Corrigé BFEM maths 2012

 

Exercice 1

1) Soit : t=45+196180245
 
Écrivons t sous la forme ab+ca, b  et  c sont des entiers ; b étant le plus petit entier positif possible.
 
On a :
 
t=45+196180245=9×5+4×4936×549×5=9×5+4×4936×549×5=35+2×76575=105+14
 
Donc, t=105+14
 
D'où, a=10, b=5  et  c=14
 
2) On donne les réels x=47+35  et  y=357
 
a) Écrivons x avec un dénominateur rationnel.
 
Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de 7+35 ; c'est à dire 735.
 
On obtient alors :
 
x=47+35=4×(735)(7+35)(735)=4×(735)(7)2(35)2=4×(735)499×5=4×(735)4945=4×(735)4=735
 
D'où, x=735
 
b) Justifions que y est négatif.
 
Soit : y=357 alors, y est négatif si, et seulement si, 357<0 ; c'est à dire 35<7.
 
Ce qui revient donc à comparer 35  et  7.
 
Comme ces deux nombres sont tous positifs alors, les comparer revient tout simplement à comparer leur carré.
 
On a : (35)2=9×5=45  et  (7)2=49
 
Or,  49>45 donc, 7 est supérieur à 35
 
Par suite, 357<0. D'où, y<0
 
c) Justifions que x=y
 
D'après la question a), on a :
 
x=735=35+7=(357)=y
 
Ainsi, x=y
 
d) Encadrons x à 102 près.
 
Soit : x=735 avec 2.236<5<2.237 alors, on a :
 
2.236<5<2.2372.237<5<2.2363×(2.237)<3×(5)<3×(2.236)6.711<35<6.70876.711<735<76.7080.289<735<0.2920.28<735<0.29
 
Par suite, 0.28<x<0.29
 
e) On pose : z=(xy)2
 
Justifions que z=2y
 
On a :
 
z=(xy)2=|xy|
 
Or, d'après la question c), x=y donc,
 
z=|xy|=|yy|=|2y|=|2|×|y|=2×|y|
 
Comme d'après la question b), y est négatif alors, |y|=y
 
Par suite, z=2×(y)=2×y
 
D'où, z=2y
 

Exercice 2

"Le Sénégal vient d'administrer une belle leçon de démocratie à la face du monde par l'organisation d'élection présidentielle incontestée. Le vaincu reconnait sa défaite, félicite le vainqueur".
 
Une étude statistique portant sur les 30 mots de ce texte (un mot quelconque est considéré autant de fois qu'il apparait dans le texte), a donné le diagramme circulaire ci-dessous :

 

 
1) Le caractère étudié est la Nature grammaticale des mots.
 
2) Ce caractère est de nature qualitative.
 
3) Les modalités de ce caractère sont :
 
  Nom
 
  Adjectif
 
  Verbe
 
  Préposition
 
  Article
 
4) Dressons le tableau des effectifs de cette série.
 
Soit n l'effectif partiel d'une modalité occupant un angle égal à α dans le diagramme circulaire ci-dessus.
 
Soit N l'effectif total égal au nombre total de mots donc, N=30.
 
Alors, on a :
α=360×nN  n=α×N360
D'où, le le tableau des effectifs suivant :
ModalitésNomAdjectifVerbePrépositionArticleEffectifs410448
5) Construisons le diagramme à bandes de cette série.

 

Exercice 3

1) Construisons un triangle MON rectangle en N tel que :
MN=7.5cm  et  ^MON=30

 

 
2) Calculons MO
 
MON étant un triangle rectangle en N alors, sin^MON=MNMO
 
Or, sin^MON=sin30=12 donc,
 
MNMO=121×MO=2×MNMO=2×7.5MO=15
 
D'où, MO=15cm
 
Calculons NO
 
De la même manière, on a : cos^MON=NOMO
 
Comme cos^MON=cos30=32 alors,
 
NOMO=32NO=32×MONO=32×15NO=1532
 
Ainsi, NO=1532cm
 
3) Soit I le pied de la hauteur issue de N.
 
Calculons NI
 
Comme MON est un triangle rectangle en N  et  I le pied de la hauteur issue de N alors, on a :
NI=MN×NOMO
Par suite,
 
NI=MN×NOMO=7.5×153215=7.5×153215=7.5×1532×15=7.532
 
D'où, NI=7.532cm
 
4) La droite passant par M et parallèle à la droite (NI) coupe la droite (ON)  en  T.
 
Calculons MT
 
Comme les droites (MO)  et  (ON) sécantes en O sont coupées par deux droites parallèles (NI)  et  (MT) alors, les triangles ONI  et  OMT sont en position de Thalès.
 
Donc, en appliquant le théorème de Thalès, on obtient : ONOT=OIOM=NIMT
 
Ainsi,
 
OIOM=NIMTOI×MT=OM×NIMT=OM×NIOI
 
Par suite, MT=OM×NIOI
 
Calculons OI
 
En utilisant les relations métriques dans le triangle rectangle MNO, on obtient :
NO2=OI×MO
Ainsi, OI=NO2MO
 
Par suite,
 
OI=(1532)215=152×34×15=15×34=454=11.25
 
D'où, OI=11.25cm
 
Autre méthode
 
NIO étant un triangle rectangle en I alors, OINO=cos^ION
 
Or, cos^ION=cos30=32
 
Par suite,
 
OINO=32OI=NO×32OI=1532×32OI=15×34OI=454OI=11.25
 
Ainsi, OI=11.25cm
 
En reportant cette valeur de OI dans l'expression de MT, on obtient :
 
MT=OM×NIOI=15×7.53211.25=15×7.5311.5×2=112.5322.5=53
 
D'où, MT=53cm
 
5) Soit E le centre du cercle circonscrit au triangle MOT.
 
Démontrons que MET est un triangle équilatéral.
 
Pour cela, il suffit de montrer que MT=ME=ET.
 
On sait que MOT est un triangle rectangle en M.
 
En effet, (MT)//(NI)  et  (NI) perpendiculaire à (MO) donc, (MT) aussi est perpendiculaire à (MO).
 
D'où, MOT est un triangle rectangle en M.
 
Par suite, le centre E du cercle circonscrit au triangle MOT sera le milieu du segment [OT].
 
M  et  T appartiennent au cercle circonscrit donc, ET=ME
 
Calculons ET
 
On a : ET=OT2  OT=2ET
 
Dans le triangle rectangle MOT, on a : MTOT=sin30.
 
Or, sin30=12 donc, MTOT=12  OT=2MT
 
Par suite,
 
OT=2ETOT=2MT}2ET=2MTET=MT
 
Ainsi, ET=ME=MT=53cm
 
D'où, le triangle MET est équilatéral.

Exercice 4

Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O, i, j) on donne les points :
A(21), B(32)  et  C(07)

 

 
1) Démontrons que AB  et  BC sont orthogonaux.
 
Calculons d'abord les coordonnées de AB  et  BC
 
On a :
 
AB(322(1))=(53)
 
BC(0(3)72)=(35)
 
Donc,
AB(53)etBC(35)
Montrons que les vecteurs AB  et  BC sont orthogonaux.
 
On a : 
 
xAB×xBC+yAB×yBC=(5)×3+3×5=15+15=0
 
Donc, les coordonnées des vecteurs AB  et  BC vérifient la propriété :
xAB×xBC+yAB×yBC=0
Par suite, les vecteurs AB  et  BC sont orthogonaux.
 
2) Calculons les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme.
 
ABEC un parallélogramme alors, AB=CE
 
Or, CE(xE0yE7)=(xEyE7)  et  AB=(53)
 
Donc,
 
AB=CE(53)=(xEyE7)(53+7)=(xEyE)(510)=(xEyE)
 
Ainsi, xE=5  et  yE=10
 
D'où,
E(510)
3) Soit F l'image de B par la translation de vecteur CE.
 
Calculons les coordonnées de F
 
On a : F=tCE(B) donc, BF=CE
 
Soit CE=(53)  et  BF(xF(3)yF2)=(xF+3yE2) alors, on a :
 
BF=CE{xF+3=5yF2=3{xF=53yF=3+2{xF=8yF=5
 
Ainsi,
F(85)
4) Justifions que B est le milieu de [AF]
 
ABEC étant un parallélogramme alors, AB=CE
 
Or, d'après la question 3) BF=CE
 
Donc, AB=CE=BF
 
Par suite, AB=BF
 
D'où, B est milieu de [AF]
 
Autre méthode
 
On a :
 
(xF+xA2yF+yA2)=(8+22512)=(6242)=(32)
 
Or, B est de coordonnées (32)
 
Donc, les coordonnées de B vérifient :
xB=xF+xA2etyB=yF+yA2
D'où, B est le milieu de [AF]

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Bon boulot ! ! ! !

Vraiment merci beaucoup vous un génie. Mais j'avoue que j'ai pas bien compris le triangle avec les 1/2 et tout ça

Ajouter un commentaire