Devoir n° 22 - 2nd s

Soient $\mathfrak{D}$ et $\mathfrak{D}'$ deux droites définies par : 

 

$\mathfrak{D}\ :\ 2x-y+1=0$ et $\mathfrak{D}'\ :\ \left\lbrace\begin{array}{rcl} x&=&1-at \\ y&=&b+3t\end{array}\right.\ (t\in\mathbb{R})$

 

1) Déterminer un couple $(a\;,\ b)$ tel que : $\mathfrak{D}//\mathfrak{D}'.$

 

2) Déterminer un couple $(a\;,\ b)$ tel que : $\mathfrak{D}=\mathfrak{D}'.$

 

3) Déterminer un couple $(a\;,\ b)$ tel que : $\mathfrak{D}$ est strictement parallèle à $\mathfrak{D}'.$

$ABCD$ est un parallélogramme. $a$ et $b$ sont deux réels non nuls.

 

$E$ et $F$ sont les points tels que : $\overrightarrow{AE}=a\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AF}=b\overrightarrow{AD}.$

 

La droite parallèle à $(AD)$ passant par $E$ coupe $(CD)$ en $G$ et la droite parallèle à $(AB)$ passant par $F$ coupe $(BC)$ en $H.$

 

On note $K$ le point d'intersection des droites $(EG)$ et $(FH).$

 

On considère le repère $\mathcal{R}=(A\;,\ \overrightarrow{AB}\;,\ \overrightarrow{AD}).$

 

1) Déterminer les coordonnées des points $A\;,\ B\;,\ C\;,\ D\;,\ E\;,\ F\;,\ G\;,\ H$ et $K$ dans le repère $\mathcal{R}.$

 

2) Déterminer une condition sur $a$ et $b$ pour que $(FG)//(EH)\;$, puis montrer qu'avec cette condition, on a : $(FG)//(AC)$ et $(EH)//(AC).$

 

3) Montrer que si $a+b=1\;$, alors $K\in(BD).$

 

4) Déterminer une condition sur $a$ et $b$ pour que $(EF)//(GH)\;$, puis montrer que, dans ce cas, on a : $(EF)//(DB)$ et $(GH)//(DB).$

 

5) Montrer alors que : $K\in(AC).$

 

6) Montrer que le quadrilatère $EFGH$ est un parallélogramme si et seulement si : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} a+b&=&1 \\ a&=&b\end{array}\right.$

 

7) Montrer qu'alors $E$ et $G$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD]\;$, et que les parallélogrammes $ABCD$ et $EFGH$ ont même centre.

 

 

 

$$\text{Durée : 2 h}$$