Série d'exercices sur le Calcul vectoriel, Repères et Barycentres 1e S
Vecteurs
Exercice 1
1) Démontrer que le point I est milieu du segment [AB] si et seulement si :
→IA+→IB=→O
2) Avec les mêmes notations qu'au 1∘, démontrer que :
→AI=12→ABet que→MA+→MB=2→MI
3) Soit ABC un triangle, E le milieu de [AB], F le milieu de [AC].
Démontrer que :
→EF=12→BC
En déduire que :
a) (EF)∥(BC)
b) EF=12BC
(Théorème de la droite des milieux)
4) Soient A, B, C et D 4 points, I le milieu de [AC], J le milieu de [BD]
Démontrer que 2→IJ=→AB+→CD
Comment choisir le quadrilatère ABCD pour que I et J soient confondus ?
5) Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que :
a) ||→MA+→MB||=||→AC||b) ||→MA+→MB||=2MC
c) →MA+→MB a même direction que →BC
Exercice 2
Soient ABCD et AECF des parallélogrammes.
Que peut-on dire des vecteurs →BE et →FD
Exercice 3
Soient A, B, C et D des points du plan et I et J les milieux respectifs de [AC] et [BD].
Démontrer que :
→AB+→CD=→AD+→CB=2→IJ
Exercice 4
Soient ABC un triangle dont O est le centre de gravité.
Si →OA+→OB+→OC=→O, que peut-on dire du triangle ABC ?
Exercice 5
Soient →u, →v et →w 3 vecteurs tels que :
(1) →u+→v+→w=→O(2) ||→v||=λ||→u||(3) ||→w||=(λ+1)||→u||
Démontrer que →u, →v, →w sont colinéaires.
Exprimer →v et →w en fonction de →u
Exercice 6
On donne un triangle ABC et les milieux respectifs
A′, B′ et C′ de [BC], [CA] et [AB]
Un point M quelconque étant donné, on considère les points N et P tels que :
→MN=→CC′et→MP=−→BB′
1) Démontrer que les droites (NP) et (AA′) sont parallèles.
2) Soit I le milieu de [NP].
Comparer les vecteurs →MI et →BC
En déduire que les droites (MI) et (BC) sont parallèles.
Exercice 7
On considère deux triangles ABC et A′B′C′ et leurs centres de gravité respectifs G et G′
1) Démontrer que :
→AA′+→BB′+→CC′=3→GG′
2) En déduire une condition nécessaire te suffisante pour que les triangles aient même centre de gravité.
3) Comparer G et G′ dans les cas suivants :
a) A′, B′ et C′ sont les milieux respectifs de [BC], [CA]et[AB]
b) A′, B′ et C′ sont respectivement les points définis par :
→BA′=t→BC; →CB′=t→CA; →AC′=t→AB, où t est un réel non nul.
(Faire une figure avec t=32)
Exercice 8
Soient A, B, C et D 4 points du plan.
A tout réel t, on associe les points M et N tels que :
→AM=t→AB et →DN=t→DC
1) Démontrer que →MN=t→BC+(1−t)→AD
2) On suppose désormais que :
→BC=3→AD et note AD=||→AD||=a
Exprimer le vecteur →MN en fonction de t et →AD
puis la distance MN en fonction de t et a
3) Pour quelles valeurs de t a-t-on :
a) M=N ?
b) MN=72a?
Exercice 9
ABCD est un quadrilatère.
1) I et J sont les milieux de [AB] et [CD].
Démontrer que : 2→IJ=→AD+→BC
2) P et U sont tels que : →AP=→UP=→UD
R et V sont tels que : →BR=→RV=→VC
S et K sont tels que : →IS=→SK=→KJ
Démontrer que S est le milieu de [PR] et K celui de [UV].
Exercice 10
Droite et cercle d'Euler d'un triangle
Soit ABC un triangle, A′, B′ et C′ les milieux respectifs de
[BC], [CA] et [AB], O le centre du cercle circonscrit et G le centre de gravité.
1) Montrer qu'il existe un point H unique tel que :
→OH=→OA+→OB+→OC(1)
2) Montrer que
→AH=2→OA′; →BH=2→OB′; →CH=2→OC′
3) Démontrer que H est l'orthocentre du triangle ABC.
4) En utilisant la relation →GA+→GB+→GC=→0
démontrer que →OH=3→OG
En déduire que les trois points O, G et H sont alignés.
(La droite portant ces trois points est appelée droite d'Euler du triangle).
5) Soit A1 le symétrique de A par rapport à O et I le milieu de [HA1]
Démontrer que 2→OI=→AH, puis que I=A′.
En conclure que A1 est aussi le symétrique de H par rapport à A′.
6) Déduire de la question précédente le théorème suivant :
Les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des cotés du triangle appartiennent au cercle circonscrit.
7) Soit Ω l'isobarycentre de A, B, C et H et U le milieu de [HA], V le milieu de [HB], W le milieu de [HC] (U, V et W sont les points d'Euler)
a) Montrer en utilisant la relation (1) que Ω est le milieu de [OH].
b) Établir les égalités :
→ΩU=−→ΩA′=12→OA;→ΩV=−→ΩB′=12→OB
→ΩW=−→ΩC′=12→OC
En déduire que les milieux A′, B′ et C et les points d'Euler U, V et W appartiennent au cercle de centre ω admettant pour rayon la moitié du rayon du cercle circonscrit au triangle.
8) Montrer que ce cercle passe par les points α, β et γ, intersections respectives des hauteurs (AH), (BH) et (CH) avec les cotés [BC], [CA] et [AB] ( cercle des neuf points)
Mesures algébriques
Exercice 11
Δ est un axe muni d'un repère (O, I).
Soient A et B deux points de Δ d'abscisses respectives 6 et -2.
1) Calculer l'abscisse du point M de Δ tel que ¯MA¯MB=53
Calculer ¯MA et ¯MB
2) Calculer l'abscisse du point N de Δ tel que ¯NA¯NB=−53.
Calculer ¯NA et ¯NB.
3) Calculer l'abscisse de I milieu de [MN]
Calculer ¯IA¯IB
Exercice 12
Soient A, B, C et M 4 points d'une même droite (D) munie d'un repère (O, I)
En observant que l'on a : ¯MA=¯MC+¯CA et ¯MB=¯MC+¯CB,
1) Former l'expression ¯MA⋅¯BC+¯MB⋅¯CA
et en déduire la relation d'Euler :
¯MA⋅¯BC+¯MB⋅¯CA+¯MC⋅¯AB=0
2) Former l'expression MA2⋅¯BC+MB2⋅¯CA
et en déduire la relation de Stewart :
MA2⋅¯BC+MB2⋅¯CA+MC2⋅¯AB+¯BC⋅¯CA⋅¯AB=0
Exercice 13
Soient A, B, C et D 4 points d'un axe Δ de repère (O, I).On désigne par a, b, c et d leurs abscisses respectives
c'est-à-dire que : ¯OA=a, ¯OB=b, ¯OC=c, ¯OD=d
On appelle birapport des 4 points A, B, C, et D dans cet ordre et on note (ABCD) l'expression : (ABCD)=¯CA¯CB:¯DA¯DB
1) Exprimer le birapport (ABCD) en fonction de a, b, c et d.
2) Montrer que le birapport (ABCD) reste invariant si on inverse simultanément chacun des couples (AB) et (CD) ou lorsqu'on échange ces deux couples.
3) L'ensemble ordonné des 4 points A, B, C et D est dit constituer une division harmonique lorsque le birapport (ABCD) est égal à −1.
On dit alors que les points C et D sont conjugués harmoniques par rapport à A et B
a) Utiliser 2∘ pour montrer qu'alors les points A et B sont aussi conjugués harmoniques par rapport à C et D.
b) Établir la relation 2(ab+cd)=(a+b)(c+d).
c) En prenant l'origine O en A, démontrer la relation suivante, dite de NEWTON :
2¯AB=1¯AC+1¯AD
d) En prenant l'origine O en I milieu de [AB], démontrer la relation suivante, dite de DESCARTES :
¯IC⋅¯ID=IA2.
Énoncés de Thalès
Exercice 14
Les droites (AB), (CD) et (EF) sont parallèles.
AC=1, CE=2, AB=4, BD=1.2 et CD=5.
Préciser les longueurs DF et EF.
Exercice 15
Dans un triangle ABC, M1 est un point du segment [AB] distinct des sommets A et B.
On construit les points M2, M3, M4, M5 et M6 tels que les droites (M3M4), (M4M5) et (M5M6) soient respectivement parallèles aux droites
(BC), (AB), (AC), (BC) et (AB)
Démontrer que la droite (M1M6) est parallèle à (AC).
Exercice 16
Théorème de Pappus
(EB) est parallèle à (CF) et (BG) est parallèle à (AF).
Montrer que (AE) est parallèle à (CG)
Exercice 17
Étant donnés deux nombres positifs a et b, on construit un trapèze convexe ABCD de bases (AB) et (CD) et J le projeté de I sur [BC] dans la direction des droites (AB) et (CD).
Montrer que : 1IJ=1a+1b
Exercice 18
ABC est un triangle et G son centre de gravité.
Une droite D, ne contenant pas G, coupe respectivement les droites (GA), (GB)
et (GC) en M, N, P
Démontrer que :
¯GA¯GM+¯GB¯GN+¯GC¯GP=0
On pourra utiliser la projection sur (GA) parallèlement à D
Exercice 19
Soient D et D′ deux droites sécantes en O.
Soit Δ une droite ne passant pas par O et qui coupe D en A et D′ en B.
Un point M de Δ se projette en E sur D parallèlement à D′ et en F sur D′ parallèlement à D.
1) Démontrer que :
¯OE¯OA+¯OF¯OB=1
2) Soient E et F deux points respectivement de D et D′ et vérifiant la relation :
¯OE¯OA+¯OF¯OB=1
Soit M le point tel que OEFM soit un parallélogramme.
Démontrer que M est sur la droite Δ.
Exercice 20
Droites concourantes
C est un cercle de centre O et A, B, C et D sont quatre points de ce cercle, tels que ABCD ne soit pas un trapèze.
1) P et Q sont les milieux respectifs de [AB] et [CD].
La perpendiculaire à (CD) passant par P coupe (CD) en P1, la perpendiculaire à (AB) passant par Q coupe (AB) en Q1.
Les droites (PP1) et (QQ1) se coupent en I.
a) Démontrer que OPIQ est un parallélogramme et que
→OP=12(→OA+→OB)
b) En déduire que :
→OI=12(→OA+→OB+→OC+→OD)
2) R et S sont les milieux respectifs de [BC] et [AD].
La perpendiculaire à (BC) passant par S coupe (BC) en S1, la perpendiculaire à (AD) passant par R coupe (AD) en R1.
Les droites (RR1) et (SS1) se coupent en J.
Démontrer que les points I et J sont confondus.
Exercice 21
Le parallélogramme de Wittenbauer
ABCD est un quadrilatère convexe ; on partage chacun des cotés [AB], [BC], [CD]
et [DA] en trois segments de même longueur et on joint deux à deux les points obtenus, comme indiqué sur la figure.
On obtient un quadrilatère PQRS.
1) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme.
2) I est le point d'intersection des diagonales (AC) et (BD) du quadrilatère ABCD.
Démontrer que : 23→IA+23→IB=→IP(1)
3) O est le centre du parallélogramme PQRS et G est l'isobarycentre du quadrilatère ABCD.
Démontrer que : →IO=43→IG
Indication :
on peut donner des relations comparables à la relation (1) pour les vecteurs →IQ, →IR, →IS et utiliser ensuite la définition de l'isobarycentre.
4) A quelle condition le centre O du parallélogramme PQRS est-il confondu avec l'isobarycentre G du quadrilatère ABCD ?
Exercice 22
Théorèmes de MENELAUS et de CEVA
1) Théorème de Ménélaus
a) Soit ABC un triangle.
Une droite (D) coupe respectivement (BC), (CA) et (AB) en A′, B′ et C′.
Soit C1 le projeté de C sur (AB) parallèlement à (D).
Comparer les rapports
¯A′B¯A′C et ¯C′B¯C′C1 puis ¯B′C¯B′A et ¯C′C1¯C′A
En déduire que :
¯A′B¯A′CׯB′C¯B′AׯC′A¯C′B=1
b) Réciproquement, soient A′, B′, C′ trois points situés respectivement sur les cotés
(BC), (CA) et (AB) du triangle ABC.
On désigne par C″ le point d'intersection de (A′B′) avec (AB).
En utilisant a), comparer ¯C′A¯C′B et ¯C″A¯C″B
En déduire que C′=C″, puis que A′, B′ et C′ sont alignés.
c) Conclusion : Pour trois points A′, B′ et C′ respectivement situés sur les cotés (BC), (CA) et (AB) d'un triangle ABC, on a :
A′, B′, C alignés ⇔¯A′B¯A′CׯB′C¯B′AׯC′A¯C′B=1
2) Théorème de Ceva
Soit ABC un triangle, A′, B′, C′ trois points situés respectivement sur les cotés (BC), (CA) et (AB) du triangle.
a) On suppose que les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont parallèles.
En utilisant le théorème de Thalès, montrer que :
¯A′B¯A′CׯB′C¯B′AׯC′A¯C′B=−1
b) On suppose que les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont concourantes en un point Q.
Appliquer le théorème de Ménélaus au triangle ACA′ coupé par (BQB′) puis au triangle ABA′ coupé par (CQC′).
En déduire que :
¯A′B¯A′CׯB′C¯B′AׯC′A¯C′B=−1
c) On suppose que les droites (AA′) et (BB′) sont parallèles et que :
¯A′B¯A′CׯB′C¯B′AׯC′A¯C′B=−1
Soit C″ le point d'intersection de (AB) avec la parallèle menée par C à (AA′).
En utilisant a), conclure que C″=C′.
d) On suppose que les droites (AA′) et (BB′) se coupent en Q et que :
¯A′B¯A′CׯB′C¯B′AׯC′A¯C′B=−1
La droite (QC) coupe (AB) en C″.
En utilisant b), conclure que C′=C″.
e) Conclusion :
Pour trois points A, B′ et C′ respectivement situés sur les cotés (BC), (CA) et (AB) d'un triangle ABC, on a : ¯A′B¯A′CׯB′C¯B′AׯC′A¯C′B=−1 si, et seulement si, ((AA′), (BB) et (CC′) sont concourantes ou parallèles)
3) Application :
La droite de Newton
Les notations sont les mêmes qu'au 2∘
Soient (Δ) une droite qui coupe les cotés
(BC), (CA) et (AB) en A′, B′ et C′ respectivement,
et A1, B1 et C1 les milieux respectifs de [AA′], [BB′] et [CC′].
Soient I1, I2 et I3 les milieux respectifs de [B′C′], [C′A] et [AB′].
a) Montrer que ¯A1I2=12¯A′C′ et ¯A1I3=12¯A′B′
En déduire que les points A1, I2 et I3 sont alignés.
b) Montrer, de façon analogue, que B1, I3, I1, d'une part, et C1, I1, I2 sont alignés.
c) Appliquer le théorème de Ménélaus au triangle AB′C′ coupé par la droite portant les points A′, B et C et établir la relation :
¯A1I3¯A1I2ׯC1I2¯C1I1ׯB1I1¯B1I3=1
d) Conclure que les trois points A1, B1 et C1 sont alignés.
La droite qui porte ces trois points est appelée droite de Newton du quadrilatère complet formé par le triangle ABC et la droite AB′C′.
N.B On appelle quadrilatère complet la figure formée par quatre droites deux à deux concourantes.
(AA′), (BB′) et (CC′) sont les diagonales du quadrilatère complet.
Le résultat que l'on vient de démontrer s'énonce aussi en disant que les milieux des diagonales d'un quadrilatère complet sont alignés.
Exercice 23
Soit ABCD un parallélogramme non aplati.
1) Déterminer b et c réels tels que D soit le barycentre de {(A, 1)(B, b)(C, c)}.
2) Les rées b et c ayant les valeurs obtenues et H désignant le centre du parallélogramme, déterminer h, réel, pour que le barycentre de {(A, 1)(B, b)(C, c)(H, h)} soit le milieu du segment [HB].
Exercice 24
Soient A, B, C 3 points non alignés du plan, G le barycentre de
{(A, 1)(B, 2)(C, −1)} et M un point quelconque du plan. soient les vecteurs
→u=→MA+2→MB−→MC et →v=2→MA−→MB−→MC
1) Déterminer l'ensemble E des points M du plan pour lesquels →u et →v sont colinéaires.
2) Déterminer l'ensemble F des points M du plan pour lesquels
||→u||=||→v||
Exercice 25
ABC est un triangle, M est un point du plan.
P, Q, R sont les symétriques de M par rapport aux milieux A1, B1, C1 des cotés [BC], [CA] et [AB] du triangle.
G et K sont les centres de gravité des triangles ABC et PQR.
1) Démontrer que →MP=→MB+→MC
En déduire que →MA+→MP=3→MG
2) Donner en fonction de →MG,
une expression de chacun des vecteurs suivants :
→MB+→MQ,→MC+→MR,→MA+→MB+→MC,→MP+→MQ+→MR
Démontrer que G est le milieu de [MK].
3) a) Démontrer que les triangles ABC et PQR ont leurs cotés parallèles deux à deux.
b) Démontrer que →PK=→GA
4) Les droites (AP) et (MG) se coupent en L.
a) Préciser la position de L sur chacune des droites (AP) et (MG).
b) En déduire que les milieux des segments [AP], [BQ] et [CR] sont confondus.
Quelle est la position relative des points M, G, K et L sur la droite (MK) ?
Exercice 26
Soient A, B, C 3 points du plan P.
1) Déterminer l'ensemble des points M de P tels que :
||3→MA−→MB−→MC||=||−→MA+3→MB−→MC||
2) Existe-t-il un point M de P tel que :
||3→MA−→MB−→MC||=||−→MA+3→MB−→MC||=||−→MA−→MB+3→MC||?
3) Déterminer l'ensemble des points M de P tels que :
||→MA+→MB+→MC||=||2→MA−→MB−→MC||
Exercice 27
Soient A, B, C 3 points non alignés et α, β, γ réels vérifiant les conditions d'existence des barycentres suivants :
G barycentre de {(A, α)(B, β)(C, γ)} G1 barycentre de {(A, −α)(B, β)(C, γ)}
G2 barycentre de {(A, α)(B, β)(C, γ)} G3 barycentre de {(A, α)(B, β)(C, γ)}.
1) Démontrer que les droites (AG1) (BG2), (CG3) concourent en G.
2) Démontrer que chacun des cotés du triangle G1G2G3 passe par l'un des points A, B, C.
Exercice 28
Les points A, B, C sont fixés et non alignés.
Soit I le barycentre de {(A, 1)(B, −1)(C, 1)} et J le barycentre de {(A, −1)(C, 2)}.
1) Soit M le barycentre de {(A, α)(B, β)(C, γ)}.
Formuler une condition nécessaire et suffisante sur
α, β, γ pour que I, J, M soient alignés.
2) La droite (IJ) coupe (BC) en K et (AB) en L.
Calculer ¯KB¯KC et ¯LA¯LB
Déterminer λ et μ pour que L soit le barycentre de {(I, λ)(J, μ)}.
Exercice 29
Soient A, B, C 3 trois points non alignés du plan, I le milieu de [BC] et M le barycentre du système {(A,α)(B, β)(C,γ)}.
1) Formuler une condition nécessaire et suffisante sur α, β, γ pour que M vérifie successivement :
a) →AM est colinéaire à →BC
b) →IM est colinéaire à →AB
2) M satisfaisant à la fois aux conditions a) et b), la droite (BM) coupe (AC) en J et la droite (CM) coupe (AB) en K.
Calculer les rapports
¯JA¯JC et ¯KA¯KB
Exercice 30
Soit ABC un triangle et M un point strictement intérieur à ce triangle.
Les droites (AM), (BM) et (CM) coupent respectivement les cotés [BC], [CA] et [AB] du triangle en A′, B′ et C′.
1) a) Démontrer que :
aire(MAB)aire(MAC)=A′BA′C
b) En déduire que A′ est le barycentre des points pondérés
(B, aire(MAC))et(C, aire(MAB)).
2) Soit G le barycentre des points pondérés
(A, aire(MBC)(B, aire(MAC))et(C, aire(MAB)).
Démontrer que les points G et M sont confondus.
3) Soient ABC un triangle, α, β, γ réels strictement positifs et G le barycentre de {(A, α)(B, β)(C, γ)}.
Démontrer, en utilisant les deux questions précédentes que :
aire(GBC)α=aire(GCA)β=aire(GAB)γ
4) Application :
Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
On pose : BC=a, CA=b et AB=c.
En les résultats précédents, démontrer que I est le barycentre des points (A, a), (B, b) et (C, c).
5) On suppose désormais que les angles du triangle sont aigus.
Soit HA le pied de la hauteur issue de A (donc HA est un point de [BC]).
a) Prouver que : tanBtanC=HACHAB
en déduire que HA est le barycentre de (B, tanB) et (C, tanC)
b) Établir que l'orthocentre H du triangle ABC est le barycentre de
(A, tanA), (B, tanB) et (C, tanC)
Exercice 31
Déterminer graphiquement, ou analytiquement dans un repère convenablement choisi, le centre d'inertie de chacune des plaques homogènes, d'épaisseur constante et négligeable, suivantes :
Exercice 32
Étant donné un triangle ABC, soient les points M et N définis par :
→AM=12→AB−→AC et →AN=−→AB+12→AC
1) Montrer que (MN) est parallèle à (BC)
2) Donner les coordonnées de M et N dans les repères (A, →AB, →AC puis (B, →BA, →BC)
3) On définit maintenant les points M et N par :
→AM=12→AB+(1−k)→AC et →AN=(1−k)→AB+12→AC (k∈R)
a) Exprimer
→MN en fonction de →BC
b) Déterminer k pour que BCMN soit un parallélogramme.
Exercice 33
Soient A, B, C non alignés.
I le milieu de [BC].
Δ une droite passant par I et qui coupe (AB) en M et (AC) en N.
P est le point commun à (BN) et (CM).
Déterminer l'ensemble des points P quand Δ pivote autour de I en restant sécante à (AB) et (AC).
On pourra utiliser le repère (A, →AB, →AC)
Exercice 34
Soient un triangle OAB et deux points C et D alignés avec O.
Un point M de la droite (AB) est variable.
(MC) coupe (OA) en N et (MD) coupe (OB) en P.
Démontrer que la droite (NP) passe par un point fixe.
N.B On pourra rapporter le plan à un repère bien choisi.
Exercice 35
ABCD est un parallélogramme.
Une parallèle à (AB) coupe (AD) en I et (BC) en J ;
une parallèle à (AD) coupe (AB) en E et (CD) en F.
On se propose de montrer que les droites (AC), (EJ) et (IF) sont soit parallèles, soit concourantes.
1) Faire une figure sur laquelle les droites (AC), (EJ) et (IF) sont parallèles.
2) On choisit (A, →AB, →AD) pour repère.
a) Quelles sont les coordonnées de A, B, C, D ?
Quelles sont les abscisses de I et J ?
Quelles sont les ordonnées de E et F ?
b) On désigne par a l'abscisse de E et par b l'ordonnée de I.
Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites (AC), (IF) et (EJ).
c) Démontrer que si les droites (AC) et (IF) sont parallèles alors les droites (AC), (IF) et (EJ) sont parallèles
d) Démontrer que si les droites (AC) et (IF) sont sécantes en O, alors les droites (AC), (IF) et (EJ) sont concourantes en O.
e) Conclure.
Exercice 36
Le plan est rapporté au repère (O, →i;, →j)
Soient (O′, →i′, →j′) tels que :
→OO′=4→i+→j,→i′=3→i−2→j,→j′=→i+2→j
1) Démontrer que (O, →i′, →j′) est un repère du plan.
2) Soit M de coordonnées (x, y) dans le premier repère, (x′, y′) dans le second repère.
Calculer x′ et y′ en fonction de x et y.
Exercice 37
Soient A, B, C trois points non alignés du plan.
On considère les repères R=(A, →AB, →AC) et R′=(B, →BA, →BC)
Un point M a pour coordonnées (x, y) dans R et (x′, y′) dans R′.
Exprimer x et y en fonction de x′ et y′.
Déterminer l'ensemble des points du plan qui ont les mêmes coordonnées dans les deux repères.
Exercice 38
Familles de droites
A) Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel a, le nombre de solutions de l'équation :
(a−2)x2+2(a−1)x+a+4=0, x étant l'inconnue réelle.
B) Le plan est rapporté au repère (O, →i, →j)
On considère l'ensemble D des droites (dm) d'équations :
(dm) : (m2+m−2)x−(m+3)y−(m2−5)=0, m étant un paramètre réel, et l'ensemble Δ des droites (δa) d'équations :
(δa) : ax+(a−2)y−6(a−1)=0, a étant un paramètre réel.
1) a) Déterminer et construire les droites de D parallèles aux axes.
b) Démontrer que toutes les droites de D passent par un point fixe A que l'on déterminera.
2) a) Déterminer et construire les droites de Δ parallèles aux axes.
b) Démontrer que toutes les droites de Δ passent par un point fixe C que l'on déterminera.
c) Discuter suivant la position d'un point M0(x0, y0) dans le plan, le nombre de droites de Δ passant par M0.
En déduire que l'ensemble des droites Δ est l'ensemble des droites passant par C privé d'une droite que l'on précisera.
3) En prenant a pour paramètre réel et m pour inconnue, discuter suivant les valeurs de a l'existence de droites (dm) parallèles à une droite (δa) donnée.
En déduire que l'ensemble D ne représente qu'une partie des droites passant par A.
4) Pour quelles valeurs de a et m les droites (dm) et (δa) sont-elles confondues ?
5) Les droites (d1) et (δ2) se coupent en B.
Les droites (δ0) et (δ3) se coupent en D.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Exercice 39
Notion de polaire
ABC est un triangle et J un point du segment [BC].
Pour la suite, on utilisera le repère cartésien (A, →AB, →AC)
1) Quelles sont les coordonnées de B et C ?
2) (Bu), (Cv), (AJ) sont des droites de coefficients respectifs a, a′, α.
De plus, (Bu) coupe (AC) en P ; (Cv) coupe (AB) en Q, les droites (Bu) et (Cv) se coupent sur la droite (AJ) au point K distinct de A.
a) Déterminer les coordonnées des points P, Q et K en fonction de a et a′.
b) Montrer que a(1+a′)=α(1+a).
3) a) Déterminer les coordonnées du point d'intersection O (lorsqu'il existe) des droites (BC) et (PQ).
b) Montrer que ces coordonnées sont indépendantes des réels a et a′.
Que peut-on en déduire ?
4) Démontrer que
¯CO¯CJ=−¯BO¯BJ
La droite (AJ) est appelée la polaire du point O par rapport aux droites (AB) et (AC).
5) Δ et Δ′ sont des droites sécantes en A.
O est un point qui n'appartient pas à Δ et Δ′.
Construire la polaire du point O par rapport aux droites Δ et Δ′.
Commentaires
Waly SARR (non vérifié)
sam, 09/16/2023 - 20:18
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C'est un bon cours
Anonyme (non vérifié)
ven, 12/20/2024 - 10:09
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Le corrigé svp
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