Devoir n° 10 - 1e S1

Classe: 
Première

Exercice 1 

Soit P(x)=x(xb)(xc)a(ab)(ac)+x(xc)(xa)b(bc)(ba)+x(xa)(xb)c(ca)(cb)
 
Calculer P(a), P(b), P(c). Simplifier P(x).

Exercice 2 

Soit P(x)=2x4x310x2+3
 
1) Déterminer un polynôme Q(x), et un polynôme R(x) du premier degré, tels que : P(x)=(x22x1)Q(x)+R(x)
2) En déduire le quotient et le reste de la division de P(x) par (x12).
 
3) Déterminer P(12).

Exercice 3 

1) Déterminer les polynômes f(x) de degré 2 vérifiant la relation : P(x)P(x1)=x2+x quel que soit xR.
 
2) En déduire l'expression en fonction de n de la somme 1×2+2×3+3×4++n(n+1)

Exercice 4 

Soit ABC un triangle tel que AB=AC=5 et BC=6 et soit I=AB
 
1) Calculer AI
 
2) Montrer que AB.AC=7
 
3) Déterminer l'ensemble E={M appartient à P; MA23MI2=44}
 
4) Soit G le centre de gravité de ABC.
 
On pose f : PR; Mf(M) tel que f(M)=MB.MC23AI.MG.
 
a) Calculer f(A) et f(C).
 
b) Montrer que pour tout point M du plan on a f(M)=MG2+f(G).
 
c) Déterminer suivant le réel a l'ensemble 
 
Fa={M appartient à P; f(M)=a}.

Exercice 5

On considère un triangle ABC tel que BC=8, AB=7 et AC=10.
 
1) Calculer la longueur des médianes de ce triangle.
 
2) Calculer la mesure des angles de ce triangle.
 
3) Calculer l'aire de ABC.

Exercice 6

Quels que soient a, b, c, réels dont la somme est π (par exemple a, b et peuvent être les mesures des angles géométriques d'un triangle ABC), démontrer que, sous réserve de définition :
 
1) tana+tanb+tanc=tanatanbtanc.
 
2) 1cosa+cosb+cosc=4sina2cosb2cosc2.
 
3) sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc.

Exercice 7

Résoudre dans ]π; π] puis représenter sur le cercle trigonométrique les solutions des équations suivantes :
 
1) |sin(π32x)|=1
 
2) sin2(x2π4)=cos2(x+π4)
 
3) tanxcot2x=1

Exercice 8

On cherche à résoudre l'équation : x3+6x2+9x+3=0(1)
1) Calculer cos3α en fonction de cosα.
 
2) Poser x=y+h dans l'équation (1). Que devient alors l'équation (1) ?
 
Déterminer h pour que cette nouvelle équation d'inconnue y ne contienne plus de terme en y2
 
Prouver que, dans ce cas, l'équation (1) équivaut à l'équation y33y+1=0(2)
3) Poser y=kz dans l'équation (2). Que devient alors l'équation (2) ?
 
Déterminer k pour que l'équation (2) soit équivalente à l'équation : 4z33z=12(3)
4) Effectuer la résolution de l'équation (3) en cherchant z sous la forme z=cosα.
 
5) Donner les solutions de l'équation (1) ; puis en donner des valeurs approchées à 104 près par défaut.
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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