Bac Math 1er groupe S1 S3 2011

On considère la suite $(u_{n})$ d'entiers naturels définie par :

 

\begin{eqnarray} u_{0} &=& 27 \nonumber \\ \forall\;n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1} &=& 3u_{n}-4 \nonumber \end{eqnarray}

 

1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}$ et $u_{4}.$

 

Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de $u_{n}$ ?$\quad(2\times 0.25\;pts)$

 

2) Montrer que pour tout entier naturel $n\;,\ u_{n+2}\equiv u_{n}[8]$

 

En déduire que pour tout entier naturel $n\;,\ u_{2n}\equiv 3[8]$ et $u_{2n+1}\equiv 5[8]\quad(0.25+0.5+0.5\;pts)$

 

3) Pour tout entier naturel $n$ on pose : $v_{n}=u_{n}-2$

 

Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.

 

En déduire que pour tout entier naturel $n\;,\ 2u_{n}=50\times 3^{n}+4\quad(2\times 0.25\;pt)$

 

4) Montrer que pour tout entier naturel $n$,

 

Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de $u_{n}$ suivant les valeurs de $n.\quad(0.25+0.75\;pt)$

 

5) Montrer que deux termes consécutifs de la suite $(u_{n})$ sont premiers entre eux.$\quad(0.75\;pt)$

L'espace orienté $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\, \ \vec{j}\ ,\ \vec{k})$

 

Soit $f$ l'application de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{E}$ qui à tout point $M$ de coordonnées $(x\;,\ y\;,\ z)$ associe le point $M'$ de coordonnées $(x'\;,\ y'\;,\ z')$ tel que :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x' &=& y \\ y' &=& z+1 \\ z' &=& x-1 \end{array}\right.$$

 

1) a) Montrer que $f$ est une isométrie. ( c'est à dire que $f$ conserve la distance.) $\quad(0.5\;pt)$

 

b) Montrer que l'ensemble des points invariants par $f$ est la droite $(\Delta)$ passant par le point $A$ de coordonnées $(0\;,\ 0\;,\ -1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\quad(0.5\;pt)$

 

2) Soit $P$ le plan perpendiculaire à $(\Delta)$ en $A.$

 

a) Montrer que le point $I$ de coordonnées $(-1\;,\ 0\;,\ 0)$ appartient à $P\quad(0.5\;pt)$

 

b) Prouver que $I'=f(I)$ appartient à $P. \quad(0.5\;pt)$

 

3) Déterminer la nature de $f$ et ses éléments géométriques caractéristiques.$\quad(0.5\;pt)$

 

4) Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\varepsilon$ d'images $M'$ tels que le milieu $J$ de $[MM']$ appartient :

 

a) au plan $Q$ d'équation cartésienne : $2x+y-z=O\quad(0.75\;pt)$

 

b) à la droite $(D)$ dont un système d'équations cartésiennes est : $x=y=z\quad( 0.75\;pt)$

Partie A

 

Soit $f$ une fonction numérique définie sur l'intervalle $I=[-1\;,\ 1]$ et admettant sur $I$ une dérivée troisième $f'''$ continue. Soit $a$ un point de $I\;,\ a\neq 0.$

 

1) a) Dire pourquoi $f'''$ est bornée ( c'est à dire il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout

$x\in\;I\;,\ m\leq f'''(x)\leq M$ ou il existe un réel $K>0$ tel que pour tout $x\in\;I\;,\ |f'''(x)|\leq K$)

En déduire $$\lim_{a\rightarrow 0}\dfrac{1}{a^{2}}\int_{0}^{a}(a-x)^{2}f'''(x)\mathrm{d}x\quad(0.25+0.5\;pt)$$

 

b) Soit $g$ une fonction numérique définie sur $I$ et admettant sur $I$ une dérivée troisième $g'''$ continue.

 

Quelle est la dérivée de $f''g'-f'g''$ ?

 

En déduire que 

$$(01)\qquad\int_{0}^{a}f'(x)g'''(x)\mathrm{d}x=\left[(f'g''-f''g')(x)\right]_{0}^{a}+\int_{0}^{a}f'''(x)g'(x)\mathrm{d}x\quad(0.25+0.5\;pt)$$

 

2) On prend $g(x)=\dfrac{1}{6}(a-x)^{3}$

 

a) Après avoir calculé $g'(x)\;,\ g''(x)$ et $g'''(x)$ pour $x\in I$, montrer en utilisant la relation (01) que $$f(a)=f(0)+f'(0)a+\dfrac{1}{2}f''(0)a^{2}+\dfrac{1}{2}\int_{0}^{a}(a-x)^{2}f'''(x)\mathrm{d}x\quad(0.5\;pt)$$

 

b) Application

 

En choisissant pour $f$ la fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{x}$, calculer $\lim_{a\rightarrow 0}\dfrac{\mathrm{e}^{a}-a-1}{a^{2}}\quad(0.5\;pt)$

 

3) Dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$ on considère la courbe $\mathcal{C}$ de système d'équations paramétriques :

 

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t) &=& \dfrac{t}{\mathrm{e}^{t}-1} \\ \\ y(t) &=& \dfrac{t}{\mathrm{e}^{t}-1}\mathrm{e}^{t} \end{array}\right.\qquad\text{si}\;t>0\;\text{ et }\;x(0)=y(0)=1$$

 

a) Montrer que les fonctions $x$ et $y$ sont continues au point $0\quad(0.25+0.25\;pt)$

 

b) Vérifier qu'elles sont dérivables en 0. Quelle est la tangente $T_{B}$ à $\mathcal{C}$ au point $B$ de coordonnées $(1\;,\ 1) ?\quad(3\times(0.25\;pt)$

 

Partie B

 

Pour tout entier naturel non nul $n$ on considère la fonction numérique $f_{n}$ définie sur $[0\;,\ +\infty[$

par :

$$f_{n}(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-\left(\mathrm{e}+\dfrac{1}{n}\right)\sqrt{x}$$ 

$\mathcal{C}_{n}$ est sa courbe représentative dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\ ,\ \vec{j})$ (unité graphique $2\;cm$).

 

1) a) Justifier la dérivabilité de $f_{n}$ sur $]0\;,\ +\infty[$ et calculer $f'_{n}(x)$ pour $x>0$.

 

La fonction $f_{n}$ est-elle dérivable au point 0 ?

 

(On pourra utiliser 2)b) de la partie A)$\quad(3\times 0.25\;pt)$

 

b) Calculer $$\lim_{x\rightarrow +\infty}f_{n}(x)\quad\text{puis}\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f_{n}(x)}{x}$$

 

et dresser le tableau de variations de $f_{n}.\quad(3\times 0.25\;pt)$

 

c) Construire dans le repère, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, sa demi-tangente au point d'abscisse 0 et sa tangente au point d'abscisse

 

$\left[\ln(\mathrm{e}+1)\right]^{2}\quad(3\times 0.25\;pt)$

 

2) a) Montrer que l'équation $f_{n}(x)=0$ admet deux solutions $\alpha_{n}$ et $\beta_{n}$ telles que

$$0<\alpha_{n}<1<\beta_{n}\quad(2\times 0.25\;pt)$$

 

b) Soit $b$ un réel positif ou nul. Montrer que $$\int_{0}^{b}\mathrm{e}^{\sqrt{x}}\mathrm{d}x=2(\sqrt{b}-1)\mathrm{e}^{\sqrt{b}}$$

 

Pour cela, on pourra utiliser la formule d'intégration par parties :

$$\int_{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm{d}x=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm{d}x$$

 

en prenant $u(x)=\sqrt{x}\quad(0.5\;pt)$

 

c) Pour tout entier naturel $n$ on pose :  $$I_{n}=\int_{0}^{\alpha_{n}}f_{n}(x)\mathrm{d}x$$

 

Vérifier que $$I_{n}=2+2\left(\mathrm{e}+\dfrac{1}{n}\right)\sqrt{\alpha_{n}}\left(\sqrt{\alpha_{n}}-\dfrac{1}{3}\alpha_{n}-1\right)\quad(0.25\;pt)$$

 

3) Pour tout $x\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$, on pose : $\varphi(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$

 

a) Démontrer que les restrictions $h_{1}$ et $h_{2}$ de $\varphi$ respectivement à chacun des intervalles

 

$V_{1}=]0\;,\ ]$ sont des bijections de $V_{1}$ et $V_{2}$ respectivement sur des intervalles à déterminer.$\quad(0.5\;pt)$

 

On pose $h=h_{2}^{-1}\circ h_{1}$ et on désigne par $C_{h}$ la courbe de $h$ dans le repère.

 

On ne cherchera pas l'expression de $h(x)$ en fonction $x$.

 

b) Vérifier que pour tout entier $n\geq 1\;,\ \mathrm{e}+\dfrac{1}{n}=h_{1}(\sqrt{\alpha_{n}})$; en déduire que la suite $(\alpha_{n})_{n\geq 1}$ est convergente et calculer sa limite. En déduire $\lim_{n\rightarrow +\infty}I_{n}\quad(3\times0.25\;pt)$

 

c) Déterminer de même la limite de la suite $(\beta_{n})_{n\geq 1}\quad(0.25\;pt)$

 

4) Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $M_{n}$ le point du plan de coordonnées $(\sqrt{\alpha_{n}}\;,\ \sqrt{\beta_{n}})$

 

a) Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, le point $M_{n}$ appartient à $C_{h}$ (c'est à dire $h(\sqrt{\alpha_{n}})=\sqrt{\beta_{n}})\quad(0.25\;pt)$

 

b) Déterminer les limites de $h$ aux bornes de son ensemble de définition.

 

Montrer que la fonction $h$ est décroissante.$\quad(2\times 0.25\;pt)$

 

c) Démontrer que $h$ est dérivable dans $]0\;,\ 1[\quad(0.25\;pt)$

 

En remarquant que

$$(02)\qquad \varphi(x)=\varphi(h(x)),$$

 

pour tout $x$ appartenant à $V_{1}$, établir que $$\forall x\in\;]0\;,\ 1[\;,\ h'(x)=\dfrac{x-1}{x}\times\dfrac{h(x)}{h(x)-1}\quad(0.25\;pt)$$

 

5) a) Soit $M(x\;,\ y)$ un point de $C_{h}$ On pose $t=\ln\left(\dfrac{y}{x}\right)$

 

En utilisant la relation (02), montrer que :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} \dfrac{y}{x} &=& \mathrm{e}^{t} \\ \\ y-x &=& t \end{array}\right.$$

 

En déduire que $M$ est le point de $\mathcal{C}$ de paramètre $t.\quad(0.5+0.25\;pt)$

 

b) Réciproquement, vérifier que tout point de $\mathcal{C}$ appartient à $C_{h}\quad(0.5\;pt)$

 

c) Donner une équation de $T_{A}$, tangente à $C_{h}$ au point $A$ d'abscisse $0.4$ (On prendra 2 comme valeur approchée de $h(0.4))$

 

Représenter la courbe $C_{h}$ ainsi que les tangentes $T_{A}$ et $T_{B}\quad(0.25+0.5\;pt)$