Devoir n° 55 - 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1

Soit f la fonction définie par f(x)=sin2x+2sinx On désigne par (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i , j
 
1) Déterminer Df puis justifier le choix de l'intervalle [0; π] comme l'intervalle d'étude.
 
2) Montrer que f est dérivable sur [0; π] et x[0; π], f(x)=4(cosx12)(cosx+1)
 
3) Dresser le tableau de variation de f sur[0; π]
 
4) Construire (Cf) sur [2π; 2π] (On précisera les tangentes horizontales)

Exercice 2

1) Soient α, β et γ trois réels tels que :
 
α+β+γ=π et απ2+kπ , βπ2+kπ ,γπ2+kπ,kZ
 
Montrer que tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
 
2) Résoudre dans I les équations et inéquations suivantes :
 
a) 4sin2x+2(13)cosx4+3>0, I=[0; 2π]
 
b) |cos2x|=12, I=]π; π] (on représentera les images des solutions sur un cercle
trigonométrique)
 
3) Soit ABC un triangle quelconque. On suppose que sin2A^+sin2B^+sin2C^0
 
Soit O le barycentre du système {(A, sin2A^);(B, sin2B^); (C, sin2C^)}
 
Montrer alors que O est aussi le barycentre du système :
 
{(A, tanB^+tanC^); (B, tanA^+tanC^); (C, tanA^+tanB^)}

Exercice 3

Soit ABCDE un pentagone régulier inscrit dans un cercle trigonométrique.
 
1) En utilisant la relation OA+OB+OC+OD+OE=O,
  
montrer que :
 
a) 1+2(cos2π5+cos4π5)=0
 
b) 1+4cos2π5cos4π5=0
 
2) En déduire les valeurs exactes de cos2π5 et cos4π5

Exercice 4

Soient (C) et (C) deux cercles tangents extérieurement en un point I.
 
Une droite passant par I recoupe (C) en A et (C) en B. Une autre droite passant par I recoupe (C) en C et (C) en D.
 
Montrer que les droites (AC) et (DB) sont parallèles.

Exercice 5

Soient ABC un triangle et (C) le cercle circonscrit au triangle ABC. Soit M un point quelconque de (C)
 
On désigne par I, J et K les projetés orthogonaux de M respectivement sur (AB), (AC) et (BC).
 
Montrer que les points I, J et K sont alignés.
 
NB : La droite contenant I, J et K est appelée la droite de Simson du point M.

Exercice 6

Soient (C) et (C) deux cercles sécants en S et M.
 
Une droite passant par S recoupe (C) en B et (C) en C.
 
Une autre droite passant par S recoupe (C) en P et (C) en N.
 
Les droites (NC) et (BP) se coupent en un point A.
 
Montrer que les points M, A, B et C sont cocycliques.
 
Auteur: 
Babacar Djité

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