Bac Maths C et E, Burkina Fasso 2017

 

On donne dans l'espace trois points $A(2\ ;\ 1\ ;\ 0)$, $B(-1\ ;\ 1;\ 1)$ et $C(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$

 

1) Calculer les coordonnées du barycentre $H$ du système de points pondérés :

$\{(A\ ;\ 2)\ ;\ (B\ ;\ 1)\ ;\ (C\;,\ 2)\}$

 

2) Reproduire cette figure et construire le point $H$

 

 

3) Montrer que le vecteur $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}−5\overrightarrow{MC}$ est indépendant du point $M.$ 

 

Calculer ses coordonnées

 

4) Déterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $$||2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=||2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}−5\overrightarrow{MC}||$$

 

5) a) Vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

 

b) Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}(-1\ ;\ 8\ ;\ -3)$ est vecteur normal au plan $(ABC).$

 

En déduire une équation de ce plan

 

c) Soit $Q$ le plan dont une équation est : $5x+y+3=0.$ 

 

Montrer que les plans $Q$ et $(ABC)$ sont perpendiculaires et déterminer leur intersection.

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$ 

 

On note $(\mathcal{C})$ l'ensemble des points $M(t)$ du plan dont les coordonnées en fonction de la variable réelle $t$ sont définies par $$M(t)\ :\ \left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&2(\sin 2t+2\sin t)\\ y(t)&=&2\cos 3t\;,\qquad t\in\mathbb{R} \end{array}\right.$$

 

1) Préciser la transformation ponctuelle associant pour tout réel $t$, le point $M(t)$ à :

 

a) $M(t+2\pi)$

 

b) $M(−t)$

 

2) on désigne par $(\mathcal{C_{1}})$ la partie de $(\mathcal{C})$ obtenue lors que $t$ décrit $[0\ ;\ \pi].$ 

 

Expliquer comment construire $(\mathcal{C})$ à partir de $(\mathcal{C_{1}}).$

 

3) Étudier les variations des fonctions : $t\mapsto x(t)$ et $t\mapsto y(t)$ sur $[0\ ;\  \pi].$

 

4) Tracer $(\mathcal{C}).$ 

 

On admettra que la pente de la tangente à $(\mathcal{C})$ au point $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ est $-\sqrt{3}$ et que la tangente à $(\mathcal{C})$ au point $M(\pi)$ est verticale.