Bac maths - Homothétie
Classe:
Terminale
Homothétie
Soit (γ) le cercle de centre O et de rayon R.
[AA′] un diamètre fixé de (γ), P le milieu de [OA′].
Une droite δ distincte de la droite (AA′) et de la perpendiculaire en P à (AA′) pivote autour de P et coupe (Γ) en B et C.
1. Déterminer l'ensemble E1 des milieux M de [BC] lorsque δ varie.
2. a. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. La droite (A′M) coupe (AH) en D.
Déterminer l'ensemble E2 des points D lorsque M décrit E1.
b. Montrer que A′BDC est un parallélogramme.
En déduire que D est l'orthocentre du triangle ABC.
3. La droite (AM) coupe (OD) en I.
Montrer que 2→IO+→ID=→0
Que représente I pour le triangle ABC ?
Déterminer l'ensemble E3 des points I lorsque M décrit E1.
Correction
La construction est facile à réaliser et donne les résultats immédiatement y a plus qu'à les montrer.

1. [BC] est une corde du cercle γ donc (OM) est orthogonal à (BC) en M ; le triangle PMO est rectangle en M donc M décrit un cercle de diamètre [OP] : c'est E1.
2. a. Soit h l'homothétie de centre A′ de rapport 2 : par h; P a pour image O, O a pour image A et M a pour image un point K tel que (OK) soit parallèle à (PM) et (OM) soit parallèle à (AK).
(OM) est orthogonale à (PM), donc (AK) est orthogonale à (PM), c'est la hauteur (AH). Moralité K est sur (A′M) par construction et sur (AH) comme image de M, c'est donc le point D.
Puisque D est l'image de M, D décrit l'image du cercle E1 par h, soit le cercle E2 de diamètre [OA].
b. Comme h(M)=D, on a M au milieu de [A′D] ; comme M est au milieu de [BC] par construction, les deux diagonales ont même milieu, A′BDC est un parallélogramme.
Par conséquent (A′B) est parallèle à (CD) ; mais [AA′] est un diamètre du cercle γ donc (A′B) est orthogonale à (AB) ainsi que (CD).
Conclusion (CD) est une hauteur du triangle ABC.
Comme D est déjà sur la hauteur (AH), c'est bien l'orthocentre.
3. On peut utiliser simplement la relation d'Euler (dans un triangle le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O sont alignés et on a →OH=3→OG
O est le centre du cercle circonscrit, D l'orthocentre et I le centre de gravité, ce qui donne immédiatement le résultat. Sinon on utilise l'homothétie h′ de centre A, de rapport 23 qui envoie P sur O, M sur I et qui donne le même résultat.
Par h′ le cercle E1 se transforme en cercle E3 de diamètre [OA″] où A″ est l'image de O par h′.
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