Mouvement de chute verticale d'un solide - Ts

Classe: 
Terminale
 

I. Mouvement d'un solide en chute verticale dans un fluide (gaz ou liquide)

Illustration

Une bille de masse $m$ est abandonnée sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique $\rho.$
 
Donner l'expression de la vitesse de la bille sachant que les seules forces appliquées au centre d'inertie $G$ de ce solide sont : le poids $\vec{p}$, la poussée d'Archimède $\vec{F}_{_{a}}$ et les forces de frottement fluide $\vec{f}.$

Étude du mouvement

$\centerdot\ \ $ Le système étudié est la bille, considérée comme un solide ou un point matériel.
 
$\centerdot\ \ $ Le référentiel d'étude est le référentiel terrestre supposé galiléen.
 
$\centerdot\ \ $ Les forces extérieures appliquées au système sont :
 
$-\ \ $ Le poids $\vec{p}=m.\vec{g}$ ; force exercée par la terre sur la bille.
 
$-\ \ $ La poussée d'Archimède ; force exercée par le fluide sur la bille, notée $\vec{F}_{_{a}}=-\rho.V.\vec{g}$ où $V$ est le volume de fluide déplacé lors de l'immersion, équivalent au volume de la partie du solide immergée.
 
$-\ \ $ Les forces de frottement fluide ; $\vec{f}=-k.\vec{v}_{_{G}}$ pour des vitesses faibles, toujours colinéaires et opposées au sens du mouvement avec $k$ coefficient de frottement dépendant du fluide et de la forme du solide.
 
Remarque
 
Dans le cas des vitesses plus élevées, $\vec{f}=-k.v_{_{G}}^{2}.\vec{j}\ $ où $\ \vec{j}$ est un vecteur unitaire orienté dans le sens du mouvement.

 

 
$\centerdot\ \ $ Appliquons la deuxième loi de Newton. On obtient alors : $$\sum \vec{F}_{\text{ext}}=m.\vec{a}_{_{G}}$$
 
D'où, $$\vec{p}+\vec{f}+\vec{F}_{_{a}}=m.\vec{a}_{_{G}}$$
 
Soit : $$m.\vec{g}-k.\vec{v}_{_{G}}-\rho.V.\vec{g}=m.\vec{a}_{_{G}}$$
 
$\centerdot\ \ $ Choisissons comme repère de projection l'axe $Oz$ vertical orienté vers le bas.
 
$\centerdot\ \ $ Projetons cette dernière relation vectorielle suivant l'axe du repère. On obtient alors : $$m.g-k.v_{_{G}}-\rho.V.g=m.a_{_{G}}$$
 
Comme $a_{_{G}}=\dfrac{\mathrm{d}v_{_{G}}}{\mathrm{d}t}$ alors, la relation devient : $$m.g-k.v_{_{G}}-\rho.V.g=m.\dfrac{\mathrm{d}v_{_{G}}}{\mathrm{d}t}$$
 
Soit : $$\boxed{\dfrac{\mathrm{d}v_{_{G}}}{\mathrm{d}t}+\dfrac{k}{m}v_{_{G}}=\dfrac{g}{m}\left(m-\rho.V\right)}$$
 
On reconnait alors l'équation différentielle d'ordre 1 à coefficients constants en $v_{_{G}}.$
 
Cours mathématiques : Cette équation différentielle, de la forme $ay'+by=c$ avec $a=1\;,\ b=\dfrac{k}{m}\ $ et $\ c=\dfrac{g}{m}\left(m-\rho.V\right)$, a pour solution : $$y(t)=f_{2}(t)+f_{1}(t)$$ avec $f_{2}(t)$ solution générale de l'équation $ay'+by=0\ $ et $\ f_{1}(t)$ une solution particulière de l'équation $ay'+by=c.$
 
Par suite,  $$f_{2}(t)=\lambda\mathrm{e}^{-bt}\ \text{ et }\ f_{1}(t)=\dfrac{c}{b}$$ 
 
D'où, $$v_{_{G}}(t)=\lambda\mathrm{e}^{-\tfrac{kt}{m}}+\dfrac{g}{k}\left(m-\rho.V\right)$$
 
Or, à $t=0\;,\ v_{0}=0\ $ donc, $\ \lambda\mathrm{e}^{0}+\dfrac{g}{k}\left(m-\rho.V\right)=0.$ 
 
Ce qui donne : $\lambda=-\dfrac{g}{k}\left(m-\rho.V\right)$ 
 
Et par conséquent, $$\boxed{v_{_{G}}(t)=\dfrac{g}{k}\left(m-\rho.V\right)\left(1-\mathrm{e}^{-\tfrac{kt}{m}}\right)}$$

Vitesse limite $v_{_{\text{lim}}}$

La vitesse limite $v_{_{\text{lim}}}$ est la vitesse maximale atteinte par la bille lors de sa chute dans le fluide.
 
Cette vitesse est atteinte quand l'accélération s'annule ; c'est-à-dire la vitesse est une constant et donc $\dfrac{\mathrm{d}v_{_{G}}}{\mathrm{d}t}=0$
 
On a : $\ \dfrac{\mathrm{d}v_{_{G}}}{\mathrm{d}t}+\dfrac{k}{m}v_{_{G}}=\dfrac{g}{m}\left(m-\rho.V\right)\ $ or, $\ \dfrac{\mathrm{d}v_{_{G}}}{\mathrm{d}t}=0$
 
Donc, $$\boxed{v_{_{\text{lim}}}=\dfrac{g}{k}\left(m-\rho.V\right)}$$

Constante de temps $\tau$

C'est un indicateur qui informe sur la durée pour atteindre la vitesse limite. $$\boxed{\tau=\dfrac{m}{k}}$$
 
Remarque 
 
A la date $t=\tau\;,\ v_{_{G}}=0.63v_{_{\text{lim}}}$ et au bout de $t=5\tau$, le régime permanent est atteint ; le mouvement est alors rectiligne uniforme. 

II. Mouvement de chute verticale libre

Un solide est en chute libre (sans frottement) si le poids est la seule force extérieure appliquée.

Illustration

A partir d'un point $A$ situé au dessus du sol, une bille de masse $m$ est lâchée à $t_{0}=0$, avec une vitesse initiale $\vec{v}_{0}.$
 
Les frottements de l'air étant négligeables, déterminer alors les équations du mouvement.

Étude du mouvement

La bille étant en mouvement de chute libre, on se place alors dans le repère terrestre considéré comme galiléen.
 
Le système étudié est la bille, considérée comme un point matériel.
 
Le poids $\vec{p}=m.\vec{g}$ est la seule force extérieure appliquée au système.

 

 
Ainsi, en appliquant le théorème du centre d'inertie, on a : $$\vec{p}=m.\vec{a}_{_{G}}$$
 
D'où, $$m.\vec{g}=m.\vec{a}_{_{G}}$$
 
Soit : $$\vec{g}=\vec{a}_{_{G}}$$
 
Projetons cette dernière relation vectorielle suivant un axe vertical orienté vers le bas. On obtient alors : $$g=a_{_{G}}$$
 
Comme $a_{_{G}}=\dfrac{\mathrm{d}v_{_{G}}}{\mathrm{d}t}=g$ alors, par intégration, on obtient : $$\boxed{v_{_{G}}=gt+v_{0}}$$
 
De même, $v_{_{G}}=\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$ d'où, par intégration, on obtient l'équation horaire du mouvement donnée par : $$\boxed{z=\dfrac{1}{2}gt^{2}+v_{0}t+z_{0}}$$
 
Remarque
 
Le mouvement est rectiligne uniformément varié.

 

Auteur: 
Matiere: 
Physique Chimie
Physique
Série: 

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