Devoir n° 54 - 1e S1
Classe:
Première
Exercice 1
Soit (Un)n≥0 la suite définie par :
{U0=1Un+1=1+1Un
On considére l'équation (E) : x=1+1x
On désigne par l1 et l2 les solutions de (E) avec l1<l2.(On ne demande pas de les calculer)
Soit (Vn) la suite définie par :
∀n∈N, Vn=Un−l2Un−l1
1) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison l1l2
2) En déduire que ∀n∈N, Vn=(l1l2)n+1et Un=ln+21−ln+22ln+11−ln+12
3) Calculer l1 et l2.
En déduire limn→+∞Vnet limn→+∞Un
Exercice 2
Soit f la fonction définie par : f(x)=x3−3x+6(x−1)2
On note par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i , →j
1) Déterminer le domaine de définition Df de f.
2) Calculer les limites de f aux bornes de Df.
En déduire l'équation de l'asymptote verticale.
3) a) Déterminer les réels a, b et c tels que :
∀x∈Df, f(x)=ax+b+c(x−1)2
b) En déduire que (Cf) admet une asymptote oblique (D) en −∞ et en +∞ dont on déterminera son équation.
c) Etudier les positions relatives de de (Cf) par rapport à (D).
4) Montrer que ∀x∈R∖1 , f′(x)=(x−3)(x2+3)(x−1)3
5) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
6) a) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur R et que : −3α<−2
b) En déduire le signe de f
7) Tracer (Cf) ( on précisera les points d'intersection de (Cf) avec les axes du repère).
Problème
Soit f la fonction définie par :
{f(x)=x(x−2)x−1six<0f(x)=x+√|x2−x|six≥0
On note par (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, →i , →j)
1) a) Déterminer le domaine de définition Df de f puis calculer les limites de f aux bornes de Df.
b) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et 1. Interpréter les résultats.
2) Calculer f′(x) sur chaque intervalle où f est dérivable.
3) Résoudre dans ]0; 1[, l'inéquation 2√x−x2+1−2x≤0
En déduire le signe de f′(x) sur ]0;; 1[ puis étudier son signe sur les autres intervalles.
4) Dresser le tableau de variation de f.
5) a) Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique (Δ1) en +∞
b) Etudier la positon relative de (Cf) par rapport à (Δ1) sur ]1; +∞
6) a) Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique (Δ2) en −∞
b) Etudier la positon relative de (Cf) par rapport à (Δ2) sur ]−∞; 0
7) Construire (Cf).
8) Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]1; +∞
a) Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
b) g−1 la bijection réciproque de g est-elle dérivable sur J ? Calculer (g−1)′(2)
c) Expliciter (g−1)(x) pour x∈J
d) Construire (Cg−1) la courbe de g−1 dans le repère (O, →i , →j
Auteur:
Babacar Djité
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