Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2012

 

On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E)\  :\ 3x+4y=-15.$

 

1) a) Vérifier que $(-1\ ;\ -3)$ est solution de $(E).$

 

b) Résoudre l'équation $(E)$

 

2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$, on considère la droite $(\Delta)$ dont une équation est $3x+4y+15=0$ et on désigne par $A$ le point de $(\Delta)$ d'abscisse $-1.$

 

a) montrer que si $M$ est point de $(\Delta)$ à coordonnées entières alors $AM$ est un multiple de $5$

 

b) Soit $N$ un point de $(\Delta)$ de coordonnées $(x\;,\ y)$ ; vérifier que $AN=\dfrac{5}{4}|x+1|$

 

c) En déduire que si $AN$ est multiple de $5$ alors $x$ et $y$ sont entiers.

Une boutique vend $1000$ sacs en cuir parmi lesquels certains un léger défaut. 

 

Ces sacs sont fabriqués par trois maroquiniers de Kaya : Ali, Boureima et Charles. Ali a livrés $200$ sacs dont $10$ sont défectueux ; Boureima a livré $350$ sacs dont 11 sont défectueux et Charles a livré le reste dont $2\%$ sont défectueux. On choisit au hasard un sac parmi les $1000$ et on considère les évènements suivants :

 

$A$ : « Le sac choisi est fabriqué par Ali »

 

$B$ : « Le sac choisi est fabriqué par Boureima »

 

$C$ : « Le sac choisi est fabriqué par Charles »

 

$D$ : « Le sac choisi est défectueux »

 

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles

 

1) Déterminer $P(A)$, $P(B)$, $P(C)$, $P(C)$, $P(D/A)$, $P(D/B)$, $P(D/C)$

 

2) a) Prouver que $P(D\cap A)=\dfrac{1}{100}$

 

b) Calculer les probabilités suivantes : $P(D\cap B)$, $P(D\cap C)$ et $P(D)$

 

3) Sachant que le sac choisi n'est pas défectueux, quelle qu'il soit fabriqué par Ali ?

 

4) Le sac est vendu à $500\ F$ s'il est fabriqué par Ali, à $6000\ F$ s'il est fabriqué par Boureima et à $8000\ F$ s'il est fabriqué par Charles.

 

Une réduction de $30\%$ est faite sur le prix de chaque sac défectueux. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au prix final d'un sac choisi au hasard

 

a) Déterminer les valeurs prises par $X$

 

b) Déterminer la loi de probabilité de $X$

Le plan affine euclidien $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct $\mathcal{R}=(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

 

$\theta$ est un nombre

Pour tout nombre réel $\theta$, on définit l'application $f_{\theta}$ de $\mathcal{P}$ dans qui, à tout $M$ de coordonnées $(x\;,\ y)$ associe le point $M'$ de coordonnées $(x'\;,\ y')$ vérifiant

$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x'&=&(\theta+1)x+(\theta-1)y\\ y'&=&(\theta+2)y+(\theta-2)y \end{array}\right.$$

 

1) Déterminer les valeurs de $\theta$ pour lesquelles l'application $f_{\theta}$ est bijective.

 

2) On suppose que l'application $f_{\theta}$ est bijective.

 

a) déterminer l'application réciproque de $f_{\theta}$, notée $f_{\theta}^{-1}$ en donnant les coordonnées de $M$ en fonction de $M'$

 

b) Déterminer les valeurs de $\theta$ pour lesquelles l'application $f_{\theta}$ est involutive $($c'est à dire $f_{\theta}\circ f_{\theta}\mathrm{i}\mathrm{d}_{p})$

 

3) Déterminer, suivants les valeurs de $\theta$, l'ensemble des points invariants par $f_{\theta}$

 

4) Déterminer la nature des éléments caractéristiques de $f_{\theta}$ pour $\theta=\dfrac{1}{2}$