Bac maths, Pondicherry 2005

 

5 points

 

L'espace $E$ est rapporté à un repère orthonormé $(O\;;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}\;,\ \vec{k}).$

 

On considère les points $A\;,\ B$ et $C$ de coordonnées respectives $(1\;;\ 0\;;\ 2)$,  $(1\;;\ 1\;;\ 4)\ $ et $\ (-1\;;\ 1\;;\ 1).$

 

1. a. Montrer que les points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ ne sont pas alignés.

 

b. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3\;;\ 4\;;\ -2).$ Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AC}.$

   

En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

 

2. Soient $P_{1}\ $ et $\ P_{2}$ les plans d'équations respectives $$2x+y+2z+1=0\quad\text{et}\quad x-2y+6z=0$$

 

a. Montrer que les plans $P_{1}\ $ et $\ P_{2}$ sont sécantes suivant une droite $D$ dont on déterminera un système d'équations paramétriques.

 

b. La droite $D$ et le plan $(ABC)$ sont-ils parallèles ?

 

3. Soit $t$ un réel positif quelconque. On considère le barycentre $G$ des points $A\;,\ B\ $ et $\ C$ affectés des coefficients $1\;,\ 2\ $ et $\ t.$

 

a. Justifier l'existence du point $G$ pour tout réel positif $t.$

 

Soit $I$ le barycentre des points $A$ et $B$ affectés des coefficients respectifs $1\ $ et $\ 2.$ Déterminer les coordonnées du point $I.$

 

Exprimer le vecteur $\overrightarrow{IG}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{IC}$

 

b. Montrer que l'ensemble des points $G$ lorsque $t$ décrit l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls est le segment $[IC]$ privé du point $C.$

 

Pour quelle valeur de $t$, le milieu $J$ du segment $[IC]$ coïncide-t-il avec $G\ ?$

$A(1\;;\ 0\;;\ 2)\;,\ B(1\;;\ 1\;;\ 4)$ et $C(-1\;;\ 1\;;\ 1)$.

 

1. a. $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 1-1\\ 1-0\\ 4-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\;,\quad \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -1-1\\ 1-0\\ 1-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$

 

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : $$\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\ \Leftrightarrow\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} 0 &=& -2k\\ 1 &=& k\\ 2 &=& -k \end{array} \right....\text{bof}$$

 

b.

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}&=&\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} \\ \\ &=&0+4-4 \\ \\ &=&0 \end{array}$ 

 

et

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AC}\cdot\vec{n}&=&\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ -2 \end{pmatrix} \\ \\ &=&-6+4+2 \\ \\ &=&0\end{array}$  

 

Le plan $(ABC)$ a pour équation :

 

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0&\Leftrightarrow& \begin{pmatrix} x-1\\ y-1\\ z-2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ -2 \end{pmatrix}=0 \\ \\ &\Leftrightarrow&3x-3+4y-2z+4=0 \\ \\  &\Leftrightarrow&3x+4y-2z+1=0 \end{array}$

 

2. a. Quand on intersecte $P_{1}\ $ et $\ P_{2}$ on a le système suivant : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+y+2z+1 &=& 0\\ x-2y+6z &=& 0 \end{array} \right.$$  

Soit en posant par exemple $z=t\ :$

 

$\begin{array}{rcl} \left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+y &=& -2t-1\\ x-2y &=& -6t\\ z &=& t \end{array} \right.&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} 5y &=& 10t-1\\ x &=& 2y-6t\\ z &=& t \end{array} \right. \\ \\ &\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x &=& 4t-\dfrac{2}{5}-6t=2t-\dfrac{2}{5}\\ \\ y &=& 2t-\dfrac{1}{5}\\ \\ z &=& t \end{array} \right.\end{array}$

 

On peut noter qu'un vecteur directeur de $D$ est $\vec{u}=(-2\;;\ 2\;;\ 1).$

 

b. $D$ et $(ABC)$ sont parallèles si $\vec{n}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux : $$\vec{n}\cdot\vec{u}=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ -2 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} -2\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}=-6+8-2=0$$ ils sont bien parallèles.

 

3. $G$ barycentre des points $A,\ B$ et $C$ affectés des coefficients 1, 2 et $t$.

 

a. $G$ existe si la somme des coefficients ici $3+t$ n'est pas nulle, ce qui est vrai pour tout réel positif $t.$ 

 

$$I\left(\dfrac{1.1+2.1}{3}\;,\ \dfrac{1.0+2.1}{3}\;,\ \dfrac{1.2+2.4}{3}\right)=\left(1\;,\ \dfrac{2}{3}\;,\ \dfrac{10}{3}\right)$$

 

$G$ est donc le barycentre de $(I\;;\ 3)\;,\ (C\;;\ t)$ d'où $\overrightarrow{IG}=\dfrac{t}{3+t}\overrightarrow{IC}.$

 

b. La fonction $f(t)=\dfrac{t}{3+t}$ a pour dérivée $$f'(t)=\dfrac{1(3+t)-t.1}{(3+t)^{2}}=\dfrac{3}{(3+t)^{2}}>0$$ et est croissante ; en 0 elle vaut 0, en $+\infty$ elle vaut 1 (sa limite est 1 en $+\infty$).

Lorsque $t$ parcourt les réels positifs, l'abscisse du point $G$ dans le repère $(I\;,\ \overrightarrow{IC})$ est $f(t)$, donc cette abscisse varie entre 0 et 1, et $G$ parcourt le segment $[IC]$ sauf le point $C$ qui est à la limite (la limite n'est pas atteinte).

 

Le milieu $J$ du segment $[IC]$ coïncide avec $G$ lorsque

 

$\begin{array}{rcl} f(t)=\dfrac{1}{2}&\Leftrightarrow&\dfrac{t}{3+t}=\dfrac{1}{2} \\ \\ &\Leftrightarrow&2t=3+t \\ \\ &\Leftrightarrow&t=3\end{array}$