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Bac Maths S2-S2A-S4-S5 1er groupe 2020

Exercice 1 (07 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

Partie A

1) Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes. Compléter les propriétés sur les modules et arguments suivantes :

a) $|z^{n}|=\ldots\qquad(0.25\,pt)$

b) Si $z'$ non nul, alors $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\ldots\qquad(0.25\,pt)$

c) $arg(z^{n})=\ldots\;,\ n$ un entier naturel$\qquad(0.25\,pt)$

d) Si $z'$ non nul, alors $arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\ldots\qquad(0.25\,pt)$

2) Soient $A\;;\ B\;;\ C\ $ et $\ D$ des points du plan deux à deux distincts, d'affixes respectives $z_{A}\;;\ z_{B}\;;\ z_{C}\ $ et $\ z_{D}.$

Donner l'interprétation géométrique de :

a) $|z_{A}-z_{B}|\qquad(0.25\,pt)$

b) $arg\left(\dfrac{z_{D}-z_{C}}{z_{B}-z_{C}}\right)\qquad(0.25\,pt)$

3) Rappeler la formule de Moivre.

Partie B

Soit $s$ une transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :

$$z'=a^{3}z+a^{2}\;,\ \text{ où } a\in\mathbb{C}$$

1) On donne : $a=\dfrac{1}{2}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $s.\qquad(2\,pts)$

2) Déterminer les nombres complexes a pour lesquels :

a) $s$ est une translation.$\qquad(1\,pt)$

b) $s$ est une rotation d'angle $\dfrac{3\pi}{2}\qquad(1\,pt)$

c) $s$ est une homothétie de rapport $-8.\qquad(1\,pt)$

Exercice 2 (03 points)

1) On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de $1$ à $6.$

On lance simultanément les deux dés et on s'intéresse à la somme $S$ des chiffres apparus sur la face de dessus.

a) Déterminer les valeurs possibles de $S.\qquad(0.5\,pt)$

b) Déterminer la probabilité d'obtenir une somme égale à $9.\qquad(0.5\,pt)$

2) Marame et Birane disposent chacun de deux dés et s'adonnent au jeu précédent, chacun de son côté.

a) Quelle est la probabilité que chacun affiche un même score de $9\;,\ 7\ $ ou $\ 8\ ?\qquad(0.75\,pt)$

b) Quelle est la probabilité qu'ils affichent le même score.$\qquad(0.5\,pt)$

c) Celui qui affiche le plus grand score gagne. Calculer la probabilité pour que Marame gagne.$\qquad(0.75\,pt)$

Problème (10 points)

On considère la fonction $f$ définie par :

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+1+\dfrac{3\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+2}&\text{si}&x\leq 0\\ \\x+2+\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}&\text{si}&x>0\end{array}\right.$$

et $(\mathcal{C}_{f})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ d'unité graphique $1\;cm.$

1) Établir que $f$ est définie sur $\mathbb{R}.\qquad(0.5\,pt)$

2.a) Étudier la continuité de $f$ en $0.\qquad(0.75\,pt)$

b) Pour $x<0$, montrer que :

$$\dfrac{f(x)-2}{x-0}=1+\dfrac{2(\mathrm{e}^{x}-1)}{x}\times\dfrac{1}{(\mathrm{e}^{x}+2)}\qquad\quad(0.5\,pt)$$

En déduire

$$\lim_{x\rightarrow 0\;,\ x<0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\qquad\quad(0.25\,pt)$$

c) Conclure sur la dérivabilité de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement les résultats.$\qquad(0.5\,pt)$

3.a) En utilisant les variations de la fonction h définie par :

$$h(x)=\ln(x)-x$$

Montrer que $\ln(x)<x$ pour $x>0.\qquad(0.5\,pt)$

En déduire que $\ln(x+1)<(x+1)^{2}$ pour $x>0.\qquad(0.5\,pt)$

b) Calculer $f'(x)$ pour $x>0$ et utiliser 3.a) pour déterminer son signe.$\ (0.5+0.5)\,pt$

c) Calculer $f'(x)$ pour $x<0$ et donner son signe.$\qquad(0.5+0.25)\,pt$

4.a) Calculer les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition $\mathcal{D}_{f}.\qquad(0.5\,pt)$

b) Calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement le résultat.$\ (0.25+0.25)\,pt$

c) Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-(x+2)]$ et interpréter graphiquement le résultat.$\ (0.25+0.25)\,pt$

d) Étudier le signe de $f(x)-(x+1)$ pour $x<0$, montrer que $f(x)-(x+2)>0$ pour $x>0$ et interpréter graphiquement les résultats.$\qquad(0.25+0.25+0.25)\,pt$

5) Déterminer les coordonnées du point A de la courbe où la tangente est parallèle à l'asymptote pour $x>0.\qquad(0.25\,pt)$

6) Établir que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur un intervalle $J$ à préciser.$\qquad(0.5\,pt)$

7) Représenter graphiquement les courbes de $f\ $ et $\ f^{-1}$ dans un même repère.$\qquad(01\,pt)$

8) Calculer

$$\int_{-\ln 3}^{0}\left(f(x)-(x+1)\right)\mathrm{d}x\qquad\quad(0.5\,pt)$$

9) Interpréter le résultat précédent en terme d'aire.$\qquad(0.25\,pt)$