

Exercice 3

$$f(x)=\dfrac{2x^{2}-x-1}{x+5}$$

1) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ de l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$, $$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x+5}$$

2) En déduire que $\mathcal{C}_{f}$ possède deux droites asymptotes.

Exercice 4

La fonction $h$ est définie sur $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{1}{2}\right\rbrace$ par : $$h(x)=\dfrac{4x^{2}+x-\frac{1}{2}}{2x-1}$$

1) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour $x\in\mathcal{D}$, $$h(x)=ax+b+\dfrac{c}{2x-1}$$

2) En déduire que $\mathcal{C}_{h}$ admet une droite asymptote en $+\infty$ et en $-\infty$

Exercice 5

La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par : $$g(x)=\dfrac{2x^{2}+3x+2}{x+1}$$

Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x+1$ est asymptote à $\mathcal{C}_{g}$

Exercice 6

$$f(x)=\sqrt{x^{2}-6x+10}+2x+2$$
Montrer que les droites d'équations $y=3x-1$ et $y=x+5$ sont asymptotes à $\mathcal{C}_{f}$

Exercice 7

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par : $$f(x)=\dfrac{3x^{2}}{(x-1)^{2}}$$

Étudier les limites de $f$ et les asymptotes éventuelles à $\mathcal{C}_{f}$ en 1, $+\infty$ et $-\infty$

Exercice 8

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}&\text{si}&x\leq 0\\ 2x+1+\dfrac{6}{x-3}&\text{si}& x>0\end{array}\right.$$
1) Montrer que $\lim_{h\rightarrow 0}f(h)=f(0)$

2) Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

3) Montrer que $\mathcal{C}_{f}$ possède trois asymptotes.

Exercice 9

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ par : $$g(x)=\dfrac{x^{3}+6}{5(x+1)}$$
Démontrer que la parabole d'équation $y=\dfrac{1}{5}(x^{2}-x+1)$ est asymptote à $\mathcal{C}_{g}$.

III Limites et continuité

Exercice 1

$f$ et $g$ sont les fonctions définies par : $$f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-3}+\cos x, \quad\ g(x)=\sqrt{x^{2}+x-2}$$

$h$ est la fonction définie de la façon suivante : $$h(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}-x+2&\text{si}&x\leq 1\\-x^{2}+3x+1&\text{si}&x>1\end{array}\right.$$
1) Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont continues sur leurs ensembles de définition.

2) a) Montrer que la fonction $h$ est continue en 1.

b) Montrer que la fonction $h$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Exercice 2

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $$g(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} -x+2&\text{si}&x<1\\ 3x-2&\text{si}&1\leq x<3\\ 2x &\text{si}&x\geq 3\end{array}\right.$$
Étudier la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}$

Exercice 3

1) Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{x-3}{2x}$. $f$ est-elle continue en $x_{0}=1$ ?; en $x_{0}=0$?

2) Soit $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{x-3}{\sqrt{x+2}}$. $f$ est-elle continue en $x_{0}=3$ ?

Exercice 4

1) $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{1-3x}{x-2}&\text{si}&x\in[0;\ 1]\\ \\2\sin\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)&\text{si}&x\in]1;\ 2]\end{array}\right.$$
Étudier la continuité de $f$ en 1.

2) $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}\sin\dfrac{1}{x} & \text{si}&x\neq 0\\ 0 & \text{si}&x=0\end{array}\right.$$
Étudier la continuité de $f$ en 1.

3) $$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-1 & \text{si}&x<2\\ ax^{2}+bx-3 & \text{si}&2\leq x<3\\ x+6 & \text{si}&x\geq 3\end{array}\right.$$
Déterminer $a$ et $b$ pour que $f$ soit continue en 2 et en 3.

Exercice 5

Les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par : $$f(x)=\dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{3x},\qquad\ g(x)=x^{2}E\left(\dfrac{1}{x}\right),\qquad\ h(x)=\dfrac{x^{2}-5}{x}$$ sont-elles prolongeables par continuité en 0 ?

Exercice 6

1) La fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^{2}-4x+3}{x-1}$ est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

Si oui déterminer son prolongement $h$.

2) La fonction $g$ définie par $g(x)=-\dfrac{1}{x^{3}}$ est-elle prolongeable par continuité en 0 ?

IV Indétermination et nombre dérivé

Exercice 1

$c)\ \lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x} \qquad\qquad d)\ \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos 2x-1}{x}$

V Calculs de dérivées

Exercice 1

$c)\ f(x)=3x\sqrt{x}-\dfrac{2x}{x^{2}+1}\qquad\qquad d)\ f(x)=(4x-3)^{5}(7x^{2}+2x+1)^{17}$

$e)\ f(x)=\dfrac{2\sqrt{x}}{x^{2}+x+1}\qquad\qquad f)\ f(x)=\sqrt{x}\sin x$

$g)\ f(x)=\sqrt{x^{2}-10x+21}\qquad\qquad h)\ f(x)=|3x^{2}-7x+4|$

$i)\ f(x)=\dfrac{3x^{2}}{(x-1)^{2}}\qquad\qquad j)\ f(x)=\cos\left(5x+\dfrac{\pi}{6}\right)-3\sin(\pi x)$

Exercice 2

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

a) $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^{2}+x)\cos x$

b) $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\sqrt{2+\cos 2x}$

VI Tangente à une courbe

Dans chaque cas, on note $\mathcal{C}_{i}$ la courbe représentative de la fonction $i$.

Exercice 1

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{-x^{2}+x+1}{x^{2}-4x+5}$.

Soit $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A(2,\ -1)$.

a) Déterminer son équation réduite.

b) Déterminer la position relative de $(T)$ et $\mathcal{C}_{f}$.

Exercice 2

La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}+1$.

Déterminer les équations des tangentes à  $\mathcal{C}_{g}$ aux points d'abscisses 2 et 0.

Exercice 3

La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=x^{3}+3x^{2}+1$.

Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à  $\mathcal{C}_{h}$ au point d'abscisse -1.

Étudier la position de $\mathcal{C}_{h}$ par rapport à $(T)$.

Exercice 4

La fonction $k$ est définie sur $[-2;\ 2]$ par : $k(x)=\sqrt{4-x^{2}}$.

Préciser les demi-tangentes à $\mathcal{C}_{k}$ aux points d'abscisses -2 et 2.

Exercice 5

La fonction $l$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $l(x)=\cos 2x$.

Déterminer les tangentes à $\mathcal{C}_{l}$ parallèles à la droite d'équation $y=-x$.

Exercice 6

Déterminer une fonction polynôme du second degré $(P)$ sachant que sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\dfrac{3}{2}$, passe par le point $A(1;\ 3)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 2.

Exercice 7

Soit $m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $m(x)=2(1-\sin x)\sin x$.

Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à $\mathcal{C}_{l}$ au point d'abscisse $-\pi$.

VII Fonctions polynômes

Exercice 1

Soit $p$ la fonction définie $\mathbb{R}$ par : $p(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$.

1) Étudier le sens de variation de $p$.

2) Montrer que le point $\Omega(-1;\ 11)$ est centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{p}$.

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie $\mathbb{R}$ par : $f(x)=x^{4}-2x^{3}-2x^{2}$.

Étudier le sens de variation de $p$.

Exercice 3

Soit $g$ la fonction définie $\mathbb{R}$ par : $g(x)=\dfrac{1}{4}x^{4}+x^{3}+x^{2}$.

1) Étudier le sens de variation de $g$.

2) Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $x=-1$ est un  axe de symétrie pour $\mathcal{C}_{g}$.

Exercice 4

On considère la fonction polynôme définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$$
Déterminer les réels $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ sachant que la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de $f$ possède, dans le repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$, les propriétés suivantes :

$(\mathcal{C})$ passe par les points $O(0;\ 0)$, $A\left(1;\ -\dfrac{13}{2}\right)$ et $B(2;\ -4)$ et admet en chacun des points $A$ et $B$ une tangente de vecteur directeur $\vec{i}$.

Exercice 5

Démontrer que l'équation $(\mathbf{E})\ :\ x^{3}+5x+1=0$ a une solution réelle unique $\alpha$ puis, que cette solution est située dans l'intervalle $]-0.199;\ -0.198[$.

VIII Fonctions rationnelles et valeur absolue

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\dfrac{(x+2)^{2}-|x+2|}{x-1}$$
1) Déterminer son domaine de définition $D_{f}$.

Écrire $f$ sans le symbole des valeurs absolues et calculer les limites aux bornes de $D_{f}$.

2) Étudier la dérivabilité de $f$ en -2.

3) Calculer sa fonction dérivée $f'$ et dresser son tableau de variation.

Exercice 2

Le plan est rapporté à un repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par : $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x-1}$.

1) Étudier le sens de variation de $f$ puis les limites aux bornes de son ensemble de définition.

2) La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=|x|$.

Expliciter $g\circ f(x)$ et étudier le sens de variation de $g\circ f$. Comment peut-on construire le graphique de $g\circ f$ à partir de celui de $f$ ?

3) Répondre aux mêmes questions pour $f\circ g$.

4) Tracer les représentations graphiques de $f$, $g\circ f$ et $f\circ g$.

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par : $$f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-x-2}$$
$(\mathcal{C})$ est la courbe représentative de $f$ dans un plan rapporté à un repère orthogonal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.

Démontrer que le point $A\left(\dfrac{1}{2};\ 0\right)$ est centre de symétrie de $(\mathcal{C})$

Exercice 4

Le plan est rapporté à un repère $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$.

La fonction $h$ est définie sur $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par : $$h(x)=\dfrac{x^{2}+3x+2}{x-1}$$
1) Étudier le sens de variation de $h$.

2) Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout $x\in D$, $$h(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$$
3) Étudier les limites de $h$ aux bornes de son ensemble de définition et déterminer les droites asymptotes à la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de $h$.

Étudier la position de $\mathcal{C}_{h}$ par rapport à la droite d'équation $y=ax+b$.

4) Montrer que le point $\Omega$ de coordonnées $(1;\ 5)$ est un centre de symétrie pour $\mathcal{C}_{h}$.

5) Tracer $\mathcal{C}_{h}$ et ses asymptotes.

Exercice 5

$\Phi_{(\alpha,\ \beta)}$ est la fonction définie par : $$\Phi_{(\alpha,\ \beta)}(x)=\dfrac{x^{2}+\alpha x+\beta}{x-1}$$
$(\Gamma)$ est la courbe représentative dans un repère orthogonal $(O;\ \vec{i},\ \vec{j})$ de la fonction $\Phi_{(\alpha,\ \beta)}$, notée $\Phi$, répondant aux deux critères suivants :

$\centerdot \ \ (\Gamma)$ passe par le point $I(3;\ 5)$;

$\centerdot \ \ (\Gamma)$ possède une tangente horizontale au point $I$.

1) Déterminer l'écriture explicite de $\Phi(x)$.

2) Laquelle des deux propositions suivantes est-elle vraie ? $$-\ \forall\;x\in\mathbb{R}\setminus\{1\},\ \Phi(x)=x-10+\dfrac{4}{x-1}$$
$$-\ \forall\;x\in\mathbb{R}\setminus\{1\},\ \Phi(x)=x+\dfrac{4}{x-1}$$
3) Étudier $\Phi$ et tracer $(\Gamma)$.

4) Montrer que $A(1;\ 1)$ est centre de symétrie de l'hyperbole $(\Gamma)$.

5) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation paramétrée suivante : $\Phi(x)=m$ où $m$ est un paramètre réel.

IX Équations et inéquations trigonométriques

Exercice 1

1) Résoudre dans $[0;\ 2\pi]$

a) $\cos 2x=-\sin x$

b) $1+\cos 2x+\cos 4x=0$

a) $1-2\cos x=0$

b) $\cos x-\sin x=0$

3) Résoudre dans $\mathbb{R}\setminus\left\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\ k\in\mathbb{Z}\right\rbrace$ $$1-\tan 3x=0$$

4) Résoudre dans $[-\pi;\ \pi]$ $$2\cos x-1\geq 0$$

Exercice 2

1) a) Résoudre dans $[-\pi;\ \pi]$

$\cos 3x=\dfrac{1}{2}$

b) Exprimer $\cos 3x$ en fonction de $\cos x$

2) a) démontrer que $a=\cos \dfrac{\pi}{9}$ , $\ b=\cos \dfrac{7\pi}{9}$ et $c=\cos \dfrac{13\pi}{9}$ sont solutions de $8x^{2}-6x-1=0$

b) Donner les valeurs exactes de $A=a+b+c$, $\ B=abc$ et de $C=ab+ac+bc$

Exercice 3

1) Résoudre dans $\mathbb{R}$ $$\cos 2x-\sin 2x=-1$$

2) Donner les valeurs exactes de $\cos\dfrac{\pi}{12}$, $\ \sin\dfrac{\pi}{12}$ et $\tan\dfrac{\pi}{12}$

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ $$2(2+\sqrt{3})\cos^{2}x+2\sin x\cos x=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}+2+\sqrt{3}$$

X Fonctions trigonométriques

Exercice 1

1) Exprimer $\sin 3x$, $\ \cos 4x$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$.

2) Démontrer que

a) $$\dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\tan \dfrac{x}{2}$$
b) $$\dfrac{1-\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$$

Exercice 2

1) Exprimer $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$ en fonction de $\tan\dfrac{x}{2}$

2) Démontrer que $$\sin \widehat{A}+\sin \widehat{B}+\sin \widehat{C}=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$
3) $$\sin \widehat{A}+\sin \widehat{B}-\sin \widehat{C}=4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$

Exercice 3

1) La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{2}-\cos x$.

Étudier le sens de variation de la fonction dérivée $f'$ de $f$.

Calculer $f'(0)$, en déduire l'étude du signe de $f'(x)$ et le sens de variation de $f$.

2) La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x+\sin 2x$.

Montrer que pour tout réel $m$, l'équation $g(x)=m$ admet une solution unique.

3) La fonction $h$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\sin^{2} x$.

Étudier le sens de variation de la fonction $h$ sur $\left[0;\ \dfrac{\pi}{2}\right]$.

En déduire les variations de $h$ sur $[-2\pi;\ 2\pi]$.

Exercice 4

Soit $f(x)=2\cos^{2}x+\sin 2x$.

1) Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$ ainsi que sa période $T$.

Montrer que $x=\dfrac{\pi}{8}$ est axe de symétrie de $C_{f}$, la courbe représentative de $f$.

Déterminer $D_{E}$ son domaine d'étude.

2) Montrer que $f'(x)=2\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-2x\right)$. Tracer $C_{f}$.

3) Montrer que $\forall\;x\in\left[0;\ \dfrac{\pi}{8}\right]$ on a $\left\lbrace\begin{array}{lll} 0\leq f(x)\leq 2+2x\\ \\ 2x-\dfrac{\pi}{4}+1\leq f(x)\leq 1+\sqrt{2} \end{array} \right.$