Corrigé Bac Maths S2 2017 - Remplacement 2e groupe

 

1) a) $f(x)$ existe si et seulement si $x>0\text{ et }x\neq 0$ (conditions d'existence sur l'expression $\ln x\text{ et sur le dénominateur de la fraction }\dfrac{2\ln x-1}{x}$).

 

La bonne réponse est $]0\;;\ +\infty.[$

 

$\centerdot\ ]0\;;\ +\infty[\;,\quad\centerdot\ ]-\infty\;;\ 0[\cup ]0\;;\ +\infty[\;,\quad\centerdot\ ]\sqrt{\mathrm{e}}\;;\ +\infty[\;,\quad\centerdot\ ]1\;;\ +\infty[$

 

b) \begin{eqnarray} f\left(\dfrac{1}{2}\right)&=&\dfrac{1}{2}+2+\dfrac{2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)-1}{\dfrac{1}{2}}\nonumber \\ &=&\dfrac{5}{2}+2\times(-2\ln 2-1)\nonumber \\ &=&\dfrac{5}{2}-2-4\ln 2\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{2}-4\ln 2\nonumber \end{eqnarray}

 

La bonne réponse est $-4\ln 2+\dfrac{1}{2}.$

 

$\centerdot\ \dfrac{1}{2}\quad \centerdot\ -\dfrac{1}{2}-4\ln 2\quad \centerdot\ -4\ln 2+\dfrac{1}{2}\quad\centerdot\ -\dfrac{1}{2}-\ln 8$

 

2) a) $g$ est dérivable en 1 comme produit de fonctions dérivables sur $]0\;;\ +\infty[$ et pour tout $x>0$,

on a :

 

$g'(x)=(x)'\ln x+x(ln x)'$ (dérivée d'un produit), soit, d'après les formules usuelles de dérivation : 

$$g'(x)=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}=\ln x+1.$$

 

En particulier, $g'(1)=\ln 1+1=1\text{ et }g(1)=1\times\ln 1=0.$

 

L'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est donc :

 

$y=1\times(x-1)+0\;,\text{ soit : }y=x-1$

 

La bonne réponse est $y=x-1.$ 

 

$\centerdot\ y=x\quad\centerdot\ y=2x\quad\centerdot\ y=-x\quad\centerdot\ y=x-1$

 

b) On ne peut pas obtenir directement une primitive de $g$ à l'aide des formules usuelles.

 

On pourrait dériver chacune de expressions proposées et voir laquelle est égale à $g(x)$, mais le plus simple est de faire une intégration par parties.

 

En effet, on sait que la fonction $x\mapsto\int_{a}^{x}g(x)\mathrm{d}t\;,\text{ où }a$ est un réel quelconque de $]0\;;\ +\infty[$, est une primitive de $g$ sur cet intervalle.

 

Intégrons donc par parties en posant :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} u(t) &=& \ln t \\ \\ v'(t) &=& t \end{array}\right.$$ $$\Rightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} u'(t) &=& \dfrac{1}{t}\\ \\ v(x) &=& \dfrac{t^{2}}{2} \end{array}\right.$$

 

La formule d'intégration par parties donne alors :

$$\int_{a}^{x}g(x)\mathrm{d}x=\left[\dfrac{t^{2}}{2}\times\ln t\right]_{a}^{x}-\int_{a}^{x}\dfrac{t^{2}}{2}\times\dfrac{1}{t}\mathrm{d}t$$ soit : \begin{eqnarray} \int_{a}^{x}g(x)\mathrm{d}x&=&\left(\dfrac{x^{2}}{2}\times\ln x-\dfrac{a^{2}}{2}\times\ln a\right)-\int_{a}^{x}\dfrac{t}{2}\mathrm{d}t\nonumber \\ &=&\left(\dfrac{x^{2}}{2}\times\ln x-\dfrac{a^{2}}{2}\times\ln a\right)-\left[\dfrac{t^{2}}{4}\right]_{a}^{x}\nonumber \\ &=&\dfrac{x^{2}}{2}\times\ln x-\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{a^{2}}{2}\times\ln a-\dfrac{a^{2}}{4}\nonumber \end{eqnarray}

 

Une primitive de $g$ est donc la fonction $G$ définie par :

 

$G(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-\dfrac{1}{4}x^{2}.$

 

$\centerdot\ G(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-x^{2}\quad\centerdot G(x)=2\ln x\quad\centerdot\ G(x)=2x^{2}\ln x-x^{2}$

 

$\centerdot\ G(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-\dfrac{1}{4}x^{2}$

 

N.B : Donner une mauvaise réponse devait être pénalisé pour cet exercice, sinon l'évaluation n'a aucun sens, puisque n'importe qui peut alors avoir des points.

1) La probabilité conditionnelle $p(M\mid T)$ est celle, pour une famille, d'avoir un magnétoscope sachant qu'elle a déjà un téléviseur couleur.

 

2) a) $p(T)=60\%$, puisque l'énoncé nous dit que :

 

$60\%$ des familles ont un téléviseur couleur.

 

b) On complète d'abord la colonne Total :

 

puisque $p(T)+p(\overline{T})=1$ (propriété fondamentale d'une probabilité, on a $p(\overline{T})=1-p(T)=0.4.$

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &M&\overline{M}&\text{Total} \\ \hline T& & &0.6 \\ \hline \overline{T}&  &0.3&0.4 \\ \hline \text{Total}&0.4& &1 \\ \hline \end{array}$$

 

On complète ensuite la ligne comportant $T.$

 

On a $p(M\cap\overline{T})+p(\overline{M}\cap\overline{T})=p(\overline{T})$, d'où en remplaçant :

 

$p(M\cap\overline{T})=p(\overline{T})-p(\overline{M}\cap\overline{T})=0.4-0.3=0.1.$

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &M&\overline{M}&\text{Total}\\ \hline T& & &0.6 \\ \hline \overline{T}& &0.3&0.4 \\ \hline \text{Total}&0.4& &1 \\ \hline \end{array}$$

 

Puis, on complète d'abord la ligne Total :

 

puisque $p(M)+p(\overline{M})=1$, on a $p(\overline{M})=1-p(M)=1-0.4=0.6.$

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &M&\overline{M}&\text{Total} \\ \hline T& & &0.6 \\ \hline \overline{T}&0.1&0.3&0.4 \\ \hline \text{Total}&0.4&0.6&1 \\ \hline \end{array}$$

 

On complète enfin les colonnes $M\text{ et }\overline{M}$ pour avoir les totaux indiqués, ce qui donne finalement :

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &M&\overline{M}&\text{Total} \\ \hline T&0.3&0.3&0.6 \\ \hline \overline{T}&0.1&0.3&0.4 \\ \hline \text{Total}&0.4&0.6&1 \\ \hline \end{array}$$

 

c) $p(M\cap T)=0.3$ (lecture directe sur le tableau).

 

$p(M\mid T)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)}$ (définition d'une probabilité conditionnelle), soit $p(M\mid T)=\dfrac{0.3}{0.6}=\dfrac{1}{2}.$

 

3) $p(T\mid M)=\dfrac{p(T\cap M)}{p(M)}\dfrac{p(M\cap T)}{p(M)}=\dfrac{0.3}{0.4}=\dfrac{3}{4}.$

1) a) L'égalité $p_{2}=2p_{1}$ est l'une des hypothèses de l'énoncé.

 

L'égalité $p_{4}=p_{1}$ vient du fait que, puisque $p_{2}\;,\ p_{4}\text{ et }p_{6}$ forment, dans cet ordre,

 

une progression géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$, on a en particulier 

 

$p_{4}=\dfrac{1}{2}p_{2}\dfrac{1}{2}(2p_{1})=p_{1}.$

 

L'égalité $p_{5}=\dfrac{1}{4}p_{1}$ vient du fait que, puisque $p_{1}\;,\ p_{3}\text{ et }p_{5}$ forment, dans cet ordre, une progression géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$, on a $p_{3}=\dfrac{1}{2}p_{1}$

 

On a aussi, pour la même raison, $p_{5}=\dfrac{1}{2}p_{3}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}p_{1}\right)=\dfrac{1}{4}p_{1}.$

 

Et comme $p_{1}=p_{4}$ d'après ce qui précède, on en tire que 

 

$p_{3}=\dfrac{1}{2}p_{4}=\dfrac{1}{2}(2p_{6})=p_{6}$ car dans la progression géométrique $p_{2}\;,\ p_{4}\;,\ p_{6}$ de raison $\dfrac{1}{2}$, on a en particulier $p_{6}=\dfrac{1}{2}p_{4}$, donc $p_{4}=2p_{6}.$

 

Enfin, l'égalité $p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6}=1$ résulte d'une propriété fondamentale de la probabilité sur un ensemble fini, à savoir que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires doit être égale à 1.

 

Ainsi toutes les relations du système proposé sont bien vérifiées.

 

Elles permettent alors d'exprimer toutes les probabilité $p_{1}\;,\ p_{2}\;,\ p_{3}\;,\ p_{4}\;,\ p_{5}$ et $p_{6}$ en fonction de $p_{1}.$

 

En effet, on a :

 

$p_{2}=2p_{1}\;,\quad p_{3}=\dfrac{1}{2}p_{1}\;,\quad p_{4}=p_{1}\;,\quad p_{5}=\dfrac{1}{4}p_{1}\;,\quad p_{6}=\dfrac{1}{2}p_{1}\ $ (car $p_{6}=p_{3}$)

 

Cela nous permet d'écrire, avec la dernière égalité du système :

 

$p_{1}+2p_{1}+\dfrac{1}{2}p_{1}+p_{1}+\dfrac{1}{4}p_{1}+\dfrac{1}{2}p_{1}=1$,

 

soit, d'après un calcul facile :

 

$p_{1}=\dfrac{4}{21}.$

 

Il en découle aussitôt que :

 

$p_{1}=\dfrac{4}{21}\;,\ p_{2}=\dfrac{8}{21}\;,\ p_{3}=\dfrac{2}{21}\;,\ p_{4}=\dfrac{4}{21}\;,\ p_{5}=\dfrac{1}{21}$ et $p_{6}=\dfrac{2}{21}.$

 

2) a) Dressons un tableau à double entrée pour déterminer les valeurs possibles de $X.$

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline D_{2}\backslash D_{1}&1&2&3&4&5&6 \\ \hline 1&2&3&4&5&6&7 \\ \hline 2&3&4&5&6&7&8 \\ \hline 3&4&5&6&7&8&9 \\ \hline 4&5&6&7&8&9&10 \\ \hline 5&6&7&8&9&10&11 \\ \hline 6&7&8&9&10&11&12 \\ \hline \end{array}$$

 

L'ensemble des valeurs possibles de $X$ est donc : $$\{2\;,\ 3\;,\ 4\;,\ 5\;,\ 6\;,\ 7\;,\ 8\;,\ 9\;,\ 10\}$$

 

b) L'univers $\Omega$ est l'ensemble des couples $(x\;,\ y)$, où $x$ est le résultat affiché par le dé $D_{1}y$ le résultat affiché par le dé $D_{2}.$

 

On peut supposer que les deux lancers sont indépendants, de sorte que $p(x\;,\ y)=p(x)\times p(y).$

 

Les probabilités $p(x)$ sont les probabilités $p_{i}$ précédemment calculées.

 

Tous les $p(y)$ sont égaux à $\dfrac{1}{6}$, vu l'hypothèse d'équiprobabilité des résultats de $D_{2}.$

 

D'autre part, la probabilité d'un ensemble de couples est égale à la somme des probabilités des couples qui le constituent.

 

D'après le tableau précédent, on a donc :

\begin{eqnarray} p(X=2)&=&p(\{(1\;,\ 1)\})\nonumber \\ &=&p_{1}\times \dfrac{1}{6}\nonumber \\ &=&\dfrac{4}{21}\times \dfrac{1}{6}\nonumber \\ &=&\dfrac{2}{63}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=3)&=&p(\{(2\;,\ 1)\;,\ (1\;,\ 2)\})\nonumber \\ &=&p_{2}\times\dfrac{1}{6}+p_{1}\times \dfrac{1}{6}\nonumber \\ &=&\dfrac{8}{21}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{4}{21}\times \dfrac{1}{6}\nonumber \\ &=&\dfrac{6}{63}\nonumber \\ &=&\dfrac{2}{21}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=4)&=&p(\{(3\;,\ 1)\;,\ (2\;,\ 2)\;,\ (1\;,\ 3)\})\nonumber \\ &=&p_{3}\times\dfrac{1}{6}+p_{2}\times\dfrac{1}{6}+p_{1}\times\dfrac{1}{6}\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{14}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{9}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=5)&=&p(\{(4\;,\ 1)\;,\ (3\;,\ 2)\;,\ (2\;,\ 3)\;,\ (1\;,\ 4)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{4}+p_{3}+p_{2}+p_{1})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{18}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{7}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=6)&=&p(\{(5\;,\ 1)\;,\ (4\;,\ 2)\;,\ (3\;,\ 3)\;,\ (2\;,\ 4)\;,\ (1\;,\ 5)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{5}+p_{4}+p_{3}+p_{2}+p_{1})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{19}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{19}{126}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=7)&=&p(\{(6\;,\ 1)\;,\ (5\;,\ 2)\;,\ (4\;,\ 3)\;,\ (3\;,\ 4)\;,\ (2\;,\ 5)\;,\ (1\;,\ 6)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{6}+p_{5}+p_{4}+p_{3}+p_{2}+p_{1})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(1)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=8)&=&p(\{(6\;,\ 2)\;,\ (5\;,\ 3)\;,\ (4\;,\ 4)\;,\ (3\;,\ 5)\;,\ (2\;,\ 6)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{6}+p_{5}+p_{4}+p_{3}+p_{2})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{17}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{17}{126}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=9)&=&p(\{(6_;,\ 3)\;,\ (5\;,\ 4)\;,\ (4\;,\ 5)\;,\ (3\;,\ 6)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{6}+p_{5}+p_{4}+p_{3})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{9}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{14}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=10)&=&p(\{(6\;,\ 4)\;,\ (5\;,\ 5)\;,\ (4\;,\ 6)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{6}+p_{5}+p_{4})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{7}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{18}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=11)&=&p(\{(6\;,\ 5)\;,\ (5\;,\ 6)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{6}+p_{5})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{3}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{42}\nonumber \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} p(X=12)&=&p(\{(6\;,\ 6)\})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}(p_{6})\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{2}{21}\right)\nonumber \\ &=&\dfrac{1}{63}\nonumber \end{eqnarray}

 

On vérifie ensuite que l'on a bien $$\dfrac{2}{63}+\dfrac{2}{21}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{19}{126}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{17}{126}+\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{42}+\dfrac{1}{63}=1$$

 

On obtient la loi de probabilité suivante :

 

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12 \\ \hline p(X=x_{i})&\dfrac{2}{63}&\dfrac{2}{21}&\dfrac{1}{9}&\dfrac{1}{7}&\dfrac{19}{126}&\dfrac{1}{6}&\dfrac{17}{126}&\dfrac{1}{14}& \dfrac{1}{18}&\dfrac{1}{42}&\dfrac{1}{63} \\ \hline \end{array}$$

a) L'exponentielle d'un réel étant toujours strictement positive, les termes $u_{n}=\mathrm{e}^{-n}$ de la suite $(u_{n})$ sont tous strictement positifs.

 

b) La suite $(u_{n})$ étant positive d'après la question précédente, on peut utiliser le critère de la

 

comparaison de $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ à 1 pour étudier le sens de variation de $(u_{n}).$

 

Or, $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{\mathrm{e}^{-(n+1)}}{\mathrm{e}^{-n}}=\mathrm{e}^{-1}\text{ et on a }0<\mathrm{e}^{-1}< 1.$ 

 

Il en résulte que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.

 

c) La relation $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\mathrm{e}^{-1}$(constante), établie au b), montre que $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison $\mathrm{e}^{-1}.$

 

d) Le fait que $0<\mathrm{e}^{-1}< 1$ entraine d'après les questions précédentes que : $$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=0$$ 

 

(limite d'une suite géométrique dont la raison $q$ est strictement comprise entre -1 et 1).

 

Commentaire : Les calculs demandés dans l'exercice 3 sont un peu longs et il était difficile de tout rédiger dans le temps imparti pour l'épreuve.