Équilibre d'un solide mobile autour d'un axe fixe - 2nd S
Classe:
Seconde
I. Solide mobile autour d'un axe fixe
1. Axe de rotation
1.1. Observations
$-\ $ Une porte peut tourner autour de ses gonds.
La droite verticale les joignant constitue l'axe de rotation de la porte.
$-\ $ Dans une balance à deux plateaux, l'arête horizontale perpendiculaire au couteau est l'axe de rotation du fléau.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1450.png)
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1451.png)
1.2. Définition
L'axe de rotation est une droite, théorique ou réelle, autour de laquelle tourne un solide.
2. Sens de rotation
Deux sens de rotation sont possibles lorsqu'un solide autour d'un axe.
D'où la nécessité de choisir un sens positif de rotation.
On utilise :
$-\ $ le sens trigonométrique comme sens positif correspondant au sens de rotation contraire des aiguilles d'une montre.
$-\ $ ou le sens trigonométrique sens positif correspondant au sens de rotation identique des aiguilles d'une montre.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1452.png)
3. Bras de levier
Le bras de levier d'une force, par rapport à un axe de rotation $\Delta$, est la distance entre la ligne d'action de cette force et l'axe de rotation.
C'est la longueur du segment qui lie l'axe $\Delta$ à la ligne d'action de la force, le segment étant perpendiculaire à cette ligne d'action.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1453.png)
II. Moment d'une force
1. Effet de rotation d'une force sur un solide
1.1. Expérience
On se propose de faire tourner la porte autour de l'axe passant par les gonds
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1454.png)
1.1.1. Observations
$\blacktriangleright\ $ Les forces $\vec{F}_{1}\ $ et $\ \vec{F}_{2}$ n'ont pas tourné la porte au tour de l'axe : on dit qu'elles n'ont aucun effet de rotation sur la porte par rapport à son axe de rotation $(\Delta).$
$-\ $ La droite d'action de la force $\vec{F}_{1}$ est parallèle à l'axe de rotation.
$-\ $ La droite d'action de la force $\vec{F}_{2}$ coupe l'axe de rotation.
$\blacktriangleright\ $ Les forces $\vec{F}_{3}\ $ et $\ \vec{F}_{4}$ peuvent faire tourner la porte autour de son axe de rotation.
1.1.2. Interprétation
Une force a un effet de rotation sur un solide mobile autour d'un axe fixe si sa droite d'action.
$-\ $ n'est pas parallèle à l'axe de rotation,
$-\ $ ne coupe pas l'axe de rotation
1.2. Définition
On appelle moment d'une force par rapport à un axe de rotation fixe, la capacité de cette force à faire tourner un solide autour de cet axe.
2. Expression du moment d'une force
2.1. Expérience
Réalisons le montage ci-dessous.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1455.png)
Une barre métallique trouée, dont les trous sont distants les uns des autres de $1\,cm$, repose sur un axe.
Le principe de l'expérience consiste à maintenir dans une position horizontale.
Pour ce faire, on déplace le dynamomètre en mesurant le bras de levier $d$ et la valeur de la force qui permet de replacer la barre à trou à l'horizontal.
On obtient le tableau de valeurs.
Nous constatons que :
$-\ $ pour maintenir l'équilibre, lorsque $d$ diminue, l'intensité de la force $F$ doit augmenter
$-\ $ le produit $F\cdot d$ est constant
$-\ $ lorsque la barre à trou est en équilibre, le produit de la force $F$ par le bras de levier $d$ est contant :
$$\boxed{F\cdot d=\text{constant}}$$
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}\hline F(N)&0.27&0.31&0.43&0.50&0.64\\\hline d(m)&0.14&0.125&0.9&0.8&0.6\\\hline F\cdot d(Nm)&0.038&0.039&0.039&0.04&0.038\\\hline \end{array}$$
2.2. Conclusion
$\blacktriangleright\ $ On peut caractériser l'effet de rotation d'une grandeur physique appelée moment d'une force.
$\blacktriangleright\ $ On appelle moment d'une force par rapport à un axe de rotation $\Delta$ le produit de la norme de cette force et de son bras de levier.
On le symbole : $M_{\Delta}(\vec{F})$
$$\boxed{M_{\Delta}(\vec{F})=\pm F\cdot d}$$
Le moment d'une force une grandeur algébrique
$\blacktriangleright\ M_{\Delta}(\vec{F})=+F\cdot d$ : la force a tendance à faire tourner le solide dans le sens positif choisi.
$\blacktriangleright\ M_{\Delta}(\vec{F})=-F\cdot d$ : la force a tendance à faire tourner le solide dans le sens contraire du sens choisi comme positif.
L'unité $S.I$ de moment est le newton - mètre $(N.m).$
Remarque :
$-\ $ L'effet de rotation d'une force sur un solide mobile autour d'un axe ne dépend pas seulement de son intensité mais aussi de son bras de levier.
La force est d'autant plus efficace que sa droite d'action est distante de l'axe.
$-\ $ Le bras de levier d'une force dont la droite d'action passe par l'axe est nul et cette force n'a pas d'action de rotation.
3. Couple de forces
3.1. Définition
Un couple de forces est constitué de deux forces de directions parallèles $($distantes de $d)$, de même valeur $F$ et de sens contraire.
3.2. Expression du moment du couple de force
$\blacktriangleright\ $ Cas où les deux forces sont situées de part et d'autre de l'axe de rotation
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1456.png)
Déterminons le moment total $M_{O}(\vec{F})$, choisissons un sens de rotation positif.
$\begin{array}{rcl} M_{O}(\vec{F})&=&M_{O}(\vec{F}_{1})+M_{O}(\vec{F}_{2})\\\\&=&F_{1}d_{1}+F_{2}d_{2}\\\\&=&F\left(d_{1}+d_{2}\right)\\\\\Rightarrow\ M_{O}(\vec{F})&=&F\cdot d \end{array}$
avec $d=d_{1}+d_{2}\ $ et $\ F_{1}=F_{2}=F$
$\blacktriangleright\ $ Cas où les deux forces sont situées du même côté de l'axe de rotation
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1457.png)
Déterminons le moment total $M_{O}(\vec{F})$, choisissons un sens de rotation positif.
$\begin{array}{rcl} M_{O}(\vec{F})&=&M_{O}(\vec{F}_{1})+M_{O}(\vec{F}_{2})\\\\&=&F_{1}d_{1}-F_{2}d_{2}\\\\&=&F\left(d_{1}-d_{2}\right)\\\\\Rightarrow\ M_{O}(\vec{F})&=&F\cdot d \end{array}$
avec $d=d_{1}-d_{2}\ $ et $\ F_{1}=F_{2}=F$
Le moment d'un couple de force par rapport à un axe $\Delta$ perpendiculaire à son plan est égal au produit de l'intensité commune des deux forces par la distance d entre leurs droites d'action.
4. Couple de torsion
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1458.png)
Sous l'effet d'un (couple), de moment, un fil cylindrique en métal se tord d'un angle a appelé angle de torsion.
A l'équilibre, le fil exerce sur la barre un couple de torsion de moment.
Dans le domaine d'élasticité du métal, le moment du couple de torsion est proportionnel à l'angle de torsion $\alpha\ :$
$$\boxed{M_{C}=-C\alpha}$$
$-\ M_{C}$ couple de torsion du fil en $N.m$
$-\ \alpha$ : angle de torsion en $rad$
$-\ C$ : constante de torsion du fil en $N.m/rad$
III. Théorème des moments
1. Expérience
Une barre métallique à trou, dont les trous sont distants les uns des autres de quelques centimètres, tourne autour d'un axe $(\Delta)$ horizontale fixe en $O.$
D'un côté on accroche des masses à l'aide de fils.
De l'autre côté on accroche des masses de façon à maintenir l'équilibre.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1459.png)
On obtient le tableau de mesures :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Mesure }N^{\circ}&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline d_{i}(10^{-2}m)&4.4&3.2&2.1&1.5&1.6&2.0&3.0&4.5\\\hline F_{i} (N)&0.70&0.34&0.40&0.36&0.36&0.41&0.37&0.68\\\hline M_{\Delta}(\vec{F}_{i})(10^{-2}N.m)&-3.08&-0.109&-0.84&-0.54&+0.58&+0.82&+1.05&+3.06\\\hline \sum\,M_{\Delta}(\vec{F}_{i})(10^{-2}N.m)&-3.08&-0.109&-0.84&-0.54&+0.58&+0.82&+1.05&+3.06=0.02\\\hline \end{array}$$
On constate à des erreurs expérimentales prés, la somme des moments de ces différentes forces est nulle.
2. Énoncé du théorème des moments
Un solide mobile autour d'un axe fixe $(\Delta)$ est en équilibre, si la somme algébrique des moments de toutes les forces extérieures agissant sur le solide est nulle.
$$\boxed{\sum\,M_{\Delta}\left(\vec{F}_{ext}\right)=0}$$
Remarque :
On peut aussi dire :
Si un solide mobile autour d'un axe est en équilibre sous l'action de forces, la somme des moments des forces qui entraînent le solide dans un sens est égale à la somme des moments des forces qui l'entraînent dans le sens opposé.
3. Conditions générales d'équilibre
Pour un solide, mobile autour d'un axe fixe, en équilibre, les conditions suivantes sont vérifiées :
$-\ $ la somme vectorielle des forces extérieures appliquées au solide doit être nulle.
$$\boxed{\sum\left(\vec{F}_{ext}\right)=0}\quad\text{(Condition de non rotation)}$$
$-\ $ la somme algébrique des moments, par rapport à l'axe des forces extérieures appliquées au solide doit être nulle.
$$\boxed{\sum\,M_{\Delta}\left(\vec{F}_{ext}\right)=0}\quad\text{(Condition de non rotation)}$$
Remarque :
Ces conditions sont nécessaires mais elles ne sont pas suffisantes.
Un solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe $(\Delta)$ soumis à des forces extérieures telles que la somme algébrique de leur moment par rapport à l'axe $(\Delta)$ soit nulle, n'est pas nécessairement en équilibre :
Il peut être, d'après le principe d'inertie, en mouvement de rotation uniforme autour de l'axe.
IV. Quelques applications du théorème des moments
1. Le treuil
Le treuil qui sert à puiser l'eau d'un puits.
Il est formé d'un cylindre de rayon $r$, mobile autour d'un axe horizontal sur lequel est enroulé un fil qui supporte le seau d'eau.
Le cylindre est en mouvement en appliquant une force perpendiculairement à la manivelle dont la longueur $R.$
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1460.png)
$-\ $ Système étudie : le treuil
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force de traction $\vec{F}$ et le poids $\vec{P}$ du seau
$-\ $ Le théorème des moments s'écrit :
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}(\vec{F})+M_{\Delta}(\vec{P})&=&0\\\\\Rightarrow-F\times R+P\times r&=&0\\ \\\Rightarrow F&=&\dfrac{r}{R}P \end{array}$
Grâce au treuil, on soulève une charge en développant une force inférieure au poids de cette charge.
2. La poulie
Une poulie est une roue mobile autour d'un axe et sur la gorge de laquelle on fait passer une corde, on utilise, par exemple, sur les chantiers de construction pour élever des charges.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1461.png)
$-\ $ Système étudie : $($Poulie $+$ fil $+$ Solide$)$
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force de traction $\vec{F}$ et le poids $\vec{P}$ du solide
$-\ $ Le théorème des moments s'écrit :
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}(\vec{F})+M_{\Delta}(\vec{P})&=&0\\\\\Rightarrow F\times r-P\times r&=&0\\\\\Rightarrow F&=&P \end{array}$
Une poulie fixe sert à changer la direction de la force à appliquer, mais elle ne change pas son intensité.
Souvent, il est bien plus pratique de pouvoir tirer vers le bas pour monter une charge.
3. Le levier
Le levier fut une des premières machines simples qu'inventa l'homme.
De nos jours, on utilise encore des leviers qu'on trouve sous des formes très variées : une tige rigide, une planche, un tournevis, un tire-bouchon, une brouette, des tenailles, une paire de ciseaux...etc.
Pour faire fonctionner un levier, on applique une force au levier qui la transmet à un autre corps, par exemple à la charge qu'on veut soulever.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig1462.png)
$-\ $ Système étudie : le levier
$-\ $ Bilan des forces appliquées : la force exercée par le levier sur la charge et le poids par l'opérateur
$-\ $ Le théorème des moments s'écrit :
$\begin{array}{rcl} M_{\Delta}(\vec{F})+M_{\Delta}(\vec{f})&=&0\\\\\Rightarrow-F\times l+f\times L&=&0\\\\\Rightarrow F&=&\dfrac{L}{l}f \end{array}$
Les leviers permettent d'amplifier les forces
Commentaires
Mahamane Moustapha (non vérifié)
jeu, 10/29/2020 - 07:31
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Encouragements
Mahamane Moustapha (non vérifié)
jeu, 10/29/2020 - 07:31
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Encouragements
Anonyme (non vérifié)
ven, 04/23/2021 - 13:31
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Merci
Abibatou ndiaye (non vérifié)
lun, 07/12/2021 - 22:55
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La réalité
MARC elisee (non vérifié)
mer, 01/26/2022 - 02:52
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Étudier
Dieynaba kane (non vérifié)
jeu, 05/11/2023 - 16:35
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Comprendre
Talla Gueye (non vérifié)
jeu, 08/03/2023 - 15:42
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remerciement
Mour Talla Gueye (non vérifié)
sam, 08/05/2023 - 11:26
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remerciement
Gueye 77 (non vérifié)
sam, 08/05/2023 - 12:27
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remerciement
Si go (non vérifié)
lun, 01/08/2024 - 00:17
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Je veux être fort en physique
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