Bac Maths 1er groupe S2 S2A S4 S5 2019

Exercice 1 (4.5 pts)

Dans une classe de première S2, sur 45 élèves 30 ont eu la moyenne au premier devoir de mathématiques.

On considère que dans cette classe si un élève a la moyenne à un devoir donné la probabilité qu'il ait la moyenne au devoir suivant est 12. et s'il a raté la moyenne à un devoir donné la probabilité qu'il ait la moyenne au devoir suivant est 13.

Soit En l'événement « l'élève a eu la moyenne au nième devoir », ¯En l'événement « l'élève n'a pas eu la moyenne au nième devoir » et pn la probabilité de l'évènement En.

1) Déterminer p1.   (0.5 pt)

2) a) Déterminer p(E2/E1) et p(E2/¯E1).   (0.5 pt)

b) En déduire p2.   (0.5 pt)

3) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, pn+1=16pn+13.   (0.75 pt)

4) Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel non nul n, par : un=pn25.

a) Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.   (01 pt)

b) Exprimer un en fonction de n puis pn en fonction de n.   (01 pt)

c) Calculer la limite de pn quand n tend vers l'infini.   (0.25 pt)

Exercice 2 (5.5 pts)

Partie A

Pour tout complexe z on note f(z)=z5+2z4+2z3z22z2.

1) Déterminer le polynôme Q tel que, quel que soit zC, f(z)=(z31)Q(z).   (0.5 pt)

2) Résoudre alors dans C l'équation (E) : f(z)=0.   (0.5 pt)

3) Écrire les solutions de (E) sous forme trigonométrique puis les représenter dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé (O, u, v).   (0.5 pt+0.5 pt)

Partie B

Considérons les points A, B, C et D du plan P tels que :

A(12+i32),

B(1+i),

C(1i) et

D(12i32)

1) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?   (0.5 pt)

2) Soit r la rotation de centre le point Ω d'affixe 1 qui transforme A en D.

Déterminer l'écriture complexe de r.   (0.5 pt)

3) Quelle est la nature du triangle ΩAD ?   (0.5 pt)

4) Déterminer l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ΩAD.   (0.5 pt)

5) On pose un=(zA)n, nNzA est l'affixe du point A.

Déterminer la valeur minimale de n pour laquelle un est un réel. (1 pt)

6) Donner la forme algébrique de u2019.   (0.5 pt)

Problème (10 pts)

Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x)=x+2+(2x4)ex2.

On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) du plan.

On choisit 2cm pour unité graphique.

Partie A

Soit g la fonction numérique définie pour tout x réel par : g(x)=1+xex2.

1) Calculer les limites de g en + et en .   (0.75 pt)

2) Étudier le sens de variations de g puis dresser le tableau de variations de g.   (1 pt)

3) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet une solution α et une seule puis prouver que 0.70α0.71.   (0.75 pt)

Étudier le signe de g(x).   (0.5 pt)

Partie B

1) a) Exprimer f(x) à l'aide de g(x).   (0.5 pt)

b) En déduire le sens de variations de f.   (0.5 pt)

c) Démontrer que : f(α)=4α4α, où α est le nombre défini en 3) Partie A.   (0.5 pt)

2) Donner un encadrement de f(α) d'amplitude 0.1.   (0.5 pt)

3) a) Déterminer la limite de f(x) et de f(x)x quand x tend vers +.   (0.75 pt)

b) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers .   (0.25 pt)

4) Démontrer que Cf admet au voisinage de une asymptote (D) dont on donnera une équation. (0.5 pt)

5) Dresser le tableau de variations de f.   (0.5 pt)

6) Tracer sur le même graphique Cf et (D).   (1.5 pt)

7) A l'aide d'une intégration par parties, calculer pour tout nombre réel x l'intégrale I(x)=x0(2t4)et2dt.(0.75pt)

8) Soit λ un réel négatif.

Calculer en cm2 l'aire A du domaine constitué des points de coordonnées (x, y) satisfaisant à : λx0 et f(x)y2x.(0.25pt)

Interpréter graphiquement la limite de l'aire A quand λ tend vers .   (0.5 pt)

 

Correction Bac Maths 1er groupe S2 S2A S4 S5 2019

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