Devoir n° 5 - 1e S2

Classe: 
Première

Exercice 1 

Déterminer le polynôme P(x)P(x) du 4éme degré tel que :
 
  Le coefficient de x4 dans P(x) vaut 1
 
  P(x) est divisible par x2+x+1
 
  Le reste de la division P(x) par x21 est 3x+9
 
Donner les racines réelles de l'équation P(x)=0

Exercice 2 

1) Soit le polynôme P(x)=x46x3+ax2+42x+40
 
a) On demande de déterminer α (réel sachant que la somme des deux racines de P(x) est égale à la somme des deux autres racines).
 
b) Dans toute la suite on suppose que α=5.
 
Factoriser alors P(x)
 
2) Déterminer le couple de réels (β, γ) tel que le polynôme Q(x)=βx47x3βx2+γx+6 soit divisible par x22x3
 
3) Résoudre dans R l'inéquation suivante x46x3+ax2+42x+40βx47x3βx2+γx+60 (où α, β, γ sont les valeurs trouvées ci-dessus)

Exercice 3 

On appelle polynôme réciproque de degré n tout polynôme P(x) vérifiant : {dP=nxR, P(1x)=P(x)xn
a) Montrer que si α est une racine de P(x) alors α est non nul et 1α est aussi une racine de P(x).
 
b) Montrer que tout polynôme réciproque de degré n (impair) admet 1 pour racine.
 
2) Déterminer le polynôme réciproque de degré 5 admettant pour racines α1=2 et α2=23 tel
que P(0)=2.
 
3) On pose α=1+52  et  P(x)=x4(65)x3+(265)x2(65)x2+1
a) Montrer que α2=1+α puis en déduire α3, α4 en fonction de α.
 
b) En déduire alors que α est une racine de P(x).
 
c) En utilisant la question 1) Résoudre simplement dans R l'équation P(x)=0
 
Auteur: 
Mouhamadou Ka

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