Bac Maths S2 2017 Remplacement 2ième Groupe

 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.

1) Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=x+2+\dfrac{2\ln x-1}{x}.$

On désigne par $(C_{f})$ la représentation graphique de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

1- L'ensemble de définition de $f$ est :

$]0\;;\ +\infty[\;,\quad ]-\infty\;;\ 0[\cup ]0\;;\ +\infty[\;,\quad ]\sqrt{\mathrm{e}}\;;\ +\infty[\;,\ ]1\;\ +\infty[$

2- Le point de $(C_{f})$ d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ a pour ordonnée :

$\dfrac{1}{2}\;,\quad -\dfrac{1}{2}-4\ln2\;,\quad -4\ln2+\dfrac{1}{2}\;,\quad -\dfrac{1}{2}-\ln8$

2) On considère la fonction $g$ définie sur $]0\;,\ +\infty[$ par :

$g(x)=x\ln x$

On désigne par $(C_{f})$ la représentation graphique de $g$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$

a) La tangente à la courbe de $g$ au point d'abscisse 1 a pour équation :

$y=x\;,\quad y=2x\;,\quad y=-x\;,\quad y=x-1$

b) Une primitive $G$ de $g$ sur $]0\;;\ +\infty[$ est définie par :

$G(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-x^{2}\;,\quad G(x)=2x^{2}\ln x-x^{2}\;,\quad G(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}\ln x-\dfrac{1}{4}x^{2}$

Une enquête sur l'équipement ménager des familles d'un village d'un village donne les résultats suivants :

$40\%$ des familles ont un magnétoscope, $60\%$ des familles ont un téléviseur couleur et $30\%$ des familles n'ont ni téléviseur couleur ni magnétoscope.

On rencontre au hasard une famille de ce village.

On note $M$ l'événement avoir un magnétoscope et $T$ l'événement avoir un téléviseur couleur.

1) Que signifie la probabilité conditionnelle $p(M/T)$ ?

2) On se propose de calculer la probabilité conditionnelle $p(M/T).$

a) Déterminer la probabilité $p(T).$

b) Compléter le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \text{M} & \overline{M} & \text{Total} \\ \hline \text{T} &  &  & 0.6 \\\hline \overline{M} &  & 0.3 &  \\ \hline \text{Total} & 0.4 &  & 1 \\ \hline \end{array}$$

c) Donner la valeur de la probabilité $p(M\cap T).$

En déduire la probabilité conditionnelle $p(M/T).$

3) Déterminer la probabilité conditionnelle $p(T/M).$

Soit $D_{1}$ un dé cubique truqué, numéroté de 1 à 6.

On note $p_{i}$ la probabilité d'apparition de la face numérotée $i$ lors d'un lancer du dé $D_{1}.$

On suppose que $p_{1}\;,\ p_{3}\text{ et }p_{5}$, dans cet ordre, sont les trois termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}.$

$p_{2}\;,\ p_{4}\text{ et }p_{6}$ forment, dans cet ordre, une progression géométrique de raison $\dfrac{1}{2}.$

$p_{2}=2p_{1}.$

Soit $D_{2}$ un dé cubique non truqué, numéroté de 1 à 6.

Les faces ont ainsi la même probabilité d'apparition lors d'un lancer de ce dé.

1) a) Montrer que $p_{1}\;,\ p_{2}\;,\ p_{a}\;,\ p_{4}\;,\ p_{5}\text{ et }p_{6}$

vérifient le système

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} p_{2}=2p_{1}\;; &p_{4}=p_{1}\;; & p_{5}=\dfrac{1}{4}p_{1} \\ \\ p_{3}=p_{6} &=& \dfrac{1}{2}p_{1} \\ \\ p_{1}+p_{2}+p_{3}+p_{4}+p_{5}+p_{6} &=& 1\end{array}\right.$$

b) Calculer

 $p_{1}\;,\ p_{2}\;,\ p_{3}\;,\ p_{4}\;,\ p_{5}\text{ et }p_{6}.$
 
2) On lance les deux dés $D_{1}\text{ et }D_{2}$ simultanément.

 On note par $X$ la variable aléatoire égale à la somme des chiffres obtenus de $D_{1}\text{ et }D_{2}$ après lancement.
 
a) Déterminer l'ensemble des valeurs possibles de $X.$

b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour $n\in\;\mathbb{N}\text{ par : }u_{n}=\mathrm{e}^{-n}.$

a) Déterminer le signe de $u_{n}.$

b) Déterminer le sens de variation de $(u_{n}).$

c) Démontrer que $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

d) En déduire que $(u_{n})$ converge vers 0.