Corrigé Bac Maths S1 2e groupe 2016
Exercice 1
1. C35=10, C26=15 et C410=210.
La proposition est fausse, car par exemple C26=15 n'est pa un multiple de 6.
2. De la relation Cpn=npCp−1n−1 on tire : pCpn=nCp−1n−1.
On y voit que n divise pCpn; donc s'il est premier avec p, il doit d'après Gauss, diviser Cpn.
Cpn est donc multiple de n.
La réciproque est fausse, car par exemple, C410=210 est un multiple de 10 et pourtant 10 et 4 ne sont pas premiers entre eux.
3. n étant premier, est premier avec tout entier p compris entre 1 et n−1, par conséquent,
Cpn est un multiple de n d'après la question précédente.
Pour tout couple d'entiers (a, b) la formule du binôme entraîne (a+b)n−(an+bn)=∑n−1p=1Cpnan−pbp
c'est donc un multiple de n puisque somme de multiples de n.
Exercice 2
1. a. Si x différent de kπ2 pour tout k∈Z, alors tanx et tan2x existent et sont non nuls.
1tanx−2tan2x=cosxsinx−2cos2xsin2x=cosxsinx−cos2x−sin2xsinxcoss=sinxcosx=tanx
b. fn(x)=∑np=012ptanx2p
fn(x)=n∑p=012ptanx2p=n∑p=012p(1tanθ−2tan2θ) d'après la question précédente, avec θ=x2p=n∑p=012ptan(x/2p)−12p−1tan(x/2p−1=n∑p=0αp+1−αp avec α(p)=12p−1tan(x/2p−1=αn+1−α0fn(x)=12ntan(x/2n)−2tan2x
Mais aussi fn(x)=12ncos(x/2n)sin(x/2n)−2cos2xsin2x
2.
In=∫π3π6fn(t)dt=∫π3π6(12ncos(t/2n)sin(t/2n)−2cos2tsin2t)dt=∫π3π6(u′u−v′v)dt avec u=sin(t/2n) et v=sin2t=[ln|u|−ln|v|]2t0t0 avec t0=π6=lnsin(2t0/2n)−lnsin(t0/2n)−lnsin(4t0)+lnsin(2t0)=ln(2cos(t0/2n))+0In=ln(2cosπ6×2n)
3. Quand n tend vers vers +∞, π6×2n tend vers 0 donc son cosinus tend vers 1 et lim
Exercice 3
Dans le repère donné, la conique C a pour équation : 9x^{2}-4y^{2}-18x-8y-31=0.
1. Pour tout point M de coordonnées (x,\ y) du plan,
M\in C\Leftrightarrow 9(x-1)^{2}-4(y+1)^{2}=36\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)^{2}}{4}-\dfrac{(y+1)^{2}}{9}=1
C est donc une hyperbole de centre le point
\Omega de coordonnées (1,\ 1).
2. C a pour équation \dfrac{(x-1)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y+1)^{2}}{b^{2}}=1\text{ avce }a=2\text{ et }b=3
Dans le repère R'=(\Omega;\ \vec{i},\ \vec{j}), \ C a pour équation \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Dans R', ses sommets S_{1} et S_{2} ont pour coordonnée (-a,\ 0) et (a,\ 0) ; ses foyers F_{1} et F_{2} ont
pour coordonnées respectives (c,\ 0) et (-c,\ 0) avec c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}, son excentricité est e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}.
Ses axes sont la droite passant par \Omega
et de vecteur directeur \vec{i} (axe focal) et la droite passant par \Omega et de vecteur directeur \vec{j}.
Ses directrices ont pour équations respectives dans R' : x=-\dfrac{a^{2}}{c}=-\dfrac{4\sqrt{13}}{13}\text{ et }x=\dfrac{a^{2}}{c}=\dfrac{4\sqrt{13}}{13}.
Ses asymptotes ont pour équations respectives dans R' : y=-\dfrac{b}{a}x=-\dfrac{3}{2}x\text{ et }y=\dfrac{b}{a}x=\dfrac{3}{2}x.
3. Tracer de C voir figure 1.
Exercice 4
1. Puisque \Delta est la médiatrice de [OO'], S_{\Delta}(O')=O; donc f\circ S_{\Delta}(O')=f(O)=O'.
Puisque f conserve les distance AO=AO', donc A appartient à \Delta c'est à dire S_{\Delta}(A)=A;
alors f\circ S_{\Delta}(A)=f(A)=A.
2. Si f\circ S_{\Delta} était l'application identique du plan, on en déduirait que f=S_{\Delta}^{-1}=S_{\Delta}; tous
les points de \Delta seraient invariants par f, ce qui est impossible puisque A est l'unique point invariant de f.
3. a. f\circ S_{\Delta} est une isométrie distincte de l'application identique du plan et qui conserve les deux points A et O' ; c'est donc la réflexion d'axe \Delta'=(AO')
b. De f\circ S_{\Delta}=S_{\Delta'} on déduit f=S_{\Delta'}\circ S_{\Delta}^{-1}=S_{\Delta'}\circ S_{\Delta}.
f, composée de deux réflexions dont les axes sont sécants en A, est une rotation de centre A.

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