Bac Maths S1 S3 1er groupe 2017

Exercice 1 (5 points).

$ABCEDFGH$ est un cube d’arête $1$. On rapporte l’espace au repère orthonormé direct $(A, \vec{AB},\vec{AD}, \vec{AE})$.

1. a. Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{BD}∧\vec{BG}$.   0.5 pt
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(BGD)$.   0.5 pt
c. Vérifier que la droite (EC) est orthogonale au plan $(BGD)$.    0.5 pt

2. Donner une équation de la sphère $(S)$ de centre $C$ et tangente au plan $(BGD)$. 0.5 pt

3. A tout $α$ appartenant à l’intervalle $[0, 1]$ on associe le point $M$ de coordonnées $(α, α, 1−α)$. 0.5 pt
a. Montrer que M est un point du segment $[EC]$. 0.5 pt
b. Montrer que la distance du point $M$ à la droite $(BD)$ est égale à $\sqrt{3\alpha ^2 -4\alpha +\frac{3}{2}}$ 0.75 pt
c. Déterminer $α$ pour que la distance de $M$ à la droite $(BD)$ soit minimale. 0.25 pt
Soit L le point associée à cette valeur de $α$.
d. Vérifier que $L$ est le centre de gravité du triangle $BGD$. 0.25 pt

4. Soit $h$ l’homothétie de centre $E$ et de rapport $k ∈ [0, 1]$.
a. Donner l’expression analytique de $h$. 0.5 pt
b. Vérifier que $h(C) = M$. 0.25 pt
c. Déterminer une équation de $(S′)$ image de $(S)$ par $h$. 0.5 pt

Exercice 2 (4 points)

Soit $a$ un entier naturel non nul et $(un)n∈N$ la suite définie par : $u_n = pgcd(n, a)$.

1. a. Pour $a = 15$, calculer les $3$ premiers termes de la suite $(un)$. 3 × 0.25 pt
b. Pour $a = 4$, soient $m$ et $n$ des entiers naturels tels que $u_m = u_n = 2$.
Montrer que $u_{m+n} = 4$. 0.75 pt

2. a. Soit $b$ un entier naturel.
Démontrer que pour tout entier relatif $q$ on a : $pgcd(a, b) = pgcd(a, b − qa)$. 0.75 pt
b. Calculer $u_0$ et $u_a$. 2 × 0.25 pt
c. Démontrer que $u_n+a = u_n$.
Quelle propriété de la suite $(u_n)$ a-t-on mise en évidence? 0.5 + 0.25 pt

3. Pour $a = 15$, calculer $un$ avec $n = 15^21 + 2$. 0.5 pt

Problème (11 points)

Le plan orienté $P$ est rapporté à un repère orthonormée direct $(O, \vec{i}, \vec{j})$(unité graphique 4 cm).
$n$ étant un entier naturel non nul, on s’intéresse aux solutions dans $\mathbb{R}$ de l’équation d’inconnue x :
$(En) : x + e^x − n = 0$
Soit $fn$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$fn(x) = x + e^x − n$.
On note $C_{fn}$ la courbe représentative de $fn$ dans le repère.

Partie A

1. a. Vérifier que pour tout réel $x$ strictement positif, $ln x − x < 0$. 0.5 pt
b. Montrer que l’équation $(En)$ possède une solution unique $u_n$ et que $u_n$ appartient à l’intervalle
$]\ln \frac{n}{2},\ln n]$. 0.5 + 0.5 pt
c. En déduire les limites suivantes : $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n $, $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{\ln_n} $. 3 × 0.25 pt
d. Calculer $u_1$. 0.25 pt
2. Dans cette question et celles qui suivent, on pourra au besoin se servir de l’´equivalence suivante :
$∀x \in \mathbb{R}, x + e^x − n = 0 ⇔ e^x = n − x$
a. Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{e^{u_{n+1}}}{e^{u_n}}$. Montrer alors que $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1}-u_n=0$. 0.5 + 0.25 pt
b. A l’aide des variations de l’application $fn$, étudier celles de la suite $(u_n$). 0.75 pt
c. On note $An$ l’aire du domaine plan délimité par les droites d’équations $x = u_{n+1}$, $x = un$, l’axe des abscisses et la courbe $C_fn$.
Montrer que :
$An =\frac{1}{2}({u_{n+1}^2}-{u_n}^2)-(n+1)(u{n+1}-u_n)+1$.
Vérifier que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle fermé d’extrémités $u_{n+1}$ et $u_n$, on a :
$0 ≤ fn(x) ≤ 1$. En déduire $\lim\limits_{n \to +\infty}An $. 0.75 + 2 × 0.25 pt
3. a. En utilisant la définition de la dérivée d’une fonction en un point, vérifier qu’il existe une fonction $ε$ définie dans un intervalle ouvert contenant $0$ telle que pour tout $h$ dans cet intervalle, on ait :
$\ln(1 + h) = h + hε(h)$ et $\lim\limits_{h \to 0} ε(h) = 0$

b. On pose $α_n =\frac{un}{\ln n}− 1$ c’est à dire $un = \ln n + α_n \ln n$.
Quelle est la limite de $(α_n)$? 0.25 pt
c. Déterminer une suite $(y_n)$ telle que $u_n = \ln n + \ln (1 + y_n)$

Déduire alors de la question (3 a.) qu’il existe une suite $β_n$ ayant pour limite $0$ telle que
$u_n = \ln n − \frac{\ln n}{n} + β_n \frac{\ln n}{n}$.

Dans cette partie, on s’intéresse à $u_2$.
D’après la première partie, $u2$ appartient à l’intervalle $[0, \ln 2]$.
On note $g$ l’application de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$ telle que $∀x ∈ [0, 1]$, $g(x) = \ln (2 − x)$ et on pose
$b =\frac{2}{3}\ln 2$ et $a = g(b)$.
1. a. Montrer que $u_2$ est le seul point fixe de $g$ et que $u_2$ appartient à l’intervalle $I = [a, b]$. 0.5 + 0.5 pt

b. Prouver que $g$ est dérivable sur $I$ et $∀x ∈ I$, $|g'(x)| ≤ |g'(b)|$.
Enoncer clairement le théorème qui permet d’en déduire que
$∀x, y ∈ I, |g(x) − g(y)| ≤ |g'(b)| |x − y|$. 0.5 + 0.25 pt
c. Vérifier que $g(I) ⊂ I$. 0.5 pt

2. On pose, $a_0 = b$ et pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = g(a_n)$.
a. Démontrer que la suite $(a_n)$ est bien définie ( c’est à dire démontrer que pour tout entier
naturel $n$, $a_n$ appartient à l’ensemble de définition de $g$) et que pour tout entier naturel $n$, $a_n$
appartient à $I$. 0.25 pt
b. Démontrer par récurrence que $∀n ∈ N$, $|a-n − u_2| ≤ |g'(b)|^n(b − a)$
En déduire que la suite $(an)$ est convergente et calculer sa limite. 0.5 + 0.25 pt
c. Quelle valeur suffit-il de donner à $n$ pour que $a_n$ soit une valeur approchée de $u_2$ à $10^{-3}$? 0.5 pt
3. Représenter sur un même graphique, les restrictions de $g$ et $f2$ à l’intervalle $[0, 1]$, le domaine
$A_2$, la droite d’équation $y = x$ les points de coordonnées respectives $( a, 0), (b,0), (u_2,0), (u_3,0)$. 0.5 pt