1. On considère l'équation $(E)\ $ : $\ z^{3}-13z^{2}+59z-87=0$ est un nombre complexe.

 

a. Déterminer la solution réelle de $(E)$.  $\qquad (0.5\;pt)$

 

b. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation $(E)$. $\qquad (0.5\;pt)$

 

2. On pose $a=3\;,\ b=5-2\mathrm{i}\text{ et }c=5+2\mathrm{i}$.

Le plan complexe étant muni d'un repère orthonormé direct $(O;\ \vec{u},\ \vec{v})$, on considère les points

$A\;,\ B\text{ et }C$ d'affixes respectives $a\;,\ b\text{ et }c$. Soit $M$ le point d'affixe $z$ distinct de $A$ et de $B$.

 

a. Calculer $\dfrac{b-a}{c-a}$. En déduire la nature du triangle $ABC$. $\qquad (0.5+0.5\;pt)$

 

b. On pose $Z=\dfrac{z-3}{z-5+2\mathrm{i}}$.

Donner une interprétation géométrique de l'argument de $Z$. $\qquad (0.5\;pt)$

En déduire l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $Z$ soit un nombre réel non nul. $\qquad (0.5\;pt)$

 

3. Soit $\mathcal{C}$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$ et $I$ le point d'affixe $2-\mathrm{i}$.

 

a. Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre $I$ et d'angle $\dfrac{-\pi}{2}$. $\qquad (0.5\;pt)$

 

b. Déterminer l'image $\mathcal{C}'$ de $\mathcal{C}$ par $r$. Construire $\mathcal{C}'$. $\qquad (0.5\;pt)$

A l'occasion de ses activités culturelles, le FOSCO d'un lycée organise un jeu pour le collectif des professeurs. Une urne contenant 4 boules rouges et une boule jaune indiscernables au toucher est placée dans la cour de l'école. Chaque professeur tire simultanément 2 boules de l'urne.

 

- Si les deux boules sont de même couleur, il les remet dans l'urne et procède à un second tirage successif avec remise de 2 autres boules.

 

- Si les deux boules sont de couleurs distinctes, il les remet toujours dans l'urne, mais dans ce cas le second tirage de 2 autres boules s'effectue successivement sans remise.

 

1. Calculer la probabilité des événements suivants :

 

A : "Le professeur tire 2 boules de même couleur au premier tirage." $\qquad (0.25\;pt)$

 

B : "Le professeur tire deux boules de couleurs différentes au premier tirage." $\qquad (0.25\;pt)$

 

C : "Le professeur tire deux boules de même couleur au second tirage sachant que les boules

tirées au premier tirage sont de même couleur." $\qquad (0.5\;pt)$

 

D : "Le professeur tire deux boules de même couleur au second tirage sachant que les boules

tirées au premier tirage sont de couleurs distinctes." $\qquad (0.5\;pt)$

 

E : "Le professeur tire 2 boules de couleurs distinctes au second tirage sachant que les boules tirées au premier tirage sont de couleurs distinctes." $\qquad (0.5\;pt)$

 

F : "Le professeur tire 2 boules de couleurs distinctes au premier et au second tirage." $\qquad (0.5\;pt)$

 

2. Pour le second tirage, chaque boule rouge tirée fait gagner au FOSCO 1000 F et chaque

boule jaune tirée fait gagner au collectif des professeurs 1000 F.

 

Soit $X$ la variable aléatoire à laquelle on associe le gain obtenu par le FOSCO.

 

a. Déterminer les différentes valeurs prises par $X$ et sa loi de probabilité. $\qquad (1\;pt)$

 

b. Déterminer la fonction de répartition de $X$. $\qquad (1\;pt)$

 

3. Étant donné que le collectif est composé de 50 professeurs qui ont tous joué indépendamment

et dans les mêmes conditions, déterminer la probabilité des événements suivants :

 

G : "le FOSCO réalise un gain de 100 000 F." $\qquad (0.5\;pt)$

 

H : "le collectif des professeurs réalise un gain de 100 000 F." $\qquad (0.5\;pt)$

 

I : "Ni gagnant, ni perdant." $\qquad (0.5\;pt)$

Partie A

 

Soit $g$ la fonction définie par : $g(x)=-2\ln(x+1)+\dfrac{x}{x+1}$.

 

1. a. Déterminer $Dg$, puis calculer les limites de $g$ aux bornes de $Dg$. $\qquad (0.75\;pt)$

 

b. Calculer $g'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations de $g$. $\qquad (1\;pt)$

 

2. a. Calculer $g(0)$ . Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions dont

l'une que l'on désigne $\alpha\in]-0.72;\ -0.71[$. $\qquad (0.25+0.5\;pt)$

 

b. Déterminer le signe de $g(x)$. $\qquad (0.5\;pt)$

 

Partie B

 

Soit $f$ la fonction définie par : $\left\{\begin{array}{lcl}f(x)&=& \dfrac{x^{2}}{\ln(x+1)}\qquad\text{si }x>-1\\\\f(x) &=& (1+x)\mathrm{e}^{-x-1}\qquad\text{si }x\leq -1\\\\f(0) &=& 0\end{array}\right.$ 

 

1. a. Montrer que $Df=\mathbb{R}$ et calculer les limites aux bornes de $Df$. $\qquad (0.75\;pt)$

 

b. Étudier la nature des branches infinies. $\qquad (0.5\;pt)$

 

2. a. Étudier la continuité de $f$ en -1 et en 0. $\qquad (0.5\;pt)$

 

b. Étudier la dérivabilité de $f$ en -1 et en 0 et interpréter graphiquement les résultats. $\qquad (1\;pt)$

 

3. a. Montrer que pour tout $x\in]-1;\ +\infty [$ et $x\neq 0$ on a $f'(x)=\dfrac{-xg(x)}{\ln^{2}(x+1)}$ et calculer $f'(x)$

sur $]-\infty;\ -1[$. $\qquad (0.5\;pt)$

 

b. Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations. $\qquad (1\;pt)$

 

4. Soit $h$ la restriction de $f$ à $[0;\ +\infty[$.

 

a. Montrer que $h$ réalise une bijection de $[0;\ +\infty[$ sur un intervalle $J$ à préciser. $\qquad (0.25\;pt)$

 

b. Donner le sens de variation de $h^{-1}$. $\qquad (0.25\;pt)$

 

c. Construire $Cf$ et $Ch^{-1}$. $\qquad (1.25\;pt)$

 

Partie C

 

Soit $m$ la fonction définie par $m(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x^{2}}-\dfrac{1}{x(x+1)}$.

 

1. a. Déterminer les fonctions $u$ et $v$ telles que pour tout $x\in]0;\ +\infty[$ , $m(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$. $\qquad (0.25\;pt)$

 

b. En déduire la fonction $H$ définie sur $]0;\ +\infty[$ telle que $H'(x)=m(x)$ puis calculer $$\int_{1}^{2}\frac{1}{f(x)}\mathrm{d}x.\qquad (0.75\;pt)$$