Bac maths - Homothétie

Classe: 
Terminale
 

 Homothétie

Soit (γ) le cercle de centre O et de rayon R.
 
[AA] un diamètre fixé de (γ), P le milieu de [OA].
 
Une droite δ distincte de la droite (AA) et de la perpendiculaire en P à (AA) pivote autour de P et coupe (Γ) en B et C.
 
1. Déterminer l'ensemble E1 des milieux M de [BC] lorsque δ varie.
 
2. a. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. La droite (AM) coupe (AH) en D.
 
Déterminer l'ensemble E2 des points D lorsque M décrit E1.
 
b. Montrer que ABDC est un parallélogramme. 
   
En déduire que D est l'orthocentre du triangle ABC.
 
3. La droite (AM) coupe (OD) en I.
 
Montrer que 2IO+ID=0 
Que représente I pour le triangle ABC ?
 
Déterminer l'ensemble E3 des points I lorsque M décrit E1.

Correction

La construction est facile à réaliser et donne les résultats immédiatement y a plus qu'à les montrer.

 


 
1. [BC] est une corde du cercle γ donc (OM) est orthogonal à (BC) en M ; le triangle PMO est rectangle en M donc M décrit un cercle de diamètre [OP] : c'est E1.
 
2. a. Soit h l'homothétie de centre A de rapport 2 : par h; P a pour image O, O a pour image A et M a pour image un point K tel que (OK) soit parallèle à (PM) et (OM) soit parallèle à (AK).
 
(OM) est orthogonale à (PM), donc (AK) est orthogonale à (PM), c'est la hauteur (AH). Moralité K est sur (AM) par construction et sur (AH) comme image de M, c'est donc le point D.
 
Puisque D est l'image de M, D décrit l'image du cercle E1 par h, soit le cercle E2 de diamètre [OA].
 
b. Comme h(M)=D, on a M au milieu de [AD] ; comme M est au milieu de [BC] par construction, les deux diagonales ont même milieu, ABDC est un parallélogramme.
 
Par conséquent (AB) est parallèle à (CD) ; mais [AA] est un diamètre du cercle γ donc (AB) est orthogonale à (AB) ainsi que (CD). 
 
Conclusion (CD) est une hauteur du triangle ABC. 
 
Comme D est déjà sur la hauteur (AH), c'est bien l'orthocentre.
 
3. On peut utiliser simplement la relation d'Euler (dans un triangle le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O sont alignés et on a OH=3OG  
O est le centre du cercle circonscrit, D l'orthocentre et I le centre de gravité, ce qui donne immédiatement le résultat. Sinon on utilise l'homothétie h de centre A, de rapport 23 qui envoie P sur O, M sur I et qui donne le même résultat.
 
Par h le cercle E1 se transforme en cercle E3 de diamètre [OA]A est l'image de O par h.
 

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