Corrigé Bac Maths S1 2e groupe 2016
Exercice 1
1. C35=10, C26=15 et C410=210.
La proposition est fausse, car par exemple C26=15 n'est pa un multiple de 6.
2. De la relation Cpn=npCp−1n−1 on tire : pCpn=nCp−1n−1.
On y voit que n divise pCpn; donc s'il est premier avec p, il doit d'après Gauss, diviser Cpn.
Cpn est donc multiple de n.
La réciproque est fausse, car par exemple, C410=210 est un multiple de 10 et pourtant 10 et 4 ne sont pas premiers entre eux.
3. n étant premier, est premier avec tout entier p compris entre 1 et n−1, par conséquent,
Cpn est un multiple de n d'après la question précédente.
Pour tout couple d'entiers (a, b) la formule du binôme entraîne (a+b)n−(an+bn)=∑n−1p=1Cpnan−pbp
c'est donc un multiple de n puisque somme de multiples de n.
Exercice 2
1. a. Si x différent de kπ2 pour tout k∈Z, alors tanx et tan2x existent et sont non nuls.
1tanx−2tan2x=cosxsinx−2cos2xsin2x=cosxsinx−cos2x−sin2xsinxcoss=sinxcosx=tanx
b. fn(x)=∑np=012ptanx2p
fn(x)=n∑p=012ptanx2p=n∑p=012p(1tanθ−2tan2θ) d'après la question précédente, avec θ=x2p=n∑p=012ptan(x/2p)−12p−1tan(x/2p−1=n∑p=0αp+1−αp avec α(p)=12p−1tan(x/2p−1=αn+1−α0fn(x)=12ntan(x/2n)−2tan2x
Mais aussi fn(x)=12ncos(x/2n)sin(x/2n)−2cos2xsin2x
2.
In=∫π3π6fn(t)dt=∫π3π6(12ncos(t/2n)sin(t/2n)−2cos2tsin2t)dt=∫π3π6(u′u−v′v)dt avec u=sin(t/2n) et v=sin2t=[ln|u|−ln|v|]2t0t0 avec t0=π6=lnsin(2t0/2n)−lnsin(t0/2n)−lnsin(4t0)+lnsin(2t0)=ln(2cos(t0/2n))+0In=ln(2cosπ6×2n)
3. Quand n tend vers vers +∞, π6×2n tend vers 0 donc son cosinus tend vers 1 et limn→+∞In=ln2.
Exercice 3
Dans le repère donné, la conique C a pour équation : 9x2−4y2−18x−8y−31=0.
1. Pour tout point M de coordonnées (x, y) du plan,
M∈C⇔9(x−1)2−4(y+1)2=36⇔(x−1)24−(y+1)29=1
C est donc une hyperbole de centre le point
Ω de coordonnées (1, 1).
2. C a pour équation (x−1)2a2−(y+1)2b2=1 avce a=2 et b=3
Dans le repère R′=(Ω; →i, →j), C a pour équation x2a2−y2b2=1.
Dans R′, ses sommets S1 et S2 ont pour coordonnée (−a, 0) et (a, 0) ; ses foyers F1 et F2 ont
pour coordonnées respectives (c, 0) et (−c, 0) avec c=√a2+b2=√13, son excentricité est e=ca=√132.
Ses axes sont la droite passant par Ω
et de vecteur directeur →i (axe focal) et la droite passant par Ω et de vecteur directeur →j.
Ses directrices ont pour équations respectives dans R′ : x=−a2c=−4√1313 et x=a2c=4√1313.
Ses asymptotes ont pour équations respectives dans R′ : y=−bax=−32x et y=bax=32x.
3. Tracer de C voir figure 1.
Exercice 4
1. Puisque Δ est la médiatrice de [OO′], SΔ(O′)=O; donc f∘SΔ(O′)=f(O)=O′.
Puisque f conserve les distance AO=AO′, donc A appartient à Δ c'est à dire SΔ(A)=A;
alors f∘SΔ(A)=f(A)=A.
2. Si f∘SΔ était l'application identique du plan, on en déduirait que f=S−1Δ=SΔ; tous
les points de Δ seraient invariants par f, ce qui est impossible puisque A est l'unique point invariant de f.
3. a. f∘SΔ est une isométrie distincte de l'application identique du plan et qui conserve les deux points A et O′ ; c'est donc la réflexion d'axe Δ′=(AO′)
b. De f∘SΔ=SΔ′ on déduit f=SΔ′∘S−1Δ=SΔ′∘SΔ.
f, composée de deux réflexions dont les axes sont sécants en A, est une rotation de centre A.

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