Bac Math 2ième groupe S1 S3 2011
Exercice 1 (4 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, →u, →v)
1) Résoudre dans C l'équation :
z2−5(1+i)z+2(1+7i)=0(2pt)
2) Soient a un réel, A et B les points d'affixes respectives zA=3+i et zB=2+4i
On définie l'application fa du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M′ tel que :
→MM′=→MO+a→MA+→MB
Déterminer suivant les valeurs de a, la nature et les éléments géométriques caractéristiques de l'application fa(2pt)
Exercice 2 (4 points)
1) a) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle :
y″−2y′+2y=0(1pt)
b) Soient a, b et c des réels.
Montrer que la solution générale de l'équation, ay″−by′+cy=0 est de la forme x↦ex(c1cosx+c2sinx) où c1 et c2 sont des constantes réelles si et seulement si a, b et c sont proportionnels à 1.2 et 2 (1pt)
2) On lance trois fois de suite un dé dont les faces numérotées de 1 à 6 et on note à chaque fois le numéro de la face de dessus. Chaque numéro a la même probabilité d'apparaitre.
On appelle a, b et c les résultats des premiers, second et troisième jet du dé.
Quelle est la probabilité pour que la solution générale de l'équation différentielle, ay″−by′+cy=0
Soit de la forme x↦ex(c1cosx+c2sinx) où c1 et c2 sont des constantes réelles ?(2pt)
Exercice 3 (4 points)
A et O sont deux points distincts du plan.
On note (Γ) le cercle de diamètre [AO] et I le centre de ce cercle.M est un point de (Γ) distinct des points A et O
Le point N est tel que le triangle MON soit équilatéral direct. Le point G est le centre de gravité du triangle MON
Les droites (AM) et (OG) se coupent en un point M′
1) Placer les points sur une figure (1pt)
2) Montrer que les points I, N et G appartiennent à la médiatrice du segment [MO] tel que le point G est le milieu du segment [OM′](1pt)
3) a) Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe s de centre O transformant M en M′(1pt)
b) Représenter sur la figure le point I′=s(I)
Quel est l'ensemble des points M′ lorsque M décrit le cercle (Γ) privé de A et de O?(1pt)
Exercice 4 (4 points)
1) a) Déterminer les restes respectifs des divisions euclidiennes de 31, 32, 33 par 13.(1pt)
b) En déduire les restes de la division euclidienne par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers naturels(1pt)
2) Déterminer les entiers naturels n tels que An=3n+32n+33n soit divisible par 13.(1pt)
3) Quels sont parmi les nombres 1010100 et 1001001000 écris dans le système de numération de base 3 ceux qui sont divisibles par 13 ?(1pt)
Exercice 5 (4 points)
Soit C la courbe paramétrée définie par
{x(t)=tety(t)=−te−t ,t∈[−1, 1]
1) Exprimer x(−t) et y(−t) en fonction de x(t) et y(t).
En déduire que C admet un axe de symétrie que l'on précisera.(1pt)
2) Étudier les variations de x et de y sur l'intervalle [0, 1](1pt)
Préciser les tangentes à C aux points de paramètres t=0, t=1 et t=−1(1pt)
3) Construire C dans le plan muni d'un repère orthonormé. (Unité graphique 2cm)(1pt)
Ajouter un commentaire