Notions de base

1.      Trinôme du second degré
1.1        Définition

On appelle trinôme du second degré toute expression, définie sur $\mathbb{R}$  pouvant se mettre sous la forme :

$P(x)=ax^2+bx+c$

où a, b et c  sont des nombres réels et $a \neq 1$ .

Exemples : Les expressions suivantes sont des trinômes du second degré :

 $20+x^2; x^2+2x+3$

De même

 $(2x+1)^2-3x^2$

est un trinôme du second degré. En développant, on obtient

$(2x+1)^2-3x^2=4x^2+4x+1-3x^2=x^2+4x+1$.

Par contre l’expression

$(x-2)^2-x^2$

  n’est pas un trinôme du second degré car

$(x-2)^2-x^2=-4x+4$.
1.2   Forme canonique d’un trinôme

Propriété et définition :

Pour tout trinôme du second degré  $ax^2+bx+c  (a \neq 1)$, on peut trouver deux nombres réels $\alpha$  et  $\beta$ tels que, pour tout nombre réel x, on ait :

L’écriture ${ax^2+bx+}c=a(x-\alpha)^2+\beta)$ s’appelle la forme canonique de  $ax^2+bx+c$.
Démonstration : Transformons le trinôme

$x^2+bx+c$,

on commence par mettre a en facteur :

 $ax^2+bx+c=a(x^2+b/a x+c/a)$
Ensuite on écrit que

 $x^2+b/a$

x est le début du développement de

$(x+b/2a)^2$.
En effet ;

 $(x+b/2a)^2=x^2+b/a x+b^2/(4a^2 )$  ,

 d’où

 $x^2+b/a x=(x+\frac{b}{2a})^2-  \frac{b^2}{ 4a^2 }$
$ax^2+bx+c=a[(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{b^2}{( 4a^2 )}+c/a]$

                       $=[a(x+\frac{b}{2a})^2- \frac{(b^2-4ac)}{( 4a^2 )}   ]$
On pose

 $\alpha=-\frac{b}{2a}$    et  $\beta =- \frac{b^2-4ac}{4a}$

 on obtient finalement
 $ax^2+bx+c=a(x-a)^2+\beta$

 Exemples :

$(x+3)^2$ est la forme canonique du trinôme $x^2+6x+9$ car
$x^2+6x+9=(x+3)^2$.  On a utilisé ici une identité remarquable.
Pour mettre le trinôme  $3x^2-12x+8$  sous forme canonique, on commence par mettre le coefficient de  $x^2$  en facteur dans l’expression  $3x^2-12x$ :
$3x^2-12x+8=3(x^2-4)+8$ ;  Ensuite on transforme  $4x^2-12x$  en faisant apparaître le début d’une identité remarquable :  $x^2-4=(x-2)^2-4$
$3x^2-12x+8=3(x^2-4)+8=3[(x-2)^2-4]+8=3(x-2)^2-4$
On a donc la forme canonique : $3x^2-12x+8=3(x-2)^2-4$.
1.3   Racine d’un trinôme

Définition : On appelle racine d’un trinôme toute valeur de la variable x solution de l’équation   

Exemples : On appelle racine d’un trinôme $ax^2+bx+c$  toute valeur de la variable x solution de l’équation $x^2+6x+9=0$
Exemples : – 4 et 1 sont deux racines du trinôme $x^2+3x-4$ .

 En effet, posons
 $f(x)=x^2+3x-4$. On a : $f(1)=(1)^2+3(1)-4=1+3-4=0$ et
   $f(-4)= (-4)^2+3(-4)-4=16-12-4=0$

2.      Equations et inéquations du second degré
2.1   Equations du second degré

Définition : On appelle équation du second degré toute équation, définie sur  $\mathbb{R}$  pouvant se mettre sous la forme : $ax^2 +bx+c$
où a,b et c  sont des nombres réels et $a\neq 0$.

Exemples : $3x^2 - 5x + 2 = 0$ où  a = 3 ; b = - 5 et  c = 2 ; $-4x^2 + 7 = 0$où  a = - 4 ; b = 0 et  c = 7.

Résolution : Le nombre de solutions d'une équation du 2nd degré dépend de la valeur d'un nombre $\Delta$  appelé discriminant et tel que $\Delta = b^2-4ac$
On distingue 3 cas en fonction de la valeur de

Si $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions distinctes :
 $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Si $\Delta  = 0$, l'équation a une solution double :
$x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$

Si $\Delta$ < 0, alors l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

Exemples : a) $2x^2 - 5x - 3 = 0$ ;$\Delta= (- 5)^2 - 4(2 )(- 3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$

$\Delta$> 0 donc il y a deux solutions :

 $x_1 = \frac{5-\sqrt{49}}{4}=\frac{5-7}{4}=\frac{-1}{2}$ et $x2 = \frac{5+\sqrt{49}}{4}=\frac{5+7}{4}=3$

b) $x^2 - 4x + 5 = 0 ; \Delta  = (- 4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = - 4 ; \Delta   < 0$ donc l'équation n'a pas de solution.

c) $9x^2 + 6x + 1 = 0 ;  \Delta = 6^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0 ; \Delta = 0$, l'équation a une solution double :  $x_1=\frac{-6}{2x9}=-\frac{1}{3}$ .

Vérification : $9(-\frac{1}{3})^2+6(-\frac{1}{3}+1=1-2+1=0$

2.2   Factorisation d’un trinôme du second degré

Soit un polynôme $P(x) = ax^2 + bx +c$
Factoriser ce polynôme revient à l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes du 1er degré. Pour ce faire, il faut rechercher les solutions de l'équation $P(x) = 0$  en calculant le discriminant $\Delta$ . Soient $x1$ et $x2$sont les solutions de l’équation $P(x) = 0$  .

Théorème : $P(x) = ax^2 + bx +c$ et  son discriminant$\Delta$.

    Si  $\Delta > 0$ , le polynôme peut s'écrire $P(x) = a(x-x1)(x-x2)$
    Si  $\Delta  = 0$, le polynôme peut s'écrire $P(x) = a(x-x1)$
    Si  $\Delta < 0$ , la factorisation du polynôme  est impossible

Exemple : Factorisation

 1)$P(x)= 5x^2+ 5x - 10$
 $\Delta = 5^2 - 4(5)(-10) = 25 + 200 = 225.$
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$ . Ces 2 solutions sont :
$x1=\frac{-5+\sqrt{255}}{10}=1$  et $x2=\frac{-5-\sqrt{255}}{10} = -2$  
La factorisation de $P(x)$  est donc : $P(x) = 5(x - 1)(x + 2)$ .
 2) $P(x)= x^2+4x + 4$
 le discriminant $\Delta= (4)^2 - 4(1 )(4) = 16-16 = 0.$
  $\Delta = 0$ donc il existe une solution double à l'équation $P(x) = 0$.
  Cette solution est  $x_1 = \frac{-4}{2(1)} = -2$   .
  La factorisation de $P(x)$ est donc : $P(x) = (x +2)(x + 2)$ .
 3)$P(x)= x^2+x + 4$
 $\Delta = (1)^2 - 4(1)(4) = 1-16 = -15$
 $\Delta < 0$ donc la factorisation du polynôme $P(x)$ est impossible.

2.3        Signe d’un trinôme du second degré

Méthode : Pour déterminer le signe d'un polynôme $P$ du  second degré
$P(x) = ax^2 +bx + c$, on factorise $P$ sous la forme $P(x) = (x - x_1)(x - x_2)$
où $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de l'équation $P(x) = 0$ et on étudie dans un tableau le signe de $(x - x_1)$ et de $(x - x_2)$ en fonction des valeurs de $x$.
Exemple : étude du signe du polynôme $A(x) = x^2 + 4x + 21$ sur $\mathbb{R}$
- Recherche du discriminant : $\Delta = (4)^2 - 4(1)(21) = 16 + 84 = 100$
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$. Ces 2 solutions sont :
   $x_1 = \frac{-4-\sqrt{100}}{2}$    et $x_1 = \frac{-4+\sqrt{100}}{2}$     
La forme factorisée de $A(x)$ est : $A(x) = (x - 3)(x + 7)$

 Tableau de signes de $A(x)$ :

Remarque : Dans le cas où le polynôme $P(x)$ a une racine ou aucune racine, son signe est celui de a .

Exemple :  $B(x) = - 2x^2 + 4x - 3$. Recherche du discriminant
 $\Delta =4^2 - 4(-2) (-3) = -8$.

$\Delta < 0$ donc $B(x)$ est toujours négatif car  a = -2 .

2.4    Inéquations du second degré

Définition :  On appelle Inéquation du second degré toute équation, définie sur $\mathbb{R}$ toute expression pouvant se mettre sous la forme : $ax^2 + bx +c>0$ ou $ax^2 + bx +c < 0$
où a,b et c sont des nombres réels et $a \leq 0$.

Résolution : Résoudre une inéquation du second degré, c’est-à-dire une inéquation  comportant des termes où l’inconnue est au carré, se ramène après développement, réduction et transposition de tous les termes dans un même membre à l’étude du signe d’un trinôme

Exemple : Résoudre $x^2 + 4x - 21>0$ sur $\mathbb{R}$.

Recherche du discriminant : $\Delta = 4^2 - (4 )(1 )(-21) = 16 + 84 = 100$.
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$. Ces 2 solutions sont :
       $x_1=\frac{-4+\sqrt{100}}{2}=3$  et  $x_2=\frac{-4+\sqrt{100}}{2}=-7$     
La forme factorisée de $A(x)$ est : $A(x) = (x - 3)(x + 7)$

La forme Tableau de signes de A(x) :
                                                                                                                                                                                                                                                                                         

x	$-\infty$	-7	3 $+\infty$
$x^2 + 4x - 21>0$	+	-	+

 

3      Equations et inéquation se ramenant au second degré
3.1       Equations avec changement de variable

Soit Soit une équation  $P(x)=0$ pouvant se mettre sous la forme :
$P(x) = Q(h(x)) = a(h(x))^2 + bh(x) + c = 0$
En posant  $y = h(x)$  on obtient une équation résolvant du second degré de la forme $Q(y) = ay^2 + by + c = 0$.  Où a,b et c sont des réels et $a \neq 0$.

 Exemples :

a.    $x^4 - 4x^2 - 21=0$ ; on  pose $y=x^2$ on obtient $y^2 - 4y - 21=0$.
Recherche du discriminant : $\Delta =(-4)2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100$
$\Delta > 0$ donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$.

Ces 2 solutions sont :
$y_1 = \frac{4-\sqrt{100}}{2x4} = -3$ et $y_2 = \frac{4+\sqrt{100}}{2x4} = -7$        
On obtient :   $x^2 = -3$  impossible   ou $x^2=7 \Longleftrightarrow x=±\sqrt{7}$.
$S=\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\}$ .

b.   $x^4+x^3-4x^2+x+1=0$ ; on  pose $y = x+\frac{1}{x}$ on a :  $y^2-y-6=0$,
 Recherche du discriminant : $\Delta =(-1)^2-4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$.
$\Delta >$ 0 donc il existe 2 solutions à l'équation $P(x) = 0$. Ces 2 solutions sont:
$y_1=\frac{1-\sqrt{25}}{2}=-3$ et $y_2=\frac{1+\sqrt{25}}{2}=7$      
On résoud deux nouvelles équations : $x^2+\frac{1}{x}=3$  ou $x^2+\frac{1}{x}=-2$
$x^2+\frac{1}{x}=3 \Longleftrightarrow x^2-3x+1=0 \Longleftrightarrow x=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$x^2+\frac{1}{x}=-2 \Longleftrightarrow x^2+2x+1=0 \Longleftrightarrow x=-1$

donc  $S=\{-1,\frac{3+\sqrt{5}}{2},\frac{3-\sqrt{5}}{2} \}$

3.2  Somme et produit des racines

 $A(x) = ax^2 + bx +c$ et  son discriminant $\Delta \ge 0$ .

Le polynôme peut s'écrire $A(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\ \hbox{ou} \ A(x) = a(x-x_1)^2$

$A(x) = a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2 = ax^2+bx+c$

Par comparaison on a $x_1+x_2= -\frac{b}{a}\ \hbox{et} x_1x_2=\frac{c}{a}$      $S = x_1+x_2=-\frac{b}{a}$est la somme des  racines de l’équation et $P = x_1x_2=\frac{c}{a}$ est le produit des racines de l’équation.

Réciproquement si $S = x_1+x_2 \ \hbox{et} \ P = x_1x_2$ alors sont solutions l’équation : $X^2 - SX +  P = 0$

Exemple : Résoudre les systèmes

a)   

$
\left\lbrace
$$\begin{array}{cc}x+y& =12\\ xy& =36\end{array}$$\right.$   

$x$  et $y$ (s'ils existent) sont solutions de l’équation résolvante $X^2-12X+36 = 0$

on trouve $x = y = 6$

Donc $S =\{ (6;6) \}$

b)    

$
\left\lbrace
$$\begin{array}{cc}x+y& =12\\ xy& =32\end{array}$$\right.
x $et$ y $(s'ils existent) sont solutions de l’équation résolvante$X^2-12X+32 = 0$

on trouve $x =4 \  \hbox{et} \ y = 8  \  \hbox{ou} \  x = 8 \  \hbox{et} \ y = 4$

Donc $S =\{ (4;8),(8;4) \}$

3.3       Equations avec racine évidente

 Si on connait une ou plusieurs racines évidentes de l’équation $P(x)=0$ alors on peut se ramener  à l’équation du second degré en utilisant la propriété suivante :

 Propriété : Soit Soit $P$ un polynôme de degré $n$ et $a$ une racine de $P$ alors il existe un polynôme $Q$de $n-1$ tel que $P(x)=(x-a)Q(x)$
On utilise la méthode d’identification ou division euclidienne  et de $\hbox{Horner}$ pour déterminer $Q(x)$

Exemples :

1)   $P(x) = -5x^2 + 3x^2 + 5x - 3 = 0$ avec 1 est racine évidente.
 $P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c) = ax^2+b(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On obtient
   $
\left\lbrace
$$\begin{array}{cc}a& =-5\\ b-a& =3\\ c-b& =5\\ c& =3\end{array}$$\right.
 \Longleftrightarrow
\left\lbrace
$$\begin{array}{cc}a& =-5\\ b& =-2\\ c& =3\\ c& =3\end{array}$$\right.
$

D’où

$P(x)=(x-1)(-5x^2-2x+3)=0 \Longleftrightarrow x=1 ou -5x^2-2x+3=0$
      $P(x)=0 \Longleftrightarrow x=1 \ \hbox{ou} x=\frac{3}{5}$
             $S=\{ -1;1;\frac{3}{5}\}$

2) Résoudre: $h(x)=x^4-5x^3+6x^2-x-6$ avec -1 et 1 sont racines évidentes.
3)  $h(x)=x^4-5x^3+6x^2-x-6$
$h(x)=(x-1)(x+1)(ax^2+bx+c)=(x^2-1)(ax^2+bx+c)$
          $\Longleftrightarrow h(x) = ax^4+bx^3+(c-a)x^2-bx-c$

On obtient   
$
\left\lbrace
$$\begin{array}{c}a=1\\ b=-5\\ c-a=5\\ c=6\end{array}$$\right.
\Longleftrightarrow
\left\lbrace
$$\begin{array}{c}a=1\\ b=-5\\ c=6\\ c=6\end{array}$$\right.
$D’où$h(x)=(x-1)(x+1)(x^2-5x+6)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1 \ \hbox{ou} \ x^2-5x+6=0 h(x)=0 \Longleftrightarrow x=\pm 1 \ \hbox{ou} \ x=2 \ \hbox{ou} \ x=3S=\{ -1;1;2;3 \}$