Corrigé BFEM maths 2013

$f(2)=2-2=0$

 

De même en choisissant $f(x)=-x+2$, on trouve :

 

$f(2)=-2+2=0$

 

D'où, finalement $\boxed{f(2)=0}$

1) Le plan est muni d'un repère orthonormal  $(O\;,\ I\;,\ J)$ tel que $OI=OJ=1\;cm.$

 

Plaçons les points $M (-4\;;\ 3)\;,\  N (0\;;\ -1)\;,\  C(4\;;\ 3)\ $ et $\ E(2\;;\ -3).$

2) Montrons que les points $M\;,\ N\ $ et $\ E$ sont alignés.

 

Pour cela, il suffit de montrer que les vecteurs $\overrightarrow{MN}\ $ et $\ \overrightarrow{NE}$ sont colinéaires.

 

Soit : $\overrightarrow{MN}\begin{pmatrix} 0-(-4)\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\-4\end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{NE}\begin{pmatrix} 2-0\\-3-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\-2\end{pmatrix}$

 

On a : 

 

$\begin{array}{rcl} x_{\overrightarrow{MN}}\times y_{\overrightarrow{NE}}-x_{\overrightarrow{NE}}\times y_{\overrightarrow{MN}}&=&4\times(-2)-2\times(-4)\\ \\&=&-8+8\\ \\&=&0\end{array}$

 

Donc, les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{MN}\ $ et $\ \overrightarrow{NE}$ vérifient la propriété :

$$x_{\overrightarrow{MN}}\times y_{\overrightarrow{NE}}-x_{\overrightarrow{NE}}\times y_{\overrightarrow{MN}}=0$$

Par suite, les vecteurs $\overrightarrow{MN}\ $ et $\ \overrightarrow{NE}$ sont colinéaires.

 

D'où, les points $M\;,\ N\ $ et $\ E$ sont alignés.

 

3) Calculons $MN$, $NC\ $ et $\ MC$

 

$-\ $ Calcul de $MN$

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} MN&=&\sqrt{(4)^{2}+(-4)^{2}}\\ \\&=&\sqrt{16+16}\\ \\&=&\sqrt{32}\\ \\&=&4\sqrt{2}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{MN=4\sqrt{2}\;cm}$

 

$-\ $ Calcul de $NC$

 

Soit : $\overrightarrow{NC}\begin{pmatrix} 4-0\\3-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\4\end{pmatrix}$ donc,

 

$\begin{array}{rcl} NC&=&\sqrt{(4)^{2}+(4)^{2}}\\ \\&=&\sqrt{16+16}\\ \\&=&\sqrt{32}\\ \\&=&4\sqrt{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{NC=4\sqrt{2}\;cm}$

 

$-\ $ Calcul de $MC$

 

Soit : $\overrightarrow{NC}\begin{pmatrix} 4-(-4)\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\0\end{pmatrix}$ alors,

 

$\begin{array}{rcl} MC&=&\sqrt{(8)^{2}+(0)^{2}}\\ \\&=&\sqrt{(8)^{2}}\\ \\&=&|8|\\ \\&=&8\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{MC=8\;cm}$

 

Déduisons-en que le triangle $MNC$ est rectangle et isocèle.

 

Tout d'abord, on remarque que $MN=NC$, ce qui signifie que le triangle $MNC$ est isocèle en $N.$

 

De plus,

 

$\begin{array}{rcl} MN^{2}+NC^{2}&=&(4\sqrt{2})^{2}+(4\sqrt{2})^{2}\\ \\&=&4^{2}\times 2+4^{2}\times 2\\ \\&=&32+32\\ \\&=&64\end{array}$

 

Or, $MC^{2}=8^{2}=64$ donc, $MN^{2}+NC^{2}=MC^{2}$

 

D'où, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $MNC$ est rectangle en $N.$

 

Par conséquent, le triangle $MNC$ est rectangle et isocèle en $N.$

 

4) a) Calculons les coordonnées du point $F$ tel que le quadrilatère $CNEF$ soit un rectangle.

 

Pour cela, déterminons d'abord les coordonnées $F$ pour que $CNEF$ soit un parallélogramme.

 

$CNEF$ un parallélogramme alors, $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{NC}$

 

Or, $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix} x_{F}-2\\y_{F}-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{F}-2\\y_{F}+3\end{pmatrix}\ $ et $\ \overrightarrow{NC}\begin{pmatrix} 4\\4\end{pmatrix}$

 

Donc,

 

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{NC}&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x_{F}-2&=&4\\ \\y_{F}+3&=&4\end{array}\right.\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x_{F}&=&4+2\\ \\y_{F}&=&4-3\end{array}\right.\\ \\&\Leftrightarrow&\left\lbrace\begin{array}{rcl} x_{F}&=&6\\ \\y_{F}&=&1\end{array}\right.\end{array}$

 

Ainsi, $x_{F}=6\ $ et $\ y_{F}=1$

 

D'où,

$$F\begin{pmatrix} 6\\1\end{pmatrix}$$

Par ailleurs, $MNC$ triangle rectangle isocèle en $N$ donc, $\overrightarrow{CN}\ $ et $\ \overrightarrow{MN}$ sont orthogonaux.

 

Or, les $M\;,\ N\ $ et $\ E$ sont alignés donc, $\overrightarrow{CN}\ $ et $\ \overrightarrow{NE}$ sont orthogonaux.

 

De plus,

 

$\begin{array}{rcl} NE&=&\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}\\ \\&=&\sqrt{4+4}\\ \\&=&\sqrt{8}\\ \\&=&2\sqrt{2}\end{array}$

 

Par suite, $NE<NC$

 

D'où, le quadrilatère $CNEF$ est un rectangle.

 

b) Calculons l'aire de ce rectangle.

 

Soit :

 

$\begin{array}{rcl} \mathcal{A}_{_{CNEF}}&=&NC\times NE\\ \\&=&(4\sqrt{2})\times(2\sqrt{2})\\ \\&=&4\times 2\times 2\\ \\&=&16\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}_{_{CNEF}}=16\;cm^{2}}$

Exercice 4