Devoir n° 5 - 1e S2
Classe:
Première
Exercice 1
Déterminer le polynôme P(x)P(x) du 4éme degré tel que :
⋅ Le coefficient de x4 dans P(x) vaut 1
⋅ P(x) est divisible par x2+x+1
⋅ Le reste de la division P(x) par x2−1 est −3x+9
Donner les racines réelles de l'équation P(x)=0
Exercice 2
1) Soit le polynôme P(x)=x4−6x3+ax2+42x+40
a) On demande de déterminer α (réel sachant que la somme des deux racines de P(x) est égale à la somme des deux autres racines).
b) Dans toute la suite on suppose que α=−5.
Factoriser alors P(x)
2) Déterminer le couple de réels (β, γ) tel que le polynôme Q(x)=βx4−7x3−βx2+γx+6 soit divisible par x2−2x−3
3) Résoudre dans R l'inéquation suivante x4−6x3+ax2+42x+40βx4−7x3−βx2+γx+6≤0 (où α, β, γ sont les valeurs trouvées ci-dessus)
Exercice 3
On appelle polynôme réciproque de degré n tout polynôme P(x) vérifiant : {d∘P=n∀x∈R∗, P(1x)=P(x)xn
a) Montrer que si α est une racine de P(x) alors α est non nul et 1α est aussi une racine de P(x).
b) Montrer que tout polynôme réciproque de degré n (impair) admet −1 pour racine.
2) Déterminer le polynôme réciproque de degré 5 admettant pour racines α1=2 et α2=2−√3 tel
que P(0)=2.
3) On pose α=1+√52 et P(x)=x4−(6−√5)x3+(2−6√5)x2−(6−√5)x2+1
a) Montrer que α2=1+α puis en déduire α3, α4 en fonction de α.
b) En déduire alors que α est une racine de P(x).
c) En utilisant la question 1) Résoudre simplement dans R l'équation P(x)=0
Auteur:
Mouhamadou Ka
Commentaires
Pathe (non vérifié)
mer, 09/16/2020 - 01:52
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Avez vous la correction de ce
Aïmèrou Ndiaye (non vérifié)
dim, 01/24/2021 - 13:44
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Merci.
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