Bac Maths S1 S3 1er groupe 2017

Exercice 1   (5 points).

ABCEDFGH est un cube d’arête 1. On rapporte l’espace au repère orthonormé direct (A,AB,AD,AE).

1. a. Déterminer les coordonnées du vecteur BDBG.   0.5 pt
b. En déduire une équation cartésienne du plan (BGD).   0.5 pt
c. Vérifier que la droite (EC) est orthogonale au plan (BGD).    0.5 pt

2. Donner une équation de la sphère (S) de centre C et tangente au plan (BGD).    0.5 pt

3. A tout α appartenant à l’intervalle [0,1] on associe le point M de coordonnées (α,α,1α).    0.5 pt
a. Montrer que M est un point du segment [EC].    0.5 pt
b. Montrer que la distance du point M à la droite (BD) est égale à 3α24α+32  0.75 pt
c. Déterminer α pour que la distance de M à la droite (BD) soit minimale.  0.25 pt
Soit L le point associée à cette valeur de α.
d. Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BGD.  0.25 pt

4. Soit h l’homothétie de centre E et de rapport k[0,1].
a. Donner l’expression analytique de h. 0.5 pt
b. Vérifier que h(C)=M. 0.25 pt
c. Déterminer une équation de (S) image de (S) par h. 0.5 pt

Exercice 2   (4 points)

Soit a un entier naturel non nul et (un)nN la suite définie par : un=pgcd(n,a).

1. a. Pour a=15, calculer les 3 premiers termes de la suite (un).   3 × 0.25 pt
b. Pour a=4, soient m et n des entiers naturels tels que um=un=2.
Montrer que um+n=4. 0.75 pt

2. a. Soit b un entier naturel.
Démontrer que pour tout entier relatif q on a : pgcd(a,b)=pgcd(a,bqa).  0.75 pt
b. Calculer u0 et ua.   2 × 0.25 pt
c. Démontrer que un+a=un.
Quelle propriété de la suite (un) a-t-on mise en évidence?   0.5 + 0.25 pt

3. Pour a=15, calculer un avec n=1521+2.   0.5 pt

Problème   (11 points)

Le plan orienté P est rapporté à un repère orthonormée direct (O,i,j)(unité graphique 4 cm).
n étant un entier naturel non nul, on s’intéresse aux solutions dans R de l’équation d’inconnue x :
(En):x+exn=0
Soit fn la fonction définie sur R par :
       fn(x)=x+exn.
On note Cfn la courbe représentative de fn dans le repère.

Partie A

1. a. Vérifier que pour tout réel x strictement positif, lnxx<0. 0.5 pt
b. Montrer que l’équation (En) possède une solution unique un et que un appartient à l’intervalle
]lnn2,lnn]. 0.5 + 0.5 pt
c. En déduire les limites suivantes : lim, \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} et \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{u_n}{\ln_n} . 3 × 0.25 pt
d. Calculer u_1. 0.25 pt
2. Dans cette question et celles qui suivent, on pourra au besoin se servir de l’´equivalence suivante :
∀x \in \mathbb{R}, x + e^x − n = 0 ⇔ e^x = n − x
a. Calculer \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{e^{u_{n+1}}}{e^{u_n}}. Montrer alors que \lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1}-u_n=0. 0.5 + 0.25 pt
b. A l’aide des variations de l’application fn, étudier celles de la suite (u_n). 0.75 pt
c. On note An l’aire du domaine plan délimité par les droites d’équations x = u_{n+1}, x = un, l’axe des abscisses et la courbe C_fn.
Montrer que :
An =\frac{1}{2}({u_{n+1}^2}-{u_n}^2)-(n+1)(u{n+1}-u_n)+1.
Vérifier que pour tout x appartenant à l’intervalle fermé d’extrémités u_{n+1} et u_n, on a :
0 ≤ fn(x) ≤ 1. En déduire \lim\limits_{n \to +\infty}An .  0.75 + 2 × 0.25 pt
3. a. En utilisant la définition de la dérivée d’une fonction en un point, vérifier qu’il existe une fonction ε définie dans un intervalle ouvert contenant 0 telle que pour tout h dans cet intervalle, on ait :
\ln(1 + h) = h + hε(h) et \lim\limits_{h \to 0} ε(h) = 0

b. On pose α_n =\frac{un}{\ln n}− 1 c’est à dire un = \ln n + α_n \ln n.
Quelle est la limite de (α_n)? 0.25 pt
c. Déterminer une suite (y_n) telle que u_n = \ln n + \ln (1 + y_n)

Déduire alors de la question (3 a.) qu’il existe une suite β_n ayant pour limite 0 telle que
u_n = \ln n − \frac{\ln n}{n} + β_n \frac{\ln n}{n}.

Dans cette partie, on s’intéresse à u_2.
D’après la première partie, u2 appartient à l’intervalle [0, \ln 2].
On note g l’application de [0, 1] dans \mathbb{R} telle que ∀x ∈ [0, 1], g(x) = \ln (2 − x) et on pose
b =\frac{2}{3}\ln 2 et a = g(b).
1. a. Montrer que u_2 est le seul point fixe de g et que u_2 appartient à l’intervalle I = [a, b].    0.5 + 0.5 pt

b. Prouver que g est dérivable sur I et ∀x ∈ I, |g'(x)| ≤ |g'(b)|.
Enoncer clairement le théorème qui permet d’en déduire que
∀x, y ∈ I, |g(x) − g(y)| ≤ |g'(b)| |x − y|.   0.5 + 0.25 pt
c. Vérifier que g(I) ⊂ I. 0.5 pt

2. On pose, a_0 = b et pour tout entier naturel n, a_{n+1} = g(a_n).
a. Démontrer que la suite (a_n) est bien définie ( c’est à dire démontrer que pour tout entier
naturel n, a_n appartient à l’ensemble de définition de g) et que pour tout entier naturel n, a_n
appartient à I. 0.25 pt
b. Démontrer par récurrence que ∀n ∈ N, |a-n − u_2| ≤ |g'(b)|^n(b − a)
En déduire que la suite (an) est convergente et calculer sa limite. 0.5 + 0.25 pt
c. Quelle valeur suffit-il de donner à n pour que a_n soit une valeur approchée de u_2 à 10^{-3}?  0.5 pt
3. Représenter sur un même graphique, les restrictions de g et f2 à l’intervalle [0, 1], le domaine
A_2, la droite d’équation y = x les points de coordonnées respectives ( a, 0), (b,0), (u_2,0), (u_3,0).   0.5 pt

Correction Bac Maths S1 S3 1er groupe 2017

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