Corrigé Bac Maths S2 2e groupe 2015

Exercice 1

1) a) Ensemble de définition de f
 
Pour plus de clarté, nous reproduisons la courbe de f.

 

 
Au vu de cette figure, il apparaît que toute droite "verticale" (c'est-à-dire parallèle à l'axe des y) coupe la courbe (Cf) en un unique point, sauf la droite d'équation x=1. On peut donc considérer que f est définie partout sur R sauf en x0=1. Par conséquent, Df=R{1}=], 1[]1, +[
 
2) Lecture graphique de certaines limites

limxf(x)= car quand on regarde vers le côté gauche du dessin, c'est-à-dire les points de (Cf) pour des valeurs négatives de la variable x, la courbe semble se diriger vers le bas autrement dit les valeurs correspondantes de f(x) deviennent de plus en plus grandes en valeur absolue mais négatives.
 
limx+f(x)=0 car quand on regarde vers le côté droit du dessin, c'est-à-dire les points de (Cf) pour des valeurs de plus en plus grandes de la variable x, la courbe semble se rapprocher indéfiniment de l'axe des abscisses.
 
limx1f(x)=+ (en fait on a limx1+f(x)=+ et limx1f(x)=+) car quand on considère les points de la courbe dont les abscisses sont proches de 1, qu'elles soient inférieures ou supérieures à 1, on constate que leurs ordonnées deviennent de plus en plus grandes et positives (la courbe semble se diriger vers le haut).
 
limx+xf(x)=+ car quand x tend vers +, on a évidemment x+ mais f(x)0+, d'où le résultat d'après les théorèmes généraux sur la limite d'un quotient.
 
limxf(3x2)=1 car limx(3x2)=0 et limx0f(x)=1 d'où le résultat par composition des limites.
 
limx0f(x)+1x=; en effet, cette limite est celle du taux de variation de f en 0 par valeurs inférieures et l'examen de la courbe montre que (Cf) admet une demi-tangente verticale dirigée vers le haut à gauche de 0.
 
c) Nature des branches infinies de (Cf)
 
• Au voisinage de , (Cf) admet d'après la figure une asymptote oblique (Δ). Pour déterminer une équation de (Δ), on cherche les coordonnées de deux points par lesquelles elle passe. En examinant la figure, on voit que (Δ) passe (bien regarder et compter les carreaux, la figure de l'énoncé étant malheureusement de mauvaise qualité) par A(21) et B(32). Son équation est de la forme y=ax+b avec a=2(1)3(2)=11=1 et puisque A(Δ), ses coordonnées vérifient l'équation de (Δ), d'où 1=a×(2)+b=1×(2)+b, et par conséquent b=1. 
 
(Δ) a donc pour équation y=x+1.
 
• La droite d'équation x=1 est asymptote verticale à (Cf) car 
 
limx1f(x)=+
 
• La droite d'équation y=0 est asymptote horizontale à (Cf) car 
 
limx+f(x)=0
 
d) Résolution graphique de l'équation f(x)=0
 
Ce sont les abscisses des points où la courbe intersecte l'axe des abscisses. Par lecture, on trouve : S={2; 14; 1}
 
2) Lecture graphique de nombres-dérivés
 
• En regardant attentivement le quadrillage, on voit que le vecteur directeur de la tangente au point d'abscisse -2 a pour coordonnées (par exemple) (121), ou encore (12). Donc f(2)=2.
 
• On a f(2)=0 car au point d'abscisse 2, la tangente est horizontale.
 
fd(0)=14 car la demi-tangente à gauche en 0 a un vecteur directeur de coordonnées (114).
 
3) Tableau de variation de f
 
Il découle de la figure. On voit clairement que f est croissante sur ]; 1[, décroissante sur ]1; 0], croissante sur [0; 2] et décroissante sur [2; +[.
 
x102+f(x)+||||+|+1f||||10

Exercice 2

Étude de la suite (Un) définie par : {U0=0Un+1=12U2n+12
 
1) Calcul U1 et U2
 
On a, en remplaçant n par 0 dans la relation de récurrence définissant la suite :
U1=12U20+12=122=3etU2=12U21+12=152
 
2) Étude de la suite auxiliaire (Vn) définie par : Vn=U2n4 
 
a) Nature et éléments caractéristiques de (Vn)
 
On a successivement :

Vn+1=U2n+14=14(U2n+12)4=U2n4+34=U2n41=U2n44
 
Soit Vn+1=14(U2n4)=14Vn
 
Il en résulte que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 14 et de premier terme V0=U204=4.
 
b) Expression de Vn , puis de Un en fonction de n et limite de la suite (Un).
 
Les formules relatives aux suites géométriques donnent alors :
 
Vn=V0qn=4×(14)n=(14)n1 (simplification par 4), puis :  U2n=Vn+4, soit puisque la suite (Un) est visiblement à termes positifs (on peut le montrer très simplement par récurrence),

Un=V2n+4=(14)n1+4=4[1(14)n]=21(14)n
 
Puisque 14 est compris entre 0 et 1 (donc appartient à ]1; 1[), on a :
 
limn+(14)n=0 et par conséquent limn+Un=2
 
3) Calcul de Sn=U20+U21++U2n et de limn+Snn
 
En sommant membre à membre les (n+1) égalités :

Vn=U2n4Vn1=U2n14V0=U204
 
On obtient i=ni=0Vi=i=ni=0U2i4(n+1).
 
Or d'après la formule relative à la somme des termes d'une suite géométrique, on a :

i=ni=0Vi=4×1(14)n+1114=i=ni=0U2i4(n+1)
 
D'où 

i=ni=0U2i=4[(n+1)43[1(14)n+1]]=4[n13+43(14)n+1]
 
Soit Sn=4[n13+13(14)n]
 
Il en résulte que Snn=4[113n+13n(14)n].
 
Des relations limn+(13n)=0 et limn+(14)n=0, et des opérations sur les limites de suites, il découle alors que : limn+Snn=4

Exercice 3

1) Tout parcours est, d'après l'énoncé, assimilable à une 7-liste de l'ensemble {R, V, O}. Le nombre de tels parcours est donc 37 = 2187.
 
2) a) Les parcours tels que "Tous les feux sauf le premier sont au rouge" sont les 7-listes de {R, V, O} du type (X, R, R, R, R, R, R), où X est l'une des couleurs V ou O. Le nombre de telles listes est donc, d'après le Principe Multiplicatif : 2×16=2.
 
b) Les parcours tels que "Le premier des feux est au vert" sont les 7-listes de {R, V, O} pour lesquels il y a 1 choix possible pour la première composante (c'est nécessairement un V) et 3 choix possibles pour chacune des 6 autres composantes (cela peut être n'importe laquelle des 3 couleurs R, V ou O), d'où 1×36=729 parcours de ce genre.
 
c) Les parcours tels que "Tous les feux sauf un sont au rouge" sont au nombre de : 7 (choix de l'emplacement du feu qui n'est pas rouge)× 2 (choix de la couleur de ce feu)×16=14 parcours de ce genre.
 
d) Les parcours où l'automobiliste s'arrête k fois (k5) sont au nombre de : Ck7 (choix de l'emplacement des feux qui ne sont pas verts)×2k(choix des couleurs de ces feux)×17k.

Les parcours où l'automobiliste s'arrête au moins 5 fois sont donc au nombre de : C57×25×12+C67×26×16+C77×27=1248

Exercice 4

1) Les nombres complexes (1+i) et (1i) sont conjugués, donc il en est de même de (1+i)2015 et (1i)2015 d'après la propriété : ¯zn=ˉzn et par conséquent la somme Z=(1+i)2015+(1i)2015 est un réel d'après la propriété : z+ˉzR.
 
2) On a sous forme exponentielle : 1+i=eiπ4 et 1i=eiπ4, d'où d'après la formule de Moivre : 

(1+i)2015=(eiπ4)2015=ei2015π4=ei(20161)π4=ei(504ππ4)=ei504π×eiπ4=eiπ4
 
car 504 est pair et l'on a ei2kπ=1, kZ.
 
Il en résulte aussitôt, d'après 1), que : (1i)2015=eiπ4.
 
On en déduit alors que :  Z=eiπ4+eiπ4=2(eiπ4)=2×22=2. 
 

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