Devoir n° 9 - 1e S1

Prouver que le polynôme $P(x)=x^{4}+4x^{3}+12x^{2}+16x+16$ est le carré d'un polynôme que l'on déterminera.

Dans chacun des cas suivants, on demande de rechercher la limite éventuelle : $$1)\ \lim_{x\mapsto -\infty}\dfrac{-3x^{2}-5x+1}{x-5}\qquad\quad 2)\ \lim_{x\mapsto 1}\dfrac{x^{4}-3x+2}{x-1}$$

$$3)\ \lim_{x\mapsto -\infty}\dfrac{x\sqrt{x}-8}{4-x}\qquad\quad 4)\ \lim_{x\mapsto 2}\dfrac{x^{3}-x-6}{x^{2}-4}$$

$$5)\ \lim_{x\mapsto 0}\dfrac{1}{x(x+1)}-\dfrac{1}{x}\qquad\quad 6)\ \lim_{x\mapsto 4}\dfrac{3-|x-1|}{|x^{2}-3x-4|}$$

Déterminer le nombre dérivé de la fonction $f$ au point $x_{0}$ dans chacun des cas suivants :

 

(1) $f(x)=|x^{2}-3|+2\;,\quad x_{0}=1$ puis $x_{0}=-3$

 

(2) $f(x)=\dfrac{-2x}{x-1}\;,\quad x_{0}=3$

 

(3) $f(x)=\dfrac{3-x}{\sqrt{x^{2}+x+1}}\;,\quad x_{0}=0$

Calculer la fonction dérivée de $f$ dans chacun des cas suivants :

 

1) $f(x)=(x^{2}+1)^{3}$

 

2) $f(x)=(\sqrt{x}-x)(x^{2}+1)$

 

3) $f(x)=\dfrac{(\sqrt{x}-x)(x^{2}+1)}{\sqrt{x}+2x}$

 

4) $f(x)=(1-2x)^{2}\left(x^{2}-\dfrac{2}{x}\right)$

 

Bonne présentation : + 1 point

 

 

$$\text{Durée 3 h}$$