Application de la gravitation universelle au mouvement des satellites - Ts

Le mouvement étant circulaire uniforme alors, $\ \vec{a}=\vec{a}_{_{N}}.$

 

Ainsi, $$\vec{G}=\vec{a}_{_{N}}\ \Rightarrow\ G=a_{_{N}}$$

 

Or, $\ G=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}}{r^{2}}\ $ et $\ a_{_{N}}=\dfrac{v^{2}}{r}.$

 

Par suite, 

 

$\begin{array}{rcl} G=a_{_{N}}&\Leftrightarrow&\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}}{r^{2}}=\dfrac{v^{2}}{r}\\ \\&\Leftrightarrow&v^{2}=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}}{r}\\ \\&\Leftrightarrow&v=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}}{r}}\quad\text{or, }\;\ G_{0}=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}}{R_{_{T}}^{2}}\ \Rightarrow\ \mathcal{G}.M_{_{T}}=G_{0}.R_{_{T}}^{2}\\ \\&\Leftrightarrow&v=\sqrt{\dfrac{G_{0}.R_{_{T}}^{2}}{r}}\quad\text{or, }\;\ r=R_{_{T}}+z\\ \\&\Leftrightarrow&v=\sqrt{\dfrac{G_{0}.R_{_{T}}^{2}}{R_{_{T}}+z}}\\ \\&\Leftrightarrow&v=R_{_{T}}\sqrt{\dfrac{G_{0}}{R_{_{T}}+z}}\end{array}$

 

D'où, $$\boxed{v=R_{_{T}}\sqrt{\dfrac{G_{0}}{R_{_{T}}+z}}}\qquad(1)$$

où $z$ est l'altitude du satellite et $R_{_{T}}$, rayon de la terre.

Soit $T$ la période su satellite sur orbite.

 

On a : $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ avec $\omega$ la vitesse angulaire du satellite.

 

Or, $\ v=r.\omega\ $ donc, $\ \omega=\dfrac{v}{r}$

 

Par suite, 

 

$\begin{array}{rcl} T&=&\dfrac{2\pi}{\omega}\\\\&=&\dfrac{2\pi}{\dfrac{v}{r}}\\ \\&=&\dfrac{2\pi.r}{v}\quad\text{or, }\;\ v=R_{_{T}}\sqrt{\dfrac{G_{0}}{r}}\\ \\&=&\dfrac{2\pi.r}{R_{_{T}}}\sqrt{\dfrac{r}{G_{0}}}\\ \\&=&\dfrac{2\pi}{R_{_{T}}}\sqrt{\dfrac{r^{3}}{G_{0}}}\quad\text{or, }\;\ r=R_{_{T}}+z\\ \\&=&\dfrac{2\pi}{R_{_{T}}}\sqrt{\dfrac{(R_{_{T}}+z)^{3}}{G_{0}}}\end{array}$

 

D'où, $$\boxed{T=\dfrac{2\pi}{R_{_{T}}}\sqrt{\dfrac{(R_{_{T}}+z)^{3}}{G_{0}}}}\qquad(2)$$

Satellite géostationnaire

Le carré de la période de révolution est proportionnelle au cube du rayon de l'orbite : $$\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\text{constante}$$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} T=\dfrac{2\pi}{R_{_{T}}}\sqrt{\dfrac{(R_{_{T}}+z)^{3}}{G_{0}}}&\Rightarrow&T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}(R_{_{T}}+z)^{3}}{R_{_{T}}^{2}.G_{0}}\quad\text{or, }\;\ R_{_{T}}^{2}.G_{0}=\mathcal{G}.M_{_{T}}\\ \\&\Rightarrow&T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}(R_{_{T}}+z)^{3}}{\mathcal{G}.M_{_{T}}}\quad\text{or, }\;\ R_{_{T}}+z=r\\ \\&\Rightarrow&T^{2}=\dfrac{4\pi^{2}.r^{3}}{\mathcal{G}.M_{_{T}}}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{\mathcal{G}.M_{_{T}}}\end{array}$

 

D'où, la troisième loi de Kepler : $$\boxed{\dfrac{T^{2}}{r^{3}}=\dfrac{4\pi^{2}}{\mathcal{G}.M_{_{T}}}=\text{constante}}\qquad(3)$$

Par définition on a : $E_{c}=\dfrac{1}{2}m_{_{S}}.v^{2}$

 

Or, d'après la relation (1) on a : $v^{2}=\dfrac{R_{_{T}}^{2}.G_{0}}{R_{_{T}}+z}$ avec $R_{_{T}}^{2}.G_{0}=\mathcal{G}.M_{_{T}}$

 

Donc, $v^{2}=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}}{R_{_{T}}+z}$

 

D'où, $$\boxed{E_{c}=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{2(R_{_{T}}+z)}}\qquad(4)$$

Considérons un satellite faisant un déplacement élémentaire de $dz$ par rapport à son altitude initiale.

 

Ainsi, le rayon $r$, de son orbite sera modifié de $dr.$

L'énergie potentielle du satellite est définie par : $\mathrm{d}E_{p}=-\mathrm{d}W(\vec{F})$

 

On a : 

 

$\begin{array}{rcl} \mathrm{d}E_{p}&=&-\mathrm{d}W(\vec{F})\\\\&=&-\vec{F}\cdot\vec{\mathrm{d}r}\\\\&=&-F\cdot\mathrm{d}r\cdot\underbrace{\cos(\vec{F}\;,\ \vec{\mathrm{d}r})}_{=-1}\quad\text{or, }\;\ \widehat{(\vec{F}\;,\ \vec{\mathrm{d}r})}=\pi\\\\&=&F\cdot\mathrm{d}r\\ \\&=&\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{r^{2}}\cdot\mathrm{d}r\end{array}$

 

Donc, $\mathrm{d}E_{p}=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{r^{2}}\cdot\mathrm{d}r$

 

Ainsi, par passage aux primitives ou par intégration, on obtient : 

 

$$\begin{eqnarray} E_{p}&=&\int\mathrm{d}E_{p}\nonumber \\\\&=&\int\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{r^{2}}\cdot\mathrm{d}r\nonumber \\\\&=&\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}\int\dfrac{1}{r^{2}}\cdot\mathrm{d}r\quad\text{or, }\;\ \int\dfrac{1}{r^{2}}=-\dfrac{1}{r}+\text{cst}\nonumber \\\\&=&-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{r}+\text{cst}\nonumber\end{eqnarray}$$

 

Par suite, $E_{p}=-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{r}+\text{cst}$

 

Pour déterminer la constante on se réfère à l'état infini où l'énergie potentielle est nulle $(E_{p}(\infty)=0).$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} E_{p}(\infty)&=&E_{p_{(r\rightarrow\infty)}}\\ \\&=&\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\left(-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{r}+\text{cst}\right)\quad\text{or, }\;\ \lim\limits_{r\rightarrow\infty}-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{r}=0\\ \\&=&\text{cst}\end{array}$

 

D'où, $\text{cst}=0$

 

Par conséquent, $$\boxed{E_{p}=-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}+z}}\qquad(5)$$

avec $R_{_{T}}+z=r$

 

D'après les relation (4) et (5) on a : 

 

$\begin{array}{rcl} E_{m}&=&E_{c}+E_{p}\\\\&=&\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{2(R_{_{T}}+z)}-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}+z}\\ \\&=&-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{2(R_{_{T}}+z)}\end{array}$

 

D'où, $$\boxed{E_{m}=-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{2(R_{_{T}}+z)}}\qquad(6)$$

$E_{m}=-E_{c}\;,\ E_{m}=\dfrac{E_{p}}{2}\ $ et par suite, $E_{p}=-2E_{c}$

La satellisation est la mise sur orbite d'un satellite.

C'est la vitesse qu'il faut communiquer à un objet à partir du sol pour le satelliser sur orbite basse.

 

Soit $v_{1}$ la $1^{er}$ vitesse cosmique d'un satellite.

 

Les frottements étant négligeables alors, la conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire : 

 

$$\begin{array}{rcl}\Delta E_{m}=0&\Rightarrow&E_{m_{(\text{initiale})}}=E_{m_{(\text{finale})}}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}m_{_{S}}.v_{1}^{2}-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}}=E_{c_{(\text{finale})}}-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}+z}\quad\text{or, }\;\ E_{c}=-\dfrac{E_{p}}{2}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}m_{_{S}}.v_{1}^{2}=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{2(R_{_{T}}+z)}-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}+z}+\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}}\\ \\&\Rightarrow&v_{1}^{2}=\dfrac{2\mathcal{G}.M_{_{T}}}{R_{_{T}}}-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}}{R_{_{T}}+z}\\ \\&\Rightarrow&v_{1}=\sqrt{2\mathcal{G}.M_{_{T}}\left(\dfrac{1}{R_{_{T}}}-\dfrac{1}{2(R_{_{T}}+z)}\right)}\end{array}$$

 

D'où, $$\boxed{v_{1}=\sqrt{2\mathcal{G}.M_{_{T}}\left(\dfrac{1}{R_{_{T}}}-\dfrac{1}{2(R_{_{T}}+z)}\right)}}\qquad(7)$$

C'est la vitesse avec laquelle il faut lancer un objet, à partir du sol, pour qu'il échappe à l'attraction terrestre.

 

Soit $v_{2}$ la vitesse de libération d'un satellite.

 

A l'infini la vitesse du satellite est nulle, l'énergie potentielle aussi est nulle. Donc, $E_{m_{(\text{finale})}}=0$

 

Par suite, la conservation de l'énergie mécanique permet d'écrire :

 

$\begin{array}{rcl}\Delta E_{m}=0&\Rightarrow&E_{m_{(\text{initiale})}}=E_{m_{(\text{finale})}}\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}m_{_{S}}.v_{2}^{2}-\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}}=0\\ \\&\Rightarrow&\dfrac{1}{2}m_{_{S}}.v_{2}^{2}=\dfrac{\mathcal{G}.M_{_{T}}.m_{_{S}}}{R_{_{T}}}\\ \\&\Rightarrow&v_{2}^{2}=\dfrac{2\mathcal{G}.M_{_{T}}}{R_{_{T}}}\\ \\&\Rightarrow&v_{2}=\sqrt{\dfrac{2\mathcal{G}.M_{_{T}}}{R_{_{T}}}}\end{array}$

 

Ainsi, $$\boxed{v_{2}=\sqrt{\dfrac{2\mathcal{G}.M_{_{T}}}{R_{_{T}}}}}\qquad(8)$$

 

A.N : $v_{2}=\sqrt{\dfrac{2\times 6.67\;10^{-11}\times 5.97\;10^{24}}{64\;10^{5}}}=11.15\;10^{3}\;m.s^{-1}$

 

D'où, $\boxed{v_{2}=11.15\;km.s^{-1}}$

 

Un corps est en état d'impesanteur lorsque son poids semble disparaître (poids apparent ou réaction est nul).

 

Considérons un satellite sur orbite et soit un corps de masse $m$ placé à l'intérieur, en un point $A.$

 

Ce corps semble alors flotter du fait que son poids apparent est nul.

$-\ \ $ Par rapport au satellite, le corps de masse $m$ est immobile et les forces appliquées sont le poids $\vec{P}$ et la réaction $\vec{R}$, du support.

 

On obtient alors : $$\vec{P}+\vec{R}=\vec{0}\qquad(*)$$

 

$-\ \ $ Par rapport à un référentiel géocentrique supposé galiléen, ce corps en mouvement suivant la même accélération que le satellite, est soumis à la force d'interaction gravitationnelle $\vec{F}$ et à la réaction $\vec{R}.$

 

En appliquant la troisième loi de Newton, on obtient : $$\vec{F}+\vec{R}=m.\vec{a}$$

 

Or, $\ \vec{F}=m.\vec{G}\ $ ce qui donne alors, $$m.\vec{G}+\vec{R}=m.\vec{a}\qquad(**)$$

 

Par ailleurs, on sait que $\vec{G}=\vec{a}$

 

Donc, l'équation (**) devient : $m.\vec{a}+\vec{R}=m.\vec{a}$

 

D'où, $$\vec{R}=\vec{0}$$

 

Par suite, en reportant dans l'équation (*), on trouve $$\vec{P}=\vec{0}$$

 

Par conséquent, ce corps de masse $m$ est en état d'impesanteur.