Devoir n° 51 - 1e S1

 

I. Soit $(E_{m})\ :\;(m^{2}+1)x^{2}+10(m-1)x+40=0$

 

1) Discuter suivant les valeurs de m le nombre de racines et le signe des racines de $(E_{m}).$

 

3) Résoudre dans $\mathbb{R}$ suivant les valeurs de $m$ l'inéquation suivante :

$$(m^{2}+1)x^{2}+10(m-1)x+40\leq 0$$

 

II. Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a :

$$(x-1)^{2}\text{divise}\;nx^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+(n+2)x-n$$

 

III. Résoudre dans $\mathbb{R}$ :$\sqrt{x^{2}-3x+2}\geq x+3$

On note $(E)$ l'équation : $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n}=0\;,\ \text{avec}\;a_{0}\neq 0\;\text{et} \;a_{n}\neq 0$

 

On désigne par $M$ le plus grand des nombres $|\dfrac{a_{1}}{a_{0}}|\;;\ |\dfrac{a_{2}}{a_{0}}|\;;\cdots\;;\ |\dfrac{a_{n}}{a_{0}}|.$

 

Le but du problème est de démontrer que toutes les solutions de $(E)$ si elles existent, sont dans l'intervalle $]-1-M\;;\ 1+M[$

 

1) Démontrer que $(E)$ a les mêmes solutions que l'équation

$$(E')\ :\;\dfrac{a_{1}}{a_{0}x}+\dfrac{a_{2}}{a_{0}x^{2}}+\cdots+\dfrac{a_{n}}{a_{0}x^{n}}=-1$$

 

2) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{\ast}$ par $g(x)=\dfrac{a_{1}}{a_{0}x}+\dfrac{a_{2}}{a_{0} x^{2}}+\cdots+\dfrac{a_{n}}{a_{0}x^{n}}$

 

a) Démontrer que $|g(x)|\leq M\left(\dfrac{1}{|x|}+\dfrac{1}{|x|^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{|x|^{n}}\right).$

 

b) Montrer que pour tout $|x|\geq|1+M|$ :

 

$|g(x)|\leq M\left(\dfrac{1}{1+M}+\dfrac{1}{(1+M)^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{(1+M)^{n}}\right)$

 

En déduire que $\forall\;x\geq 1+M\;,\ |g(x)|<1 \text(inégalité stricte)$

 

c) Démontrer que si $|x|\geq 1+M\;,\ \text{alors}\;x\;\text{n'est pas solutions de}\;(E).$

 

Déduisez-en que les solutions de $(E)$ sont dans l'intervalle $]-1-M\;;\ 1+M[$

 

3) Application :

a) Montrer que l'équation $8x^{5}+4x^{4}-3x^{2}+5x-2=0$, a au moins une solution.

 

b) Montrer que toutes ses solutions sont dans $]-1.625\;;\ 1.625[$

1) Soit $$\begin{eqnarray} f\ :\ \mathbb{R}\times\mathbb{R} &\rightarrow& \mathbb{R}\times\mathbb{R} \nonumber \\ (x\;,\ y) &\mapsto& (x-2y\;,\ x+3y) \nonumber \end{eqnarray}$$

  

a) Montrer que $f$ est une application bijective et déterminer sa bijection réciproque $f^{-1}$

 

b) Déterminer $f\circ f(x\;,\ y)\;,\ \forall\;(x\;,\ y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$

 

2. Soit f une fonction définie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que :

$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y)$$

 

a) Montrer que $f(0)=0$

 

b) En déduire que $f$ est paire.

 

3) Déterminer l'ensemble de définition de la $f$ dans chacun des cas suivants :

 

a) $f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{3x^{2}+5}$

 

b) $f(x)=\dfrac{\sqrt{16-x^{2}}}{\sqrt{x^{2}-4}}$

 

4) Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\mathbb{E}\left[x-2\mathbb{E}\left(\dfrac{x}{2}\right)\right]$

 

Montrer que 2 est une période de $f.$

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ avec $AB=a$ et $AC=2a$ $I$ désigne le milieu de $[AC]$ et $G$ est le barycentre du système $\left\lbrace(A\;;\ 3)\;;(B\;,\ -2)\;;(C\;;\ 1)\right\lbrace.$

 

1) Construire le point $G$ et préciser la nature du quadilatère $ABIG.$

 

Exprimer en fonction de $a$ les distances $GA\;,\ GB$ et $GC.$

 

2) $A$ tout point $M$ du plan, on associe le nombre réel $f(M)=3MA^{2}-2MB^{2}+MC^{2}.$

 

a) Exprimer $f(M)$ en fonction de $MG$ et $a.$

 

b) Déterminer et construire l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ du plan tels que :

$$f(M)=2a^{2}$$

 

3) $A$ tout point $M$ du plan, on associe le nombre réel $h(M)=3MA^{2}-2MB^{2}-MC^{2}.$

 

a) Démontrer qu'il existe un vecteur  $\vec{U}$ non nul tel que $h(M)=\overrightarrow{MB}\cdot\vec{U}-2a^{2}$

 

b) On désigne par $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que $h(M)=-2a^{2}.$

 

Vérifier que les points $I$ et $B$ appartiennent à $(\Delta).$

 

Préciser la nature de $(\Delta)$

 

Construire $(\Delta)$

 

4) $(\Delta)$ et $(\Gamma)$ sont sécants en deux points $E$ et $F.$

 

Montrer que les triangles $GEC$ et $GFC$ sont équilatéraux.