Devoir n° 11 - 1e S1

Classe: 
Première

Exercice 1 

A. Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la fonction ff en 0 (EE désigne la fonction partie entière)
 
1) f(x)=xE(1x)f(x)=xE(1x)
 
2) f(x)=xE(x)x|x|f(x)=xE(x)x|x|
 
B. Soit ff la fonction définie par : f(x)=E(x)xf(x)=E(x)x, où EE désigne la fonction partie entière.
 
1) Démontrer que : x]0; 1[, f(x)=0.x]0; 1[, f(x)=0.
 
En déduire la limite de ff en 0.
 
2) Démontrer que : x]0;; +[, 0f(x)1x.x]0;; +[, 0f(x)1x.
 
En déduire la limite de ff en +.+.

Exercice 2 

Soit ff la fonction définie par : f(x)=x2sin(1x).f(x)=x2sin(1x).
 
1) a) Démontrer que : x]0;; +[, x3f(x)xx]0;; +[, x3f(x)x
 
b) Démontrer que : x]; 0[, xf(x)x3x]; 0[, xf(x)x3
 
2) En déduire les limites de ff en +, +,  et 0.
 
3) Soit g : xx2+|x|x2|x|.g : xx2+|x|x2|x|. 
 
Déterminer Dg.Dg. Peut-on prolonger gg par continuité en 0 ? Si oui, définir la fonction hh qui prolonge gg par continuité en 0.
 
(N.B. la question 3) est indépendante des questions 1) et 2)).

Exercice 3 

On considère la fonction numérique de la variable réelle définie par : f(x)=1x+|x22x|f(x)=1x+|x22x|
1) Déterminer le domaine de définition de f.f.
 
2) Calculer les limites de ff aux bornes de son domaine de définition.
 
En déduire que la courbe représentative de ff dans un repère orthonormal admet des asymptotes dont on déterminera les équations.
 
3) Étudier la dérivabilité de ff en 2. En déduire la tangente en ce point.
 
4) Calculer la dérivée de ff suivant des intervalles convenablement choisis.

Exercice 4 

On considère la fonction de R vers R définie par : fm(x)=2mx1mx1,(mR)
On désigne par (Cm) la courbe représentative de la fonction : fm dans le plan muni d'un repère orthonormé.
 
1) Montrer que toutes les courbes (Cm) passent par un point fixe.
 
2) Discuter, suivant les valeurs de m, le sens de variation de fm.
 
3) Quelles sont les asymptotes à (Cm) ?
 
4) Déterminer l'équation de la tangente à (Cm) au point d'abscisse x=0.
 
5) Quelle relation doit lier m et m pour que (Cm) et (Cm) aient des tangentes perpendiculaires au point d'abscisse 0 ?
 
 
Durée : 4 h
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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