Bac Maths D, Tunisie 2017
Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O, →i, →j, →k).
On considère les points A(2, 2, 1), B(0 −2, 4) et C(2, 0, −4).
1. a) Déterminer les composantes du vecteur →OB∧→BC.
b) On note P le plan (OBC).
En remarquant que →OB∧→BC=4→OA, justifier que la droite (OA) est perpendiculaire au plan P en O.
c) Montrer que la distance du point O à la droite (BC) est égale à √2.
2. Soit (S) l'ensemble des points M(x ; y ; z) de l'espace tels que : x2+y2+z2−4x−4y−2z−2=0.
Montrer que (S) est la sphère de centre A et de rayon √11.
3. a) Calculer la distance OA.
b) En déduire que le plan P coupe la sphère (S) suivant un cercle (C) de centre O et de rayon √2.
c) Montrer que la droite (BC) est tangente au cercle (C).
4. On considère le point H(1, −1, 0).
a) Montrer que H est le point de contact de la droite (BC) et du cercle (C).
b) Détermine une équation cartésienne du plan Q tangente à (S) en H.
Exercice 2
1. On considère dans C l'équation (E) : z2−(√5+2i)z+1+4√5i=0.
a) Calculer (√5+2i)2.
b) Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est Δ=−3(√5+2i)2.
c) En déduire que les solutions de (E) sont : α=(√5+2i)(1+i√32) et
β=(√5+2i)(1−i√32).
Dans la figure 1 de l'annexe ci-jointe, (O, →u, →v) est un repère orthonormé direct du plan, (C) est le cercle de centre O et de rayon 3.
2. Soit Q le point d'affixe √5+2i.
a) Montrer que le point Q appartient à (C).
b) Construire alors le point Q.
3. Soient A et B les points d'affixes respectives les nombres complexes a et b.
a) Montrer que les points A et B appartiennent au cercle (C).
b) Vérifier que →OA+→OB=→OQ.
c) En déduire que le quadrilatère OAQB est un losange.
d) Construire alors les points A et B.
Exercice 3
Soient f la fonction définie sur R par f(x)=(1+x2)e−x et (C) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, →i, →j).
1. a) Calculer limx→−∞f(x).
b) Montrer que limx→−∞f(x)x=−∞ et interpréter graphiquement le résultat.
c) Montrer que limx→+∞f(x)=0, et interpréter graphiquement le résultat.
2. a) Montrer que pour tout réel x, f′(x)=−(x−1)2e−x.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3. a) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à (C) au point J d'abscisse 0.
b) Soient A et B les points de (C) d'abscisse respectives 1 et 3.
Montrer que A et B sont deux points d'inflexion de (C).
4. Dans la figure 2 de l'annexe ci-jointe :
− (Γ) est la courbe représentative dans le repère (O, →i, →j) de la fonction g définie sur R par g(x)=ex.
− E et F sont les points de (Γ) d'abscisses respectives (−1) et ln10−3.
− G est le point de coordonnées (0 ; 1 −6e−3).
a) Exprimer f(1) en fonction de g(−1) et f(3) en fonction de g(3).
b) En remarquant que 10g(−3)=g(ln10−3), placer les points A et B dans l'annexe.
5. a) Soit K le point de coordonnées (112, 0).
Montrer que la droite (BK) est la tangente à la courbe (C) au point B.
b) Tracer la courbe (C) dans l'annexe.
(On placera les tangentes à (C) en A, en J et en B).
6. Soit S l'aire en (u.a) de la partie E du plan limitée par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations cartésienne x=0 et x=3.
a) Hachurer E.
b) Soit F la fonction définie sur R par f(x)=−(x2+2x+3)e−x.
Montrer que F est une primitive de f sur R.
c) Calculer S.
d) Vérifier que la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0 ; 3] est à 1−6e−3.
e) Tracer dans la figure 2 un rectangle d'aire égale à S.
Exercice 4
Si une femme enceinte porte un seul fœtus, on dit qu'elle a une grossesse unique, sinon on dit qu'elle a une grossesse multiple. Dans une ville, une étude faite sur une population de femme enceinte montre que :
∙ Le pourcentage des femmes ayant une grossesse multiple est de 5%.
∙ Parmi les femmes ayant une grossesse multiple, 55% finissent par accoucher dans le délai prévu.
∙ Parmi les femmes ayant une grossesse unique, 92% finissent par accoucher dans le délai prévu.
On choisit au hasard une femme de cette population. On désigne par U et D les évènements suivants : U : « la femme a une grossesse unique ». D : « la femme accouche dans le délai prévu ».
1. a) Déterminer p(U).
b) En utilisant les évènements U et D, traduire en terme de probabilité les pourcentages 92% et 55%.
2. a) Calculer p(D).
b) Une femme a accouché dans le délai prévu, montrer que la probabilité que sa grossesse soit unique est égale à 0.9694.
3. Le service de maternité de cette ville prévoit qu'en Juillet 2017, n femmes enceintes devraient accoucher dans le délai prévu, (n≥2).
On note pn la probabilité qu'au moins une de ces femmes ait une grossesse multiple.
a) Exprimer pn en fonction de n.
b) Quel est le nombre minimal des femmes qui devront accoucher en Juillet 2017 dans le délai prévu pour que la probabilité pn soit supérieur à 0.9 ?
Annexe à rendre avec la copie
Commentaires
hedil (non vérifié)
dim, 03/20/2022 - 10:25
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