Bac Maths S1 1er groupe 2014
Exercice 1 (5 points)
Une urne contient 9 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche ou rouge. Il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l'urne.On tire au hasard simultanément deux boules dans l'urne et on note leurs couleurs. Soit G l'événement : "Obtenir deux boules de
même couleur."
On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l'urne.
1. On note g(n, b, r) la probabilité en fonction de n, b et r de l'événement G.
Démontrer que g(n, b, r)=172[n(n−1)+b(b−1)+r(r−1)].0.75pt
2. Le but de cette question est de trouver les valeurs de n, b et r pour lesquelles la probabilité g(n, b, r) est minimale.
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; →i, →j, →k). Soient les points N, B et R de coordonnées
respectives (9, 0, 0), (0, 9, 0) et (0, 0, 9). Soit M le point de coordonnées (n, b, r).
a. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (NBR) est : x+y+z−9=0.0.75pt
b. En déduire que M est un point du plan (NBR).0.5pt
c. Démontrer que g(n, b, r)=172(OM2−9).0.5pt
d. Déterminer les coordonnées de H, projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR).1pt
e. En déduire les valeurs de n, b et r pour lesquelles la probabilité g(n, b, r) est minimale.
Justifier alors que cette probabilité minimale est égale à 14.0.5+0.25pt
3. On suppose que le nombre de boules de chaque couleur a été choisi par l'organisateur d'un jeu, de telle sorte que la probabilité de l'événement G soit 14.
Un joueur mise 1000francs puis tire au hasard simultanément deux boules dans l'urne. S'il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit kfrancs. Sinon, il ne reçoit rien.
On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
a. Calculer l'espérance E(X) de la variable X en fonction de k.0.5pt
b. Déterminer la valeur de k pour que le jeu soit équitable c'est à dire pour que E(X)=0.0.25pt
Exercice 2 (5 points)
1. Soient a, b, c des entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
a. Démontrer que a et b sont premiers entre eux si et seulement si a et bn sont premiers entre eux.1pt
b. En déduire que si a et b sont premiers entre eux et si a divise le produit bnc, alors a divise c.0.5pt
2. On se propose dans cette question de déterminer les solutions rationnelles de l'équation suivante :
(E) : 7x3+2x2+2x−5=0
a. Démontrer que l'équation (E) admet une solution réelle unique appartenant à l'intervalle ]0, 1[.1pt
b. En utilisant les résultats de la question 1. b. , démontrer que si (E) admet une solution rationnelle pq où p et q sont des entiers premiers entre eux, alors p divise 5 et q divise 7.1pt
c. Résoudre l'équation (E) dans Q ensemble des rationnels.0.75pt
3. Résoudre l'équation (E) dans C ensemble des nombres complexes.0.75pt
Problème (10 points)
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; →i, →j) d'unité graphique 2cm. Dans tout le problème I désigne l'intervalle ]0, +∞[.
Partie A
Soit f0 la fonction définie sur I par f0(x)=1x.
Pour tout entier naturel n et tout x∈I, on pose fn+1(x)=1x∫x1fn(t)dt et on note Cn la courbe représentative de fn dans le repère (O; →i, →j).
1. a. Montrer que pour tout élément x de I , f1(x)=lnxx.0.75pt
b. Étudier les variations de f0 et de f1 et dresser leur tableau de variations.0.5+0.75pt
2. Déterminer suivant les valeurs de x, les positions relatives de C0 et C1.0.75pt
3. Construire C0 et C1 dans le même repère.0.75pt
4. Calculer l'aire du domaine plan délimité par les courbes C0, C1 et les droites d'équations respectives x=1 et x=e2.1pt
Partie B
Pour tout entier naturel n et tout x∈I, on pose Fn(x)=∫x1fn(t)tdt
1. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n la fonction fn est dérivable sur I.0.75pt
b. Montrer que pour tout n∈N et pour tout x dans I , f′n+1(x)=−fn+1(x)+fn(x)x.0.75pt
2. a. En utilisant la question précédente, montrer que pour tout entier naturel n et pour tout x dans I ,Fn(x)−Fn+1(x)=fn+1(x)0.75pt
b. Vérifier alors que pour tout entier naturel p et tout x∈I on a : p∑n=0fn(x)=f0(x)+F0(x)−Fp(x)0.75pt
3. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul n et tout x∈I,
fn(x)=lnnxn!x.0.75pt
b. Démontrer que pour tout entier naturel n et tout x∈[1, e],
|fn(x)|≤1n!
En déduire que la suite (Fn(e))n∈N est convergente et calculer sa limite.0.25+0.5pt
c. Déduire de la question 2 b. limp→+∞p∑n=01n!1pt
Ajouter un commentaire