Dans une classe de première S2, sur $45$ élèves $30$ ont eu la moyenne au premier devoir de mathématiques.

On considère que dans cette classe si un élève a la moyenne à un devoir donné la probabilité qu'il ait la moyenne au devoir suivant est $\dfrac{1}{2}.$ et s'il a raté la moyenne à un devoir donné la probabilité qu'il ait la moyenne au devoir suivant est $\dfrac{1}{3}.$

Soit $E_{n}$ l'événement « l'élève a eu la moyenne au $n-ième$ devoir », $\overline{E}_{n}$ l'événement « l'élève n'a pas eu la moyenne au $n-ième$ devoir » et $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}.$

1) Déterminer $p_{1}.$   (0.5 pt)

2) a) Déterminer $p\left(E_{2}/E_{1}\right)$ et $p\left(E_{2}/\overline{E}_{1}\right).$   (0.5 pt)

b) En déduire $p_{2}.$   (0.5 pt)

3) Montrer que pour tout entier naturel non nul $n$, $p_{n+1}=\dfrac{1}{6}p_{n}+\dfrac{1}{3}.$   (0.75 pt)

4) Soit $(u_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel non nul $n$, par : $u_{n}=p_{n}-\dfrac{2}{5}.$

a) Montrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.   (01 pt)

b) Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ puis $p_{n}$ en fonction de $n.$   (01 pt)

c) Calculer la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers l'infini.   (0.25 pt)

Partie A

Pour tout complexe $z$ on note $f(z)=z^{5}+2z^{4}+2z^{3}-z^{2}-2z-2.$

1) Déterminer le polynôme $Q$ tel que, quel que soit $z\in\mathbb{C}$, $f(z)=(z^{3}-1)Q(z).$   (0.5 pt)

2) Résoudre alors dans $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$ : $f(z)=0.$   (0.5 pt)

3) Écrire les solutions de $(E)$ sous forme trigonométrique puis les représenter dans le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$   (0.5 pt+0.5 pt)

Partie B

Considérons les points $A$, $B$, $C$ et $D$ du plan $\mathcal{P}$ tels que :

$A\left(-\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$,

$B(-1+\mathrm{i})$,

$C(-1-\mathrm{i})$ et

$D\left(-\dfrac{1}{2}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

1) Quelle est la nature du quadrilatère $ABCD$ ?   (0.5 pt)

2) Soit $r$ la rotation de centre le point $\Omega$ d'affixe $1$ qui transforme $A$ en $D.$

Déterminer l'écriture complexe de $r.$   (0.5 pt)

3) Quelle est la nature du triangle $\Omega AD$ ?   (0.5 pt)

4) Déterminer l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle $\Omega AD$.   (0.5 pt)

5) On pose $u_{n}=(z_{A})^{n}$, $n\in\mathbb{N}^{\ast}$ où $z_{A}$ est l'affixe du point $A.$

Déterminer la valeur minimale de $n$ pour laquelle $u_{n}$ est un réel. (1 pt)

6) Donner la forme algébrique de $u_{2019}.$   (0.5 pt)

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=-x+2+(2x-4)\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}.$$

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan.

On choisit $2\;cm$ pour unité graphique.

Partie A

Soit $g$ la fonction numérique définie pour tout $x$ réel par : $$g(x)=-1+x\mathrm{e}^{\dfrac{x}{2}}.$$

1) Calculer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty.$   (0.75 pt)

2) Étudier le sens de variations de $g$ puis dresser le tableau de variations de $g.$   (1 pt)

3) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha$ et une seule puis prouver que $0.70\leq\alpha\leq 0.71.$   (0.75 pt)

Étudier le signe de $g(x).$   (0.5 pt)

Partie B

1) a) Exprimer $f'(x)$ à l'aide de $g(x).$   (0.5 pt)

b) En déduire le sens de variations de $f.$   (0.5 pt)

c) Démontrer que : $f(\alpha)=4-\alpha-\dfrac{4}{\alpha}$, où $\alpha$ est le nombre défini en 3) Partie A.   (0.5 pt)

2) Donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude 0.1.   (0.5 pt)

3) a) Déterminer la limite de $f(x)$ et de $\dfrac{f(x)}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty.$   (0.75 pt)

b) Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty.$   (0.25 pt)

4) Démontrer que $\mathcal{C}_{f}$ admet au voisinage de $-\infty$ une asymptote $(D)$ dont on donnera une équation. (0.5 pt)

5) Dresser le tableau de variations de $f.$   (0.5 pt)

6) Tracer sur le même graphique $\mathcal{C}_{f}$ et $(D).$   (1.5 pt)

7) A l'aide d'une intégration par parties, calculer pour tout nombre réel $x$ l'intégrale $$I(x)=\int_{0}^{x}(2t-4)\mathrm{e}^{\dfrac{t}{2}}\mathrm{d}t.\qquad(0.75\;pt)$$

8) Soit $\lambda$ un réel négatif.

Calculer en $cm^{2}$ l'aire $\mathcal{A}$ du domaine constitué des points de coordonnées $(x\;,\ y)$ satisfaisant à : $$\lambda\leq x\leq0\text{ et }f(x)\leq y\leq 2-x.\qquad(0.25\;pt)$$

Interpréter graphiquement la limite de l'aire $\mathcal{A}$ quand $\lambda$ tend vers $-\infty.$   (0.5 pt)