Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2016

1. On considère la fonction $h$ dérivable et définie sur l'intervalle $[0\ ;\ 1]$ par : $h(x)=2x-x^{2}$

a) Démontrer que $h$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0\ ;\ 1].$

b) En déduire que l'image de l'intervalle $[0\ ;\ 1]$ par $h$ est l'intervalle $[0\ ;\ 1].$

2. Soit $u$ la suite définie par : $$u_{0}=\dfrac{3}{7}\quad\text{et}\quad \forall n\in\mathbb{N}\;,\ u_{n+1}=h\left(u_{n}\right).$$

a) Démontrer par récurrence que : $\forall n\in\mathbb\;,\ 0<u_{n}<1.$

b) Démontrer que la suite $u$ est croissante.

c) Justifier que la suite $u$ est convergente.

3. On considère la suite $v$ définie par : $\forall n\in\mathbb\;,\ v_{n}=\ln\left(1-u_{n}\right).$

a) Démontrer que $v$ est une suite géométrique de raison $2.$

b) Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n.$

c) Calculer la limite de la suite $v.$

d) En déduire la limite de la suite $u.$

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;, \\vec{v})$, $($unité graphique : $2\,cm).$

On considère la transformation $\mathcal{S}$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'=\left(1-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z+2\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$

1. a) Soit $\Omega$ le point d'affixe $2.$

Vérifie que $\mathcal{S}(\Omega)=\Omega$

b) Justifier que $\mathcal{S}$ est une similitude directe dont on précisera les éléments caractéristiques.

2. a)Démontrer que : $\forall z\neq 2\;,\ \dfrac{z'−z}{2−z}=\mathrm{i} \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

b) En déduire que le triangle $M\Omega M'$ est rectangle en $M.$

c) Donner un programme de construction de l'image $M'$ par $s$ d'un point $M$ donné.

3. a) Placer les points $A$ et $B$ d'affixes respectives $-1+\mathrm{i}$ et $5-\mathrm{i}$ dans le plan muni du repère $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

Construire les images respectives $A'$ et $B'$ de $A$ et $B$ par $\mathcal{S}$

b) On note $z_{A}$ ; $z_{B}$ ; $z_{A'}$ et $z_{B'}$

les affixes respectives des points $A$, $B$, $A'$ et $B'.$

Démontrer que : $z_{A'}-z_{A}=z_{B}-z_{B'}$

c) En déduire la nature du quadrilatère $AA'BB'.$

Soit $g$ la fonction dérivable et définie sur par : $g(x)=-1+(2-2x)\mathrm{e}^{−2x+3}.$

1. Calculer les limites de $g$ en $–\infty$ et en $+\infty.$

2. a) Soit $g'$ la fonction dérivée de $g.$
 
Justifier que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ g'(x)=(4x-6)\mathrm{e}^{−2x+3}.$

b) Étudier le signe de $g'(x)$ suivant les valeurs de $x.$

c) Justifier que : $g\left(\dfrac{3}{2}\right)=−2$

d) Dresser le tableau de variations de $g.$

3. a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ une solution unique notée $\alpha.$

b) Vérifier que : $0.86<\alpha<0.87.$

c) Justifier que : $\forall x\in]−\infty\ ;\ \alpha[\;,\ g(x)>0$ et $\forall x\in]\alpha\ ;\ +\infty[\;,\ g(x)<0.$

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J)$, $($unité graphique : $2\,cm).$
 
On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur par : $f(x)=–x+\left(x−\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{−2x+3}$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f.$

1. a) Calcule $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$

et $\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

b) En déduire que $(\mathcal{C})$ admet une branche parabolique de direction celle de $(OJ)$ en $−\infty.$

2. a) Calcule $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}$

b) Démontrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=-x$ est asymptote à $(\mathcal{C})$ en $+\infty.$

c) Étudier la position de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D}).$

3. a) Soit $f'$ la fonction dérivée de $f.$

Démontrer que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ f'(x)=g(x).$

b) En déduire les variations de $f.$

c) Dresser le tableau de variations de $f.$

On ne calculera pas $f(\alpha).$

4. Construire $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{C})$ sur le même graphique.

On précisera les points de $(\mathcal{C})$ d'abscisses : $0\ ;\ \dfrac{1}{2}\ ;\ \dfrac{3}{2}\ ;\ 4.$

On prendra : $\alpha=0.865$ et $f(\alpha)=0.4.$

5. Soit $t$ un nombre réel strictement supérieur à $\dfrac{3}{2}.$

On désigne par $\mathcal{A}(t)$ l'aire en $cm^{2}$ de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$, la droite $(\mathcal{D})$ et les droites d'équations $x=\dfrac{3}{2}$ et $x=t.$

On pose : $$I_{t}=\int^{t}_{\dfrac{3}{2}}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\mathrm{e}^{−2x+3}\mathrm{d}x.$$

a) A l'aide d'une intégration par parties, justifie que : $I_{t}=\dfrac{3}{4}−\dfrac{t}{2}\mathrm{e}^{−2x+3}$

b) En déduire $\mathcal{A}(t)$

c) Calcule $\lim\limits_{x\to +\infty}\mathcal{A}(t)$