Corrigé Bac Maths S1 2e groupe 2016

Exercice 1

1. C35=10, C26=15 et C410=210.
La proposition est fausse, car par exemple C26=15 n'est pa un multiple de 6.
 
2. De la relation Cpn=npCp1n1 on tire : pCpn=nCp1n1.
On y voit que n divise pCpn; donc s'il est premier avec p, il doit d'après Gauss, diviser Cpn.
Cpn est donc multiple de n.
La réciproque est fausse, car par exemple, C410=210 est un multiple de 10 et pourtant 10 et 4 ne sont pas premiers entre eux.
 
3. n étant premier, est premier avec tout entier p compris entre 1 et n1, par conséquent,
Cpn est un multiple de n d'après la question précédente.
Pour tout couple d'entiers (a, b) la formule du binôme entraîne (a+b)n(an+bn)=n1p=1Cpnanpbp
 
c'est donc un multiple de n puisque somme de multiples de n.

Exercice 2

1. a. Si x différent de kπ2 pour tout kZ, alors tanx et tan2x existent et sont non nuls.
 
1tanx2tan2x=cosxsinx2cos2xsin2x=cosxsinxcos2xsin2xsinxcoss=sinxcosx=tanx
 
b. fn(x)=np=012ptanx2p
 
fn(x)=np=012ptanx2p=np=012p(1tanθ2tan2θ) d'après la question précédente, avec θ=x2p=np=012ptan(x/2p)12p1tan(x/2p1=np=0αp+1αp avec α(p)=12p1tan(x/2p1=αn+1α0fn(x)=12ntan(x/2n)2tan2x
 
Mais aussi fn(x)=12ncos(x/2n)sin(x/2n)2cos2xsin2x
 
2. 
In=π3π6fn(t)dt=π3π6(12ncos(t/2n)sin(t/2n)2cos2tsin2t)dt=π3π6(uuvv)dt avec u=sin(t/2n) et v=sin2t=[ln|u|ln|v|]2t0t0 avec t0=π6=lnsin(2t0/2n)lnsin(t0/2n)lnsin(4t0)+lnsin(2t0)=ln(2cos(t0/2n))+0In=ln(2cosπ6×2n)
 
3. Quand n tend vers vers +, π6×2n tend vers 0 donc son cosinus tend vers 1 et limn+In=ln2.

Exercice 3

Dans le repère donné, la conique C a pour équation : 9x24y218x8y31=0.
1. Pour tout point M de coordonnées (x, y) du plan,
MC9(x1)24(y+1)2=36(x1)24(y+1)29=1 
 
C est donc une hyperbole de centre le point 
Ω de coordonnées (1, 1).
2. C a pour équation (x1)2a2(y+1)2b2=1 avce a=2 et b=3
 
Dans le repère R=(Ω; i, j),  C a pour équation x2a2y2b2=1.
Dans R, ses sommets S1 et S2 ont pour coordonnée (a, 0) et (a, 0) ; ses foyers F1 et F2 ont
pour coordonnées respectives (c, 0) et (c, 0) avec c=a2+b2=13, son excentricité est e=ca=132.
Ses axes sont la droite passant par Ω
 et de vecteur directeur i (axe focal) et la droite passant par Ω et de vecteur directeur j.
Ses directrices ont pour équations respectives dans R : x=a2c=41313 et x=a2c=41313.
Ses asymptotes ont pour équations respectives dans R : y=bax=32x et y=bax=32x.
3. Tracer de C voir figure 1.

Exercice 4

1. Puisque Δ est la médiatrice de [OO], SΔ(O)=O; donc fSΔ(O)=f(O)=O.
Puisque f conserve les distance AO=AO, donc A appartient à Δ c'est à dire SΔ(A)=A;
alors fSΔ(A)=f(A)=A.
2. Si fSΔ était l'application identique du plan, on en déduirait que f=S1Δ=SΔ; tous
les points de Δ seraient invariants par f, ce qui est impossible puisque A est l'unique point invariant de f.
3. a. fSΔ est une isométrie distincte de l'application identique du plan et qui conserve les deux points A et O ; c'est donc la réflexion d'axe Δ=(AO)
b. De fSΔ=SΔ on déduit f=SΔS1Δ=SΔSΔ.
f, composée de deux réflexions dont les axes sont sécants en A, est une rotation de centre A.
 

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