Devoir n° 54 - 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Soit (Un)n0 la suite définie par :
 
{U0=1Un+1=1+1Un
 
On considére l'équation (E) : x=1+1x
 
On désigne par l1 et l2 les solutions de (E) avec l1<l2.(On ne demande pas de les calculer)
 
Soit (Vn) la suite définie par :
 
nN, Vn=Unl2Unl1
 
1) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison l1l2
 
2) En déduire que nN, Vn=(l1l2)n+1et Un=ln+21ln+22ln+11ln+12
 
3) Calculer l1 et l2.
 
En déduire lim

Exercice 2

Soit f la fonction définie par : f(x)=\dfrac{x^{3}-3x+6}{(x-1)^{2}}
 
On note par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}
 
1) Déterminer le domaine de définition Df de f.
 
2) Calculer les limites de f aux bornes de Df.
 
En déduire l'équation de l'asymptote verticale.
 
3) a) Déterminer les réels a\;,\ b et c tels que :
 
\forall\;x\in\;Df\;,\ f(x)=ax+b+\dfrac{c}{(x-1)^{2}}
 
b) En déduire que (Cf) admet une asymptote oblique (D) en -\infty et en +\infty dont on déterminera son équation.
 
c) Etudier les positions relatives de de (Cf) par rapport à (D).
 
4) Montrer que \forall\;x\in\mathbb{R}\setminus{1}\ ,\ f'(x)=\dfrac{(x-3)(x^{2}+3)}{(x-1)^{3}}
 
5) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
 
6) a) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution \alpha sur \mathbb{R} et que : -3 \alpha<-2
 
b) En déduire le signe de f
 
7) Tracer (Cf) ( on précisera les points d'intersection de (Cf) avec les axes du repère).

Problème

Soit f la fonction définie par :
 
\left\lbrace\begin{array}{lllll} f(x) &=& \dfrac{x(x-2)}{x-1} &\text{si} &x<0 \\ \\ f(x) &=& x+\sqrt{|x^{2}-x|} &\text{si} &x\geq 0 \end{array}\right.
 
On note par (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})
 
1) a) Déterminer le domaine de définition Df de f puis calculer les limites de f aux bornes de Df.
 
b) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et 1. Interpréter les résultats.
 
2) Calculer f'(x) sur chaque intervalle où f est dérivable.
 
3) Résoudre dans ]0\;;\ 1[, l'inéquation 2\sqrt{x-x^{2}}+1-2x\leq 0
 
En déduire le signe de f'(x) sur ]0^;;\ 1[ puis étudier son signe sur les autres intervalles.
 
4) Dresser le tableau de variation de f.
 
5) a) Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique (\Delta_{1}) en +\infty
 
b) Etudier la positon relative de (Cf) par rapport à (\Delta_{1}) sur ]1\;;\ +\infty
 
6) a) Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique (\Delta_{2}) en -\infty
 
b) Etudier la positon relative de (Cf) par rapport à (\Delta_{2}) sur ]-\infty\;;\ 0
 
7) Construire (Cf).
 
8) Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]1\;;\ +\infty
 
a) Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
 
b) g^{-1} la bijection réciproque de g est-elle dérivable sur J ? Calculer (g^{-1})'(2)
 
c) Expliciter (g^{-1})(x) pour x\in J
 
d) Construire (Cg^{-1}) la courbe de g^{-1} dans le repère (O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j}
 
Auteur: 
Babacar Djité

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