BAC S COMPLEXE Antilles_sept 2004

\Ouv{} est un repère orthonormal du plan $\mathcal{P}$.
Soit A le point d'affixe 1 ; soit B le point d'affixe $- 1$.
Soit $F$ l'application de $\mathcal{P}$ privé de O dans $\mathcal{P}$ qui, à tout point $M$
distinct de O, d'affixe $z$ , associe le point $M' = F(M)$ d'affixe $z'= \dfrac{-1}{\overline{z}}$.

Soit E le point d'affixe e$^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ , on appelle E$'$ son image par $F$. Déterminer l'affixe de E$'$ sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
On note $\mathcal{C}_{1}$ le cercle de centre O et de rayon 1. Déterminer l'image de $\mathcal{C}_{1}$ par l'application $F$.

Soit K le point d'affixe $2\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ et K$'$ l'image de K par $F$. Calculer l'affixe de K$'$.
Soit $\mathcal{C}_{2}$ le cercle de centre O et de rayon 2. Déterminer l'i mage de $\mathcal{C}_{2}$ par l'application $F$.

On désigne par $R$ un point d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta \in ]- \pi~ ;~ \pi[$ ; R appartient au cercle $\mathcal{C}_{3}$ de centre A et de rayon 1.
Montrer que $z' + 1 = \dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z}}$.
En déduire que $\left | z' + 1\right| = \left| z'\right|.$
Si on considère maintenant les points d'affixe $1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ décrit l'intervalle $]- \pi~;~\pi[$, montrer que leurs images sont situées sur une
droite. On pourra utiliser le résultat de \textbf{a.}.