Bac Maths D, Union des Comores 2017

On dispose deux boites $B_{1}$ et $B_{2}$ contenant chacune des gommes identiques et indiscernables au toucher.

Dans la boite $B_{1}$, on trouve une gomme rouge et deux gommes bleues ; la $B_{2}$, contient deux gommes rouges et deux bleues.

On choisit au hasard une boite et on tire simultanément deux gommes dans cette boite.

Soit l'évènement $A$ : « obtenir une seule gomme rouge ».

1. Montrer que : $P(A)=\dfrac{2}{3}.$

2. Ali s'intéresse à ce jeu et il a tiré une seule gomme rouge.

Quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boule $B_{2}.$

3. Dans cette question, l'expérience consiste à répéter le jeu précédent $4$ fois de suite et de manières indépendantes.

On appelle succès l'évènement « obtenir une seule gomme rouge »

Calculer la probabilité de gagner trois fois au cours de ces $4$ essais.

Le directeur de l'école privée TWAMAYA YAMAAWUWDU a sollicité une évaluation et un suivi de la classe de $CM2$ auprès d'un encadreur pédagogique.

Ce dernier a relevé pour les cinq dernières années le nombre $x$ d'élèves présentés et le nombre $y$ d'élèves admis à l'examen d'entrée en $6^{ème}.$

Les résultats sont notés dans le tableau suivant :  
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|} \hline \text{Examen d'entrée}&2012&2013&2014&2015&2016\\ \text{en }6^{ème}\text{ session}& & & &  &\\ \hline \text{Nombre d'élèves}&88&65&59&25&58\\ \text{présentés : }x& & & & & \\ \hline \text{Nombre d'élèves}&43&22&56&23&54\\ \text{admis : }y&& & & &\\ \hline  \end{array}$$

1. Déterminer les coordonnées $(\bar{x}\ ;\ \bar{y})$ du point moyen $G$ de cette série statistiques.

2. En utilisant la méthode de moindre carré, montrer que la droite d'ajustement linéaire de $y$ en $x$ à pour équation $y=0.27x+23.67.$

3. a) En supposant que la tendance de cet analyse reste uniforme et en utilisant l'expression de la droite de régression de $y$ en $x$, pour cette session de $2017$ de l'Union des Comores, donner alors une estimation des nombres des admis sachant que cette école a présenté $54$ élèves.

b) Selon le rapport de l'encadreur, le problème soulevé est l'effectif des élèves qui empêche l'enseignant à prendre en charge les élèves en difficultés.

Alors, pour qu'un jour cette classe réussisse à $100\%$ à l'examen d'entrée en $v$, donner une estimation de l'effectif des élèves que le directeur présentera.

Dans le plan complexe rapporté d'un repère orthonormé direct $(O\ ;\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$ d'unité graphique $4\,cm$, on donne les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives.

$−\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $-\dfrac{1}{2}$ $-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $-1.$  
 
$(d)$ la droite d'équation $x=-\dfrac{1}{2}$
                     
1. a) Montrer que : $\dfrac{z_{C}−z_{B}}{z_{C}-z_{A}}=\left(-\dfrac{1}{2}+ \mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.$

b) En déduire le module et un argument du nombre complexe $\dfrac{z_{C}−z_{B}}{z_{C}−z_{A}}.$

c) Quelle est alors la nature du triangle $ABC$ ?
 
2. a) Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent au cercle $(\Gamma)$ de centre $0$ et de rayon

1. b) Tracer $(\Gamma)$, $(d)$ et puis placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère.
 
3. Soit $S$ la transformation du plan dans lui-même d'écriture complexe : $z'=(1+\mathrm{i}\sqrt{3})z+\mathrm{i}.$

a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $S.$

b) Calculer l'affixe du point $D$, image de $O$ par la transformation $S.$  

c) Déterminer et construire l'ensemble $(\Gamma')$ image de $(\Gamma)$ par $S.$

Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{llll} f(x)&=&\mathrm{e}^{x-1}-x+1\;,&\text{si }x\in]-\infty\ ;\ 1]\\\\  f(x)&=&1+\dfrac{\ln x}{x}\;,&\text{si }x\in]1\ ;\ +\infty[ \end{array}\right\rbrace$$

1. Montrer que la fonction $f$ est continue au point $x_{0}=1.$

2. Étude de la dérivabilité de $f$ eu point $x_{0}=1.$

a) Montrer qu'en posant $t=x-1$, on a : $$\dfrac{f(x)−f(1)}{x-1}=\dfrac{\mathrm{e}^{t}−1}{t}-1\;,\ \forall\,x\leq 1.$$

b) Calculer alors, $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(\dfrac{f(x)−f(1)}{x−1}\right).$

c) Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 1}\left(\dfrac{f(x)−f(1)}{x−1}\right)$ $\left(\text{on admet que : }\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\ln x}{x-1}= 1\right).$
 
d) La fonction $f$ est-elle dérivable au point $x_{0}=1$ ?

Justifier votre réponse.

On considère la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0\ ;\ +\infty]$ par : $H(x)=1+\dfrac{\ln x}{x}.$

Dans le plan de repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$, on note par $\left(\mathcal{C_{H}}\right)$ la courbe représentative de la fonction $H$, $(\Delta)$ la droite d'équation $y=1.$

1. a) Montrer que, pour tout réel $x>0$, on a : $H'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$

b) En déduire le sens de variation de $H.$  
 
c) Dresser le tableau de variation de $H.$
 
2. Établir l'équation de la tangente $(T)$ à $\left(\mathcal{C_{H}}\right)$  au point $d$ $($abscisse $x_{1}=1).$

3. a) Tracer $(T)$, $(\Delta)$ et $\left(\mathcal{C_{H}}\right).$

On prend : $\mathrm{e}=2.7$ et $1+\mathrm{e}^{-1}=1.3.$

b) Calculer la surface du domaine limité par, $\left(\mathcal{C_{H}}\right)$, $(\Delta)$, et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=\mathrm{e}.$

4. Montrer que l'équation $H(x)=1.2$ admet une solution, notée $\alpha$, sur l'intervalle $[\mathrm{e}\ ;\ +\infty[$ et que $12\leq\alpha\leq 13.$

1. Montrer que le réel $\alpha$ vérifie la relation : $5\ln\alpha=\alpha.$

2. $g$ étant la fonction définie sur l'intervalle $k=[12\ ;\ 13]$ par : $g(x)= 5\ln x$ ;  montrer que pour tout réel $x$ de $K$, on a : $g(x)\in K$ et que $|g'(x)|\leq\dfrac{5}{12}.$  

3. On considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par : $V_{0}=12$ et  $V_{n+1}=g\left(V_{n}\right)\;,\ \forall\,n\in\mathbb{N}.$

a) Montrer par récurrence que, $\forall\,n\in\mathbb{N}$, on a : $V_{n}\in K.$

b) Montrer que, pour tout entier $n$, on a : $$\left|V_{n+1}-\alpha\right|\leq\dfrac{5}{12}\leq \left|V_{n}-\alpha\right|.$$

c) En déduire que, pour tout entier $n$, on a : $$\left|V_{n}-\alpha\right|\leq\left(\dfrac{5}{12}\right)^{n}.$$

d) Déterminer alors la limite de a suite $\left(V_{n}\right).$

4. Trouver le plus petit entier naturel $n$, tel que $V_{n}$ soit une valeur approchée du nombre réel $\alpha$ à $10^{-1}$ près.