Bac Maths du 1er groupe S2 S4 S5 - 2018
Exercice 1 (05 points)
1) On considère la fonction de répartition F de la variable aléatoire x,
F : R→[0, 1]x↦p(X≤x)
p étant une probabilité définie sur un univers fini et non vide.
Dans un repère orthogonal, la représentation graphique de F est la suivante :

a) Déterminer limx→−∞F(x) et limx→+∞F(x).(0.5pt)
b) Déterminer la loi de probabilité de X.(1pt)
c) Calculer les probabilités p(X≤0) et p(X≥1).(0.5+0.5pt)
d) Calculer l'espérance mathématique E(X) de X.(0.5pt)
e) Vérifier que l'écart type σ(X) de X est égal à √123.(0.5pt)
2) On dispose de deux urnes U1 et U2 contenant chacune 3 boules.
Les boules de U1 sont numérotées respectivement 1, 2, 3 et celles de U2 portent respectivement les nombres −2, −1, 0.
On tire au hasard une boule de chaque urne et on effectue la somme Y des numéros des boules tirées.
a) Dresser un tableau à double entrée permettant d'obtenir les valeurs possibles de Y.(0.75pt)
b) En déduire que X et Y ont la même loi de probabilité.
Exercice 2 (5 points)
1) Calculer (√22+√22i)2.
En déduire dans l'ensemble C des nombres complexes les solutions de l'équation z2−i=0.(0.25+0.5pt)
2) On pose P(z)=z3+z2−iz−i où z est un nombre complexe.
a) Démontrer que l'équation P(z)=0 admet une solution réelle que l'on déterminera.(0.25pt)
b) Résoudre l'équation P(z)=0 dans l'ensemble des nombres complexes.(0.5pt)
3) Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, →u, →v) d'unité graphique 2cm.
On considère les points A, B et C d'affixes respectives ZA=√22(1+i), zB=−√22(1+i) et ZC=−1.
a) Déterminer la forme exponentielle de ZA et celle de ZB.(0.5pt)
b) Placer avec précision les points A, B et C dans le plan complexe.(0.75pt)
4) Soit D le symétrique du point A par rapport à l'axe réel.
a) Donner l'affixe ZD du point D sous forme algébrique.(0.25pt)
b) Démontrer que :
zD−zCzA−zC=e−iπ4.
En déduire la nature du triangle ACD.(0.25×2pt)
5) Soit E le point d'affixe √22i et F sont symétrique par rapport à O.
On considère la similitude directe S qui transforme E en A et F en B.
a) Déterminer l'écriture complexe de S et ses éléments caractéristiques.(0.25×4pt)
b) Soit (C) le cercle de centre E et de rayon 1.
Déterminer l'image (C′) de (C) par S.(0.5pt)
Problème (10 points)
Partie A
1) Soit l'équation différentielle (E) : y″
Déterminer les solutions h de (E) définies sur \mathbb{R}.\quad(0.5\;pt)
2) On considère l'équation différentielle (F)\ :\ y''+4y'+4y=-4x
a) Déterminer les réels a et b tels que la fonction \phi\ :\ x\mapsto ax+b soit solution de (F).\quad(0.5\;pt)
b) Montrer qu'une fonction f est solution de (F) si et seulement si (f-\phi) est solution de (E).\quad(0.75\;pt)
c) En déduire toutes les solutions de (F).\quad(0.5\;pt)
d) Donner la solution f de (F) qui vérifie : f(0)=2 et f'(0)=-2.\quad(0.5\;pt)
Partie B
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]-\infty\;;\ -1[\bigcup[0\;;\ +\infty[ par :
f(x)=\left\lbrace\begin{array}{lcl} \ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)&\text{si}&x<-1\\ \\ x\mathrm{e}^{-2x}+\mathrm{e}^{-2x}-x+1&\text{si}&x\geq 0 \end{array}\right.
et (\mathcal{C}_{f}) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}) d'unité graphique 2\;cm.
1) a) Calculer les dérivées f' et f'' de la fonction f sur [0\;;\ +\infty[.\quad(1\;pt)
b) Étudier les variations de f', puis dresser le tableau de variation de f' sur [0\;;\ +\infty[.\quad(0.5+0.5\;pt)
c) En déduire le signe de f' sur [0\;;\ +\infty[.\quad(0.5\;pt)
2) Étudier les variations de f sur ]-\infty\:;\ -1[.\quad(0.5\;pt)
3) Dresser le tableau de variation de f.\quad(0.5\;pt)
4) Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique \alpha et que 1\leq\alpha\leq 2.\quad(0.5+0.5\;pt)
5) Montrer que la courbe (\mathcal{C}_{f}) admet une asymptote oblique (\mathcal{D}) que l'on déterminera, puis étudier la position de (\mathcal{D}) par rapport à la courbe (\mathcal{C}_{f}).\quad(0.5+0.5\;pt)
6) Construire les asymptotes, puis la courbe (\mathcal{C}_{f}).
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
lun, 06/17/2019 - 02:36
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merci
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