BAC S COMPLEXE Reunion_juin 2008

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.
Soit ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon 1.
On considère le point A de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
Déterminer l'affixe $z_{\text{B}}$ du point B image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ du point C image de B par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
Justifier que ($\mathcal{C}$) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré.
Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-2$.
Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par $h$.
Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier.
{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}
Donner l'écriture complexe de $h$.
Calculer $z_{\text{A}} + z_{\text{B}} + z_{\text{C}}$. En déduire que A est le milieu du segment [QR].
Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle ($\mathcal{C}$) ?