Devoir n° 54 - 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Soit (Un)n0 la suite définie par :
 
{U0=1Un+1=1+1Un
 
On considére l'équation (E) : x=1+1x
 
On désigne par l1 et l2 les solutions de (E) avec l1<l2.(On ne demande pas de les calculer)
 
Soit (Vn) la suite définie par :
 
nN, Vn=Unl2Unl1
 
1) Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison l1l2
 
2) En déduire que nN, Vn=(l1l2)n+1et Un=ln+21ln+22ln+11ln+12
 
3) Calculer l1 et l2.
 
En déduire limn+Vnet limn+Un

Exercice 2

Soit f la fonction définie par : f(x)=x33x+6(x1)2
 
On note par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j
 
1) Déterminer le domaine de définition Df de f.
 
2) Calculer les limites de f aux bornes de Df.
 
En déduire l'équation de l'asymptote verticale.
 
3) a) Déterminer les réels a, b et c tels que :
 
xDf, f(x)=ax+b+c(x1)2
 
b) En déduire que (Cf) admet une asymptote oblique (D) en et en + dont on déterminera son équation.
 
c) Etudier les positions relatives de de (Cf) par rapport à (D).
 
4) Montrer que xR1 , f(x)=(x3)(x2+3)(x1)3
 
5) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variation.
 
6) a) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α sur R et que : 3α<2
 
b) En déduire le signe de f
 
7) Tracer (Cf) ( on précisera les points d'intersection de (Cf) avec les axes du repère).

Problème

Soit f la fonction définie par :
 
{f(x)=x(x2)x1six<0f(x)=x+|x2x|six0
 
On note par (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i , j)
 
1) a) Déterminer le domaine de définition Df de f puis calculer les limites de f aux bornes de Df.
 
b) Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et 1. Interpréter les résultats.
 
2) Calculer f(x) sur chaque intervalle où f est dérivable.
 
3) Résoudre dans ]0; 1[, l'inéquation 2xx2+12x0
 
En déduire le signe de f(x) sur ]0;; 1[ puis étudier son signe sur les autres intervalles.
 
4) Dresser le tableau de variation de f.
 
5) a) Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique (Δ1) en +
 
b) Etudier la positon relative de (Cf) par rapport à (Δ1) sur ]1; +
 
6) a) Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique (Δ2) en
 
b) Etudier la positon relative de (Cf) par rapport à (Δ2) sur ]; 0
 
7) Construire (Cf).
 
8) Soit g la restriction de f à l'intervalle I=]1; +
 
a) Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à préciser.
 
b) g1 la bijection réciproque de g est-elle dérivable sur J ? Calculer (g1)(2)
 
c) Expliciter (g1)(x) pour xJ
 
d) Construire (Cg1) la courbe de g1 dans le repère (O, i , j
 
Auteur: 
Babacar Djité

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