Bac Maths 1er groupe S1 S3 2012

Dans le plan affine euclidien on donne une droite $(\mathcal{D})$ et deux points distincts $F$ et $A$, symétriques par rapport à $(\mathcal{D}).$

 

On désigne par $(\mathcal{H})$ l'hyperbole d'excentricité $2$ qui admet $F$ pour foyer et $(\mathcal{D})$ pour directrice associée à $F.$

 

1) Montrer que $A$ est un sommet de $(\mathcal{H}).$ 

 

Déterminer l'autre sommet $A'$ en exprimant $\overrightarrow{AA'}$ en fonction de $\overrightarrow{AF}.$

 

Construire géométriquement les directrices de $(\mathcal{H})$, ses foyers, ses sommets et son centre et donner l'allure de $(\mathcal{H}).$ 1.5 pts=0.5 pt+0.5 pt+0.5 pt

 

2) Soit $(\mathcal{C})$ un cercle passant par $F$ et centré en un point $O$ de $(\mathcal{D})$ non situé sur l'axe focal.

 

Construire $(\mathcal{C})$ sur la figure.

 

On se propose de montrer que $(\mathcal{H})\cap (\mathcal{C})=\{A\;,\ M_{1}\;,\ M_{2}\;,\ M_{3}\}$ où $M_{1}\;,\ M_{2}\text{ et }M_{3}$ sont les sommets d'un triangle équilatéral.

 

On rapporte le plan à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, choisi de façon que $(O\;,\ \vec{i})$ soit un repère de $(\mathcal{D}).$

 

A chaque point $M$ du plan correspond ainsi son affixe $z=x+\mathrm{i}y$ ; on désigne par $a$ l'affixe de $F.$

 

a) Montrer que $M(z)$ appartient à $(\mathcal{C})$ si et seulement si : 

 

$z\overline{z}-a\overline{a}=0$ $\left(\text{On pourra interpréter géométriquement }z\overline{z}-a\overline{a}\right).$

 

Montrer de même que $M(z)$ appartient à $(\mathcal{H})$ si et seulement si :

 

$(z-a)(\overline{z}-\overline{a})+(z-\overline{z})^{2}=0.$  1 pts=0.5 pt+0.5 pt

 

b) En déduire que $(\mathcal{C})\cap (\mathcal{H})$ est l'ensemble des points du plan dont les affixes $z$ vérifient une équation de la forme : 

 

$(z-\overline{a})(z^{3}-k)=0$, où $k$ est un nombre complexe qu'on exprimera en fonction de $a.$  0.5 pt

 

c) Montrer que $k=r^{3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ où $r$ est le module de $a$ et $\theta$ un argument de $a.$

 

Résoudre alors l'équation $(z-\overline{a})(z^{3}-k)=0$ et conclure par rapport au problème posé.  2 pts=0.5 pt+0.5 pt+1 pt

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :

$$u_{n}=2^{n}+3\times 7^{n}+14^{n}-1.$$

 

1) a) Calculer $u_{3}$  0.5 pt

 

b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ est pair.  0.5 pt

 

c) On note $(\varepsilon)$ l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite $(u_{n}).$

 

Les entiers $2\;,\ 3\;,\ 5\text{ et }7$ appartiennent-ils à l'ensemble $(\varepsilon).$  0.5 pt

 

2) On rappelle le petit théorème de Fermat : 

 

« Si $p$ est un nombre premier et $q$ un entier naturel premier avec $p$, alors $q^{p-1}\equiv 1[p].$ »

 

Soit $p$ un nombre premier strictement supérieur à $7.$

 

Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels tels que $14=mn.$

 

a) Quelles sont les valeurs possibles de $m$ ?  0.5 pt

 

b) Montrer que $14\times m^{p-2}\equiv n(\text{modulo }p).$  0.5 pt

 

c) En déduire que $14u_{p-2}\equiv 0\text{ (modulo }p).$  0.5 pt

 

d) L'entier $p$ appartient-il à l'ensemble $\varepsilon$ ?  0.5 pt

 

e) Déterminer $\varepsilon.$  0.5 pt

On considère la fonction $f$ définie par :

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&\dfrac{\ln(1+x)}{x}\text{ si }x\neq 0\\ \\ f(0)&=&1 \end{array}\right.$$

 

$\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

Partie A

 

1) Étudier la continuité de $f.$  0.25 pt

 

2) a) Démontrer que pour tout réel $x$ non nul de l'intervalle $]-1\;,\ +\infty[$ on a :

$$0\leq\dfrac{1}{x}\int_{0}^{x}\dfrac{u^{2}}{1+u}\mathrm{d}u\leq x\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+u}\mathrm{d}u.$$

 

$\left(\text{On pourra montrer ce résultat pour }x\text{ appartenant à }]0\;,\ +\infty[\text{ et pour }x\text{ appartenant à }]-1\;,\ 0[\right).$  0.5 pt

 

b) Vérifier que : 

 

$\forall\,u\in]-1\;,\ +\infty[\;,\ \dfrac{1}{1+u}=1-u+\dfrac{u^{2}}{1+u}$

 

En déduire que :

$$\forall\,x\in]-1\;,\ +\infty[\;,\ x\neq 0\Rightarrow f(x)=1-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x}\int_{0}^{x}\dfrac{u^{2}}{1+u}\mathrm{d}u\quad 0.75\;pt=0.25\;pt+0.5\;pt$$ 

 

c) En exploitant les résultats des questions précédentes, montrer que $f$ est dérivable au point $0.$

 

Déterminer une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ et étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette tangente.  1.5 pts=0.5 pt+0.5 pt+0.5 pt

 

d) Étudier la dérivabilité de $f.$  0.5 pt

 

3) a) Soit $g$ l'application définie sur $]-1\;,\ +\infty[$ par $g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1+x}$

 

Étudier les variations de $g$ et déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x.$  0.75 pts=0.5 pt+0.25 pt

 

b) En déduire le sens de variation de $f.$  0.5 pt

 

4) Étudier les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle $]-1\;,\ +\infty[.$  0.25 pt

 

5) Déterminer les droites asymptotes à $\mathcal{C}$ et préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.  1 pts=0.5 pt+0.5 pt

 

6) Construire la courbe $\mathcal{C}.$  0.5 pt

 

Partie B

 

1) Justifier que pour tous réels $a$ et $b$ de $]-1\;,\ +\infty[$ tels que $a<b$ on a :

$$(b-a)f(b)\leq\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x\leq(b-a)f(a)$$

 

En déduire un encadrement de l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$ ; on utilisera les nombres $0\;,\ \dfrac{1}{5}\;,\ \dfrac{2}{5}\;,\ \dfrac{3}{5}\;,\ \dfrac{4}{5}\text{ et }1.$  0.75 pts=0.25 pt+0.5 pt

 

2) a) En utilisant la fonction $g$, montrer que pour tout $x>0\;,\ f(x)-\dfrac{1}{x+1}\geq 0.$  0.5 pt

 

b) En déduire la limite lorsque $t$ tend vers $+\infty$ de la fonction :

$$t\mapsto\int_{0}^{t}f(x)\mathrm{d}x.\quad 0.25\;pt$$

 

3) a) Soit $h$ l'application définie sur $]-1\;,\ 0]$ par $h(x)=x+1-(x+1)\ln(x+1).$

 

Calculer $h'(x)$ pour $x$ appartenant à $]-1\;,\ 0]$ et montrer que pour tout réel x de cet intervalle on a $h(x)\in]0\;,\ 1].$  1 pt=0.5 pt+0.5 pt

 

b) Montrer que : 

$$\forall\,x\in\left]-1\;,\ -\dfrac{1}{2}\right]\;,\ 0\leq f(x)\leq -2\ln(x+1).$$

 

En déduire que la fonction $$F\ :\ t\mapsto\int_{t}^{-\dfrac{1}{2}}f(x)\mathrm{d}x$$ est majorée dans $\left]-1\;,\ -\dfrac{1}{2}\right].$  1 pt=0.5 pt+0.5 pt

 

c) On considère la suite $(v_{n})_{n>0}$ de terme général $$v_{n}=\int_{\dfrac{-1+1}{n}}^{0}f(x)\mathrm{d}x.$$

 

Étudier le sens de variation de la suite $(v_{n})_{n>0}.$ 

 

En déduire que cette suite est convergente.  1 pt=0.5 pt+0.5 pt