Bac Math 2ième groupe S1 S3 2011

Exercice 1 (4 points)

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, u, v)
 
1) Résoudre dans C l'équation :
z25(1+i)z+2(1+7i)=0(2pt)
 
2) Soient a un réel, A et B les points d'affixes respectives zA=3+i et zB=2+4i
 
On définie l'application fa du plan dans lui-même qui à tout point M associe le point M tel que :
MM=MO+aMA+MB
 
Déterminer suivant les valeurs de a, la nature et les éléments géométriques caractéristiques de l'application fa(2pt)

Exercice 2 (4 points)

1) a) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle :
y2y+2y=0(1pt)
 
b) Soient a, b et c des réels.
 
Montrer que la solution générale de l'équation, ayby+cy=0 est de la forme xex(c1cosx+c2sinx)c1 et c2 sont des constantes réelles si et seulement si a, b et c sont proportionnels à 1.2 et 2 (1pt)
 
2) On lance trois fois de suite un dé dont les faces numérotées de 1 à 6 et on note à chaque fois le numéro de la face de dessus. Chaque numéro a la même probabilité d'apparaitre.
 
On appelle a, b et c les résultats des premiers, second et troisième jet du dé.
 
Quelle est la probabilité pour que la solution générale de l'équation différentielle, ayby+cy=0
Soit de la forme xex(c1cosx+c2sinx)c1 et c2 sont des constantes réelles ?(2pt)
 

Exercice 3 (4 points)

A et O sont deux points distincts du plan.
 
On note (Γ) le cercle de diamètre [AO] et I le centre de ce cercle.M est un point de (Γ) distinct des points A et O
 
Le point N est tel que le triangle MON soit équilatéral direct. Le point G est le centre de gravité du triangle MON
 
Les droites (AM) et (OG) se coupent en un point M
 
1) Placer les points sur une figure (1pt)
 
2) Montrer que les points I, N et G appartiennent à la médiatrice du segment [MO] tel que le point G est le milieu du segment [OM](1pt)
 
3) a) Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe s de centre O transformant M en M(1pt)
 
b) Représenter sur la figure le point I=s(I)
 
Quel est l'ensemble des points M lorsque M décrit le cercle (Γ) privé de A et de O?(1pt)

Exercice 4 (4 points)

1) a) Déterminer les restes respectifs des divisions euclidiennes de 31, 32, 33 par 13.(1pt)
 
b) En déduire les restes de la division euclidienne par 13 des différentes puissances de 3 à exposants entiers naturels(1pt)
 
2) Déterminer les entiers naturels n tels que An=3n+32n+33n soit divisible par 13.(1pt)
 
3) Quels sont parmi les nombres 1010100 et 1001001000 écris dans le système de numération de base 3 ceux qui sont divisibles par 13 ?(1pt)
 

Exercice 5 (4 points)

Soit C la courbe paramétrée définie par 
{x(t)=tety(t)=tet ,t[1, 1]
 
1) Exprimer x(t) et y(t) en fonction de x(t) et y(t).
 
En déduire que C admet un axe de symétrie que l'on précisera.(1pt)
 
2) Étudier les variations de x et de y sur l'intervalle [0, 1](1pt)
 
Préciser les tangentes à C aux points de paramètres t=0, t=1 et t=1(1pt)
 
3) Construire C dans le plan muni d'un repère orthonormé. (Unité graphique 2cm)(1pt)
 

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