Corrigé BFEM maths 2012
Exercice 1
1) Soit : t=√45+√196−√180−√245
Écrivons t sous la forme a√b+c où a, b et c sont des entiers ; b étant le plus petit entier positif possible.
On a :
t=√45+√196−√180−√245=√9×5+√4×49−√36×5−√49×5=√9×√5+√4×√49−√36×√5−√49×√5=3√5+2×7−6√5−7√5=−10√5+14
Donc, t=−10√5+14
D'où, a=−10, b=5 et c=14
2) On donne les réels x=47+3√5 et y=3√5−7
a) Écrivons x avec un dénominateur rationnel.
Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de 7+3√5 ; c'est à dire 7−3√5.
On obtient alors :
x=47+3√5=4×(7−3√5)(7+3√5)(7−3√5)=4×(7−3√5)(7)2−(3√5)2=4×(7−3√5)49−9×5=4×(7−3√5)49−45=4×(7−3√5)4=7−3√5
D'où, x=7−3√5
b) Justifions que y est négatif.
Soit : y=3√5−7 alors, y est négatif si, et seulement si, 3√5−7<0 ; c'est à dire 3√5<7.
Ce qui revient donc à comparer 3√5 et 7.
Comme ces deux nombres sont tous positifs alors, les comparer revient tout simplement à comparer leur carré.
On a : (3√5)2=9×5=45 et (7)2=49
Or, 49>45 donc, 7 est supérieur à 3√5
Par suite, 3√5−7<0. D'où, y<0
c) Justifions que x=−y
D'après la question a), on a :
x=7−3√5=−3√5+7=−(3√5−7)=−y
Ainsi, x=−y
d) Encadrons x à 10−2 près.
Soit : x=7−3√5 avec 2.236<√5<2.237 alors, on a :
2.236<√5<2.237⇒−2.237<−√5<−2.236⇒3×(−2.237)<3×(−√5)<3×(−2.236)⇒−6.711<−3√5<−6.708⇒7−6.711<7−3√5<7−6.708⇒0.289<7−3√5<0.292⇒0.28<7−3√5<0.29
Par suite, 0.28<x<0.29
e) On pose : z=(x−y)2
Justifions que √z=−2y
On a :
√z=√(x−y)2=|x−y|
Or, d'après la question c), x=−y donc,
√z=|x−y|=|−y−y|=|−2y|=|−2|×|y|=2×|y|
Comme d'après la question b), y est négatif alors, |y|=−y
Par suite, √z=2×(−y)=−2×y
D'où, √z=−2y
Exercice 2
"Le Sénégal vient d'administrer une belle leçon de démocratie à la face du monde par l'organisation d'élection présidentielle incontestée. Le vaincu reconnait sa défaite, félicite le vainqueur".
Une étude statistique portant sur les 30 mots de ce texte (un mot quelconque est considéré autant de fois qu'il apparait dans le texte), a donné le diagramme circulaire ci-dessous :

1) Le caractère étudié est la Nature grammaticale des mots.
2) Ce caractère est de nature qualitative.
3) Les modalités de ce caractère sont :
− Nom
− Adjectif
− Verbe
− Préposition
− Article
4) Dressons le tableau des effectifs de cette série.
Soit n l'effectif partiel d'une modalité occupant un angle égal à α∘ dans le diagramme circulaire ci-dessus.
Soit N l'effectif total égal au nombre total de mots donc, N=30.
Alors, on a :
α∘=360∘×nN ⇒ n=α∘×N360∘
D'où, le le tableau des effectifs suivant :
ModalitésNomAdjectifVerbePrépositionArticleEffectifs410448
5) Construisons le diagramme à bandes de cette série.

Exercice 3
1) Construisons un triangle MON rectangle en N tel que :
MN=7.5cm et ^MON=30∘

2) Calculons MO
MON étant un triangle rectangle en N alors, sin^MON=MNMO
Or, sin^MON=sin30∘=12 donc,
MNMO=12⇒1×MO=2×MN⇒MO=2×7.5⇒MO=15
D'où, MO=15cm
Calculons NO
De la même manière, on a : cos^MON=NOMO
Comme cos^MON=cos30∘=√32 alors,
NOMO=√32⇒NO=√32×MO⇒NO=√32×15⇒NO=15√32
Ainsi, NO=15√32cm
3) Soit I le pied de la hauteur issue de N.
Calculons NI
Comme MON est un triangle rectangle en N et I le pied de la hauteur issue de N alors, on a :
NI=MN×NOMO
Par suite,
NI=MN×NOMO=7.5×15√3215=7.5×15√3215=7.5×15√32×15=7.5√32
D'où, NI=7.5√32cm
4) La droite passant par M et parallèle à la droite (NI) coupe la droite (ON) en T.
Calculons MT
Comme les droites (MO) et (ON) sécantes en O sont coupées par deux droites parallèles (NI) et (MT) alors, les triangles ONI et OMT sont en position de Thalès.
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient : ONOT=OIOM=NIMT
Ainsi,
OIOM=NIMT⇒OI×MT=OM×NI⇒MT=OM×NIOI
Par suite, MT=OM×NIOI
Calculons OI
En utilisant les relations métriques dans le triangle rectangle MNO, on obtient :
NO2=OI×MO
Ainsi, OI=NO2MO
Par suite,
OI=(15√32)215=152×34×15=15×34=454=11.25
D'où, OI=11.25cm
Autre méthode
NIO étant un triangle rectangle en I alors, OINO=cos^ION
Or, cos^ION=cos30∘=√32
Par suite,
OINO=√32⇒OI=NO×√32⇒OI=15√32×√32⇒OI=15×34⇒OI=454⇒OI=11.25
Ainsi, OI=11.25cm
En reportant cette valeur de OI dans l'expression de MT, on obtient :
MT=OM×NIOI=15×7.5√3211.25=15×7.5√311.5×2=112.5√322.5=5√3
D'où, MT=5√3cm
5) Soit E le centre du cercle circonscrit au triangle MOT.
Démontrons que MET est un triangle équilatéral.
Pour cela, il suffit de montrer que MT=ME=ET.
On sait que MOT est un triangle rectangle en M.
En effet, (MT)//(NI) et (NI) perpendiculaire à (MO) donc, (MT) aussi est perpendiculaire à (MO).
D'où, MOT est un triangle rectangle en M.
Par suite, le centre E du cercle circonscrit au triangle MOT sera le milieu du segment [OT].
M et T appartiennent au cercle circonscrit donc, ET=ME
Calculons ET
On a : ET=OT2 ⇒ OT=2ET
Dans le triangle rectangle MOT, on a : MTOT=sin30∘.
Or, sin30∘=12 donc, MTOT=12 ⇒ OT=2MT
Par suite,
OT=2ETOT=2MT}⇒2ET=2MT⇒ET=MT
Ainsi, ET=ME=MT=5√3cm
D'où, le triangle MET est équilatéral.
Exercice 4
Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, →i, →j) on donne les points :
A(2−1), B(−32) et C(07)

1) Démontrons que →AB et →BC sont orthogonaux.
Calculons d'abord les coordonnées de →AB et →BC
On a :
→AB(−3−22−(−1))=(−53)
→BC(0−(−3)7−2)=(35)
Donc,
→AB(−53)et→BC(35)
Montrons que les vecteurs →AB et →BC sont orthogonaux.
On a :
x→AB×x→BC+y→AB×y→BC=(−5)×3+3×5=−15+15=0
Donc, les coordonnées des vecteurs →AB et →BC vérifient la propriété :
x→AB×x→BC+y→AB×y→BC=0
Par suite, les vecteurs →AB et →BC sont orthogonaux.
2) Calculons les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme.
ABEC un parallélogramme alors, →AB=→CE
Or, →CE(xE−0yE−7)=(xEyE−7) et →AB=(−53)
Donc,
→AB=→CE⇔(−53)=(xEyE−7)⇔(−53+7)=(xEyE)⇔(−510)=(xEyE)
Ainsi, xE=−5 et yE=10
D'où,
E(−510)
3) Soit F l'image de B par la translation de vecteur →CE.
Calculons les coordonnées de F
On a : F=t→CE(B) donc, →BF=→CE
Soit →CE=(−53) et →BF(xF−(−3)yF−2)=(xF+3yE−2) alors, on a :
→BF=→CE⇔{xF+3=−5yF−2=3⇔{xF=−5−3yF=3+2⇔{xF=−8yF=5
Ainsi,
F(−85)
4) Justifions que B est le milieu de [AF]
ABEC étant un parallélogramme alors, →AB=→CE
Or, d'après la question 3) →BF=→CE
Donc, →AB=→CE=→BF
Par suite, →AB=→BF
D'où, B est milieu de [AF]
Autre méthode
On a :
(xF+xA2yF+yA2)=(−8+225−12)=(−6242)=(−32)
Or, B est de coordonnées (−32)
Donc, les coordonnées de B vérifient :
xB=xF+xA2etyB=yF+yA2
D'où, B est le milieu de [AF]
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 09/02/2020 - 18:22
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Bon boulot ! ! ! !
Sasa (non vérifié)
lun, 08/02/2021 - 18:57
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Vraiment merci beaucoup vous
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