L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.
Partie A - Restitution organisée de connaissances
On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\overrightarrow{n} = a\overrightarrow{\imath} + b \overrightarrow{\jmath} + c\overrightarrow{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.
On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $EF ^2 = \overrightarrow{EF} ^2 = \overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EF}$.
Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB].
Démontrer que, pour tout point $M$ de l'espace, on a :
\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = 2M\text{I}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2.\]
Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $M$ de l'espace tels que
\[M\text{A}^2 + M\text{B}^2 = \text{AB}^2.\]
Partie B
L'espace est rapporté à un repère orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$.
On considère les points: A(0 ; 0 ; 2), B(0; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).
Vérifier qu'une équation du plan (ABC) est : $2x + y + 2z = 4$.
Calculer la distance du point O au plan (ABC).
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Dans le repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}; ~\overrightarrow{k}\right)$ de l'espace, on considère :
les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ d'équations :
\[\mathcal{P} \::\: x - y - z - 2 = 0\quad \text{et}\quad \mathcal{P}'\::\: x + y + 3z = 0.\]
la droite $\mathcal{D}$ ayant pour représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&= & -3 - 2t \\
y&=& 2t\\
z &=& 1 + 2t
\end{array}\right. \quad t \in \mathbb{R}.\]
Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte $1$ point.