Bac Math 2ième groupe S1 S3 2011

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v})$

 

1) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation :

$$z^2-5(1+\mathrm{i})z+2(1+7\mathrm{i})=0(2pt)$$

 

2) Soient $a$ un réel, $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $z_{A}=3+\mathrm{i}$ et $z_{B}=2+4\mathrm{i}$

 

On définie l'application $f_{a}$ du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que :

$$\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{MO}+a\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$$

 

Déterminer suivant les valeurs de $a$, la nature et les éléments géométriques caractéristiques de l'application $f_{a}\quad(2\;pt)$

1) a) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle :

$$y^{″}-2y^{\prime }+2y=0(1pt)$$

 

b) Soient $a\;,\ b$ et $c$ des réels.

 

Montrer que la solution générale de l'équation, $ay''-by'+cy=0$ est de la forme $x\mapsto\mathrm{e}^{x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)$ où $c_{1}$ et $c_{2}$ sont des constantes réelles si et seulement si $a\;,\ b$ et $c$ sont proportionnels à 1.2 et 2 $\quad(1\;pt)$

 

2) On lance trois fois de suite un dé dont les faces numérotées de 1 à 6 et on note à chaque fois le numéro de la face de dessus. Chaque numéro a la même probabilité d'apparaitre.

 

On appelle $a\;,\ b$ et $c$ les résultats des premiers, second et troisième jet du dé.

 

Quelle est la probabilité pour que la solution générale de l'équation différentielle, $ay''-by'+cy=0$

Soit de la forme $x\mapsto\mathrm{e}^{x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)$ où $c_{1}$ et $c_{2}$ sont des constantes réelles ?$\quad(2\;pt)$

 

$A$ et $O$ sont deux points distincts du plan.

 

On note $(\Gamma)$ le cercle de diamètre $[AO]$ et $I$ le centre de ce cercle.$M$ est un point de $(\Gamma)$ distinct des points $A$ et $O$

 

Le point $N$ est tel que le triangle $MON$ soit équilatéral direct. Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $MON$

 

Les droites $(AM)$ et $(OG)$ se coupent en un point $M'$

 

1) Placer les points sur une figure $\quad(1\;pt)$

 

2) Montrer que les points $I\;,\ N$ et $G$ appartiennent à la médiatrice du segment $[MO]$ tel que le point $G$ est le milieu du segment $[OM']\quad(1\;pt)$

 

3) a) Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe $s$ de centre $O$ transformant $M$ en $M'\quad(1\;pt)$

 

b) Représenter sur la figure le point $I'=s(I)$

 

Quel est l'ensemble des points $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle $(\Gamma)$ privé de $A$ et de $O  ?\quad(1\;pt)$

1) a) Déterminer les restes respectifs des divisions euclidiennes de $3^{1}\;,\ 3^{2}\;,\ 3^{3}$ par 13.$\quad(1\;pt)$

 

b) En déduire les restes de la division euclidienne par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers naturels$\quad(1\;pt)$

 

2) Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $A_{n}=3^{n}+3^{2n}+3^{3n}$ soit divisible par 13.$\quad(1\;pt)$

 

3) Quels sont parmi les nombres 1010100 et 1001001000 écris dans le système de numération de base 3 ceux qui sont divisibles par 13 ?$\quad(1\;pt)$

 

Soit $C$ la courbe paramétrée définie par 

$$\{\begin{array}{lcl}x(t)& =& t{\mathrm{e}}^t\\ y(t)& =& -t{\mathrm{e}}^{-t}\end{array},t\in [-1,1]$$

 

1) Exprimer $x(-t)$ et $y(-t)$ en fonction de $x(t)$ et $y(t)$.

 

En déduire que $C$ admet un axe de symétrie que l'on précisera.$\quad(1\;pt)$

 

2) Étudier les variations de $x$ et de $y$ sur l'intervalle $[0\;,\ 1]\quad(1\;pt)$

 

Préciser les tangentes à $C$ aux points de paramètres $t=0\;,\ t=1$ et $t=-1\quad(1\;pt)$

 

3) Construire $C$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. (Unité graphique $2\;cm)\quad(1\;pt)$