Bac Maths D, Togo 2019

Exercice 1

Soit les deux intégrales définies par : I=π0excos2xdxetJ=π0exsin2xdx  

1. Calculer I+J.

2. a) Montrer que JI=0πexcosaxdxa est un réel à déterminer.

b) A l'aide d'une double intégration par partie, démontrer que JI=15(1eπ).
 
3. Déterminer les valeurs exactes de I et de J.

Exercice 2 

I. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé (O, u, v) on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives : zA=i ; zB=1+i ; zC=1+2i ; zD=2.

1. Placer sur une figure les points A, B, C et D.

2. a) Interpréter géométriquement le module et l'argument du nombre complexe zAzCzBzD=z.

b) calculer le nombre complexe z.    

3. Déterminer le module et l'argument de z puis en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

II. Soit λ un nombre complexe de module 1 différent de 1.

On définit, pour tout entier naturel n la suite  (zn) de nombres complexes par :
{z0=0zn+1=λzni}

On note Mn le point d'affixe zn.

1. a) Calculer z1 ; z2 et z3.

b) Démontrer que nN, zn=(λn1+λn2++λ+1)i.  

c) En déduire que nN, zn=1λnλ1i.      

2. On suppose qu'il existe un entier naturel k tel que λk=1.

Démontrer que pour tout entier naturel, zn+k=zk.      

3. Étude du cas λ=i.          

a) Montrer que nN, kN, zk=z4n+k.

b) Montrer que Mn+1 est l'image de Mn par une rotation ϕ dont on précisera le centre et l'angle.

c) Déterminer les images de A, B, C et D par ϕ et placer dans le repère précédent ces images.
     
d) Montrer que nN, z4n+1=i.   

Exercice 3 Problème

Partie A 

1. Résoudre l'équation différentielle (E) : 2yy=0 dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur R.
 
2. On considère l'équation différentielle (E) : 2yy=(1x)ex2.

a) Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur R par : f(x)=(mx2+px)ex2 soit solution de (E).

b) Soit g une fonction définie et dérivable sur R.

b.1 Montrer que g est solution de (E) si, et seulement si gf est solution de (E).  

b.2 Résoudre l'équation (E).     

3. Déterminer la solution g0 de (E) dont la courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i, j) passe par le point A(1 ; 0).

Partie B 

Soit h la fonction définie sur R par : h(x)=14(x1)ex2.

On désigne par (C) se représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i, j).

Unité graphique 1cm.

1. Déterminer les limites de la fonction h en et en +.

2. Étudier la dérivabilité de h sur R, et déterminer la fonction dérivée h de h.

3. Étudier le sens de variation de la fonction h puis dresser son tableau de variation.
 
4. Soit ϕ la fonction définie sur R par ϕ(x)=ex2 et par (Γ) sa courbe représentative

a) Étudier les positions relatives de (C) et (Γ).

b) Construire les courbes (C) et (Γ) dans le même repère.
 
5. a) Déterminer trois réels a, b et c tels que la fonction H  x(ax2+bx+c)ex2 soit une primitive de h sur R.

b) Calculer en cm2 l'aire A du domaine du plan limité par la courbe (C), (Γ) et les droites d'équations x=1 et x=3.

Partie C

On pose la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par : Un=n+2n+1h(t)dt  

1. Interpréter géométriquement U0

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, ih(n+1)Unn(n+2).$

b) En déduire le sens de variation de la suite (Un).      

3. La suite (Un) est-elle convergente ?

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