Devoir n°2 - Ts2

$x$ est un réel élément de $]-\pi\;,\ \pi[.$

 

1) Vérifier les relations : $\sin x=\dfrac{2a}{1+a^{2}}$ et $\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}=a^{2}$, où $a=\tan\dfrac{x}{2}$

 

2) Étudier le signe du polynôme $P(a)=a^{4}+a^{2}-2a$ suivant les valeurs du réel $a.$

 

3) En utilisant les questions 1) et 2), résoudre dans $]-\pi\;,\ \pi[$ l'inéquation : $$\sin x\cos x+\sin x+\cos x-1<0$$

(INDICATION : on remarquera qu'elle est équivalente à $\sin x=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}).$

 

4) Résoudre dans $]-\pi\;,\ \pi[\ :\ \cos x+\sin x>1.$

 

(INDICATION: on pourra, après élévations au carré, utiliser la question 3))

1) Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{m^{2}x^{2}+x+2m^{2}}}{x}$, où $m$ est un paramètre réel.

 

a) Montrer que, quel que soit $m\in\mathbb{R}\;,\ \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=1-|m|.$

 

b) Étudier $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$ suivant les valeurs de $m.$

 

(INDICATION : utiliser l'expression conjuguée).

 

2) a) Factoriser l'expression : $5\cos^{2}x+\sin^{2}x-4\cos x.$

 

b) Déterminer $\lim_{x\rightarrow\tfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sin x-\sqrt{3}\cos x}{5\cos^{2}x+\sin^{2}x-4\cos x}$

 

3) a) Factoriser l'expression : $\sin 2x-2+2\sin x-2\cos x.$

 

b) Déterminer $lim_{x\rightarrow\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{2\sin^{2}x+\sin x-3}{\sin 2x-2+2\sin x-2\cos x}$

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

 

Soit $B$ le point d'affixe $(-\mathrm{i}).$ A tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z'=\dfrac{z^{2}}{z+\mathrm{i}}.$

 

1) Déterminer et représenter l'ensemble $\mathfrak{E}$ des points $M$ tels que $M'$ soit sur l'axe des imaginaires purs $(O\;,\ \vec{v}).$

 

2) a) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^{2}+2\mathrm{i}az-2a=0$, où $a$ est un réel donné.

 

b) Montrer que les points images des solutions de l'équation appartiennent à $\mathfrak{E}.$

 

Ce résultat était-il prévisible ?

Soit $A$ et $B$ deux réels.

 

1) Factoriser $A^{2}+B^{2}$ sous forme du produit de deux nombres complexes.

 

(INDICATION : on pourra utiliser la relation $|z^{2}|=z).$

 

2) Utiliser la factorisation précédente pour factoriser $$P(x)=(x^{2}-4x+4)^{2}+(x+1)^{2}$$

3) Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $P(x)=0.$

 

$$\text{Durée : 2 h}$$