Corrigé BFEM Maths 2016
Exercice 1
1) Recopions et complétons :
a) Pour tout réel $x\;,\ \sqrt{x^{2}}=|x|$
b) Pour tous réels $x\ $ et $\ y$, si $|x|=|y|$ alors, $x=y\ $ ou $\ x=-y$
2) Soit $m\ $ et $\ n$ deux réels tels que : $$m=4-3\sqrt{2}\quad\text{et}\quad n=2+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$$
a) Montrons que le réel $m$ est négatif.
Pour cela, calculons $4^{2}\ $ et $\ (3\sqrt{2})^{2}$
On a : $4^{2}=16\ $ et $\ (3\sqrt{2})^{2}=18$
Comme 18 est supérieur à 16 et que 4 et $3\sqrt{2}$ sont tous des réels positifs alors, $3\sqrt{2}$ est supérieur à 4.
Donc, $4-3\sqrt{2}<0$ c'est-à-dire ; $m$ est négatif.
b) Montrons que $m^{2}=34-24\sqrt{2}$
On a :
$\begin{array}{rcl} m^{2}&=&(4-3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(4)^{2}-2\times 4\times(3\sqrt{2})+(3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&16-24\sqrt{2}+18\\\\&=&34-24\sqrt{2}\end{array}$
Ce qui montre alors que $\boxed{m^{2}=34-24\sqrt{2}}$
Calculons $n^{2}$
On a :
$\begin{array}{rcl} n^{2}&=&\left(2+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)^{2}\\ \\&=&(2)^{2}+2\times 2\times\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+\left(\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)^{2}\\ \\&=&4+6\sqrt{2}+\dfrac{9}{2}\\ \\&=&6\sqrt{2}+\dfrac{17}{2}\end{array}$
Donc, $\boxed{n^{2}=6\sqrt{2}+\dfrac{17}{2}}$
c) On donne $Z=\sqrt{34-24\sqrt{2}}$
Écrivons $Z$ sous la forme $a\sqrt{2}+b\ $ avec $a\ $ et $\ b$ deux entiers relatifs.
On a : $Z=\sqrt{34-24\sqrt{2}}\ $ or, $34-24\sqrt{2}=m^{2}$
donc, $Z=\sqrt{m^{2}}=|m|$
mais comme $m$ est négatif alors, $|m|=-m=-34+24\sqrt{2}$
ainsi, $\boxed{Z=-34+24\sqrt{2}}$
d) Justifions que $m^{2}+4n^{2}=68$
On a :
$\begin{array}{rcl} m^{2}+4n^{2}&=&34-24\sqrt{2}+4\left(6\sqrt{2}+\dfrac{17}{2}\right)\\ \\&=&34-24\sqrt{2}+24\sqrt{2}+34\\\\&=&34+34\\\\&=&68\end{array}$
Ce qui justifie donc que $\boxed{m^{2}+4n^{2}=68}$
Exercice 2
1) Une série statistique à caractère quantitatif continu, groupée en classes d'amplitude 10 compte 5 classes de centres respectifs $C_{1}\;,\ C_{2}\;,\ C_{3}\;,\ C_{4}\ $ et $\ C_{5}$ et d'effectifs respectifs $n_{1}\;,\ n_{2}\;,\ n_{3}\;,\ n_{4}\ $ et $\ n_{5}$
Donnons l'expression de sa moyenne $M.$
On a : $$M=\dfrac{n_{1}\times C_{1}+n_{2}\times C_{2}+n_{3}\times C_{3}+n_{4}\times C_{4}+n_{5}\times C_{5}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}}$$
2) Lors d'un recrutement au service militaire, les tailles de 100 candidats ont été répertoriées dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Taille (en cm)}&[135\;;\ 145[&[145\;;\ 155[&[155\;;\ 165[&[165\;;\ 175[&[175\;;\ 185[\\ \hline\text{Fréquence}&0.12&a&0.28&0.32&b \\ \hline\text{E.C.C}& & & & & \\ \hline\end{array}$$
a) Sachant que la moyenne de cette série est de $161\;cm$, calculons $a\ $ et $\ b$
Soi $N$ l'effectif total alors on a : $$N=n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}$$
donc,
$\begin{array}{rcl} M&=&\dfrac{n_{1}\times C_{1}+n_{2}\times C_{2}+n_{3}\times C_{3}+n_{4}\times C_{4}+n_{5}\times C_{5}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}}\\ \\&=&\dfrac{n_{1}}{N}C_{1}+\dfrac{n_{2}}{N}C_{2}+\dfrac{n_{3}}{N}C_{3}+\dfrac{n_{4}}{N}C_{4}+\dfrac{n_{5}}{N}C_{5}\\ \\&=&f_{1}C_{1}+f_{2}C_{2}+f_{3}C_{3}+f_{4}C_{4}+f_{5}C_{5}\end{array}$
ainsi, $161=0.12\times C_{1}+a\times C_{2}+0.28\times C_{3}+0.32\times C_{4}+b\times C_{5}$
Calculons les centres $C_{1}\;,\ C_{2}\;,\ C_{3}\;,\ C_{4}\ $ et $\ C_{5}$
On a : $C_{1}=140\;,\ C_{2}=150\;,\ C_{3}=160\;,\ C_{4}=170\ $ et $\ C_{5}=180$
Par conséquent, $$0.12\times 140+a\times 150+0.28\times 160+0.32\times 170+b\times 180=161\quad\text{équation (1)}$$
Aussi, on sait que la somme des fréquences est égale à 1.
Donc, $$0.12+a+0.28+0.32+b=1\quad\text{équation (2)}$$
Considérons alors le système suivant : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 0.12\times 140+a\times 150+0.28\times 160+0.32\times 170+b\times 180&=&161\\ 0.12+a+0.28+0.32+b&=&1\end{array}\right.$$ qui devient $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 116+150a+180b&=&161\quad(1)\\ 0.72+a+b&=&1\qquad(2)\end{array}\right.$$
En résolvant ce système, on déterminera $a\ $ et $\ b.$
Dans (2) on a : $a=1-0.72-b=0.28-b$
en remplaçant cette valeur de $a$ dans (1) on aura : $$116+150(0.28-b)+180b=161$$
donc, $116+42-150b+180b=161$
par suite, $30b=3$ d'où, $b=\dfrac{3}{30}=0.1$
ainsi, $\boxed{b=0.1}$
Or, $a=0.28-b$ donc, en remplaçant cette valeur de $b$ dans (1) on obtient : $a=0.28-0.1$
ce qui donne : $\boxed{a=0.18}$
b) Pour la suite, on prendra $a=0.18\ $ et $\ b=0.10$
b)1) Recopions et complétons le tableau
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Taille (en cm)}&[135\;;\ 145[&[145\;;\ 155[&[155\;;\ 165[&[165\;;\ 175[&[175\;;\ 185[\\ \hline\text{Fréquence}&0.12&0.18&0.28&0.32&0.10 \\ \hline\text{E.C.C}&12&30&58&90&100 \\ \hline\end{array}$$
b)2) Déterminons le nombre de candidats qui ont une taille au moins égale à $165\;cm$
D'après le tableau on constate que 58 candidats ont une taille inférieure à $165\;cm.$
Ce qui signifierait que 42 candidats ont une taille au moins égale à $165\;cm.$
b)3) Déterminons graphiquement la classe médiane de la série.
Pour cela, construisons d'abord le diagramme des effectifs cumulées croissants.
$$\text{Diagramme des effectifs cumulés croissants}$$
On sait que la moitié de l'effectif total est $\dfrac{100}{2}=50.$
Donc, d'après diagramme des effectifs cumulées croissants, l'abscisse $m$ du point d'ordonnée 50 appartient à la classe $[155\;;\ 165[.$
Or, cette abscisse $m$ constitue la médiane de la série.
Par conséquent, la classe médiane est la classe $[155\;;\ 165[.$
Exercice 3
Dans un repère orthonormal $(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J})$ on donne les droites $$(\mathcal{D})\ :\ y=2x+4\quad\text{et}\quad (\mathcal{D}')\ :\ x+2y-3=0$$
1) Démontrons que $(\mathcal{D})$ passe le point $B(-5\;;\ -6)\ $ et que $(\mathcal{D}')$ passe $E(5\;;\ -1).$
On a : $(\mathcal{D})$ passe le point $B(-5\;;\ -6)$ si, et seulement si, les coordonnées du point $B$ vérifient l'équation de la droite $(\mathcal{D}).$
Faisons donc cette vérification.
On a :
$\begin{array}{rcl} 2\times(x_{B})+4&=&-10+4\\\\&=&-6\\\\&=&y_{B}\end{array}$
Ce qui prouve que les coordonnée de $B$ vérifient l'équation de $(\mathcal{D}).$
Par conséquent, $(\mathcal{D})$ passe par le point $B(-5\;;\ -6).$
De la même manière, pour montrer que $(\mathcal{D}')$ passe par $E(5\;;\ -1)$ on procède par vérification.
Ainsi, on a :
$\begin{array}{rcl} x_{E}+2y_{E}-3&=&5+2\times(-1)-3\\\\&=&5-2-3\\\\&=&0\end{array}$
Et donc, les coordonnée de $E$ vérifient bien l'équation de $(\mathcal{D}').$
Par conséquent, $(\mathcal{D}')$ passe par $E(5\;;\ -1).$
2) Démontrons que $(\mathcal{D})\ $ et $\ (\mathcal{D}')$ sont perpendiculaires en un point $A$ dont on donnera les coordonnées.
Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$ le vecteur directeur de $(\mathcal{D})$ et $\vec{u}'\begin{pmatrix} -2\\1\end{pmatrix}$ celui de $(\mathcal{D}').$
On a : $(\mathcal{D})\ $ et $\ (\mathcal{D}')$ perpendiculaires si, et seulement si, $$\vec{u}.\vec{u}'=0$$
Soit donc,
$\begin{array}{rcl} \vec{u}.\vec{u}'&=&1\times(-2)+2\times 1\\\\&=&2-2\\\\&=&0\end{array}$
Cela montre alors que $(\mathcal{D})\ $ et $\ (\mathcal{D}')$ sont perpendiculaires.
Pour trouver les coordonnées de leur point d'intersection, nous résolvons le système suivants formé des équations des deux droites : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} y&=&2x+4\qquad(1)\\ x+2y-3&=&0\qquad\qquad\ (2)\end{array}\right.$$
En remplaçant l'expression de $y$ dans (2) on obtient : $x+2\times(2x+4)-3=0$
soit alors, $5x+8-3=0$ ou encore, $5x=-5$
ce qui donne donc, $x=\dfrac{-5}{5}=-1$
Remplaçons cette valeur de $x$ dans (1) pour déterminer $y.$
On aura alors : $y=2\times(-1)+4=-2+4=2$
D'où, $\boxed{A\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}}$
3) Calculons les distances $AB\ $ et $\ AE$
On a :
$\begin{array}{rcl} AB&=&\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(-5-(-1))^{2}+(-6-2)^{2}}\\\\&=&\sqrt{(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\\\&=&\sqrt{16+64}\\\\&=&\sqrt{80}\\\\&=&4\sqrt{5}\end{array}$
Donc, $\boxed{AB=4\sqrt{5}}$
De même on a :
$\begin{array}{rcl} AE&=&\sqrt{(x_{E}-x_{A})^{2}+(y_{E}-y_{A})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(5-(-1))^{2}+(-1-2)^{2}}\\\\&=&\sqrt{(6)^{2}+(-3)^{2}}\\\\&=&\sqrt{36+9}\\\\&=&\sqrt{45}\\\\&=&3\sqrt{5}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{AE=3\sqrt{5}}$
4) Traçons $(\mathcal{D})\ $ et $\ (\mathcal{D}')$ dans le repère $(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}).$
Le point $A$ étant le point de rencontre des deux droites alors, $(\mathcal{D})\ $ et $\ (\mathcal{D}')$ passent donc par ce point.
Ainsi, la droite passant par les points $B\ $ et $\ A$ représentera la droite $(\mathcal{D})$ et celle passant par les points $E\ $ et $\ A$ va représenter la droite $(\mathcal{D}').$
5) Démontrons que $ABE$ est un triangle rectangle en $A$ puis calculons $\tan\widehat{ABE}.$
On sait que $A\;,\ B\in(\mathcal{D})\ $ et $\ A\;,\ E\in(\mathcal{D}')$ et que $(\mathcal{D})\ $ et $\ (\mathcal{D}')$ sont perpendiculaires en $A.$
Donc, $\overrightarrow{AB}\ $ et $\ \overrightarrow{AE}$ sont orthogonaux.
Par conséquent, $ABE$ est un triangle rectangle en $A.$
On a :
$\begin{array}{rcl} \tan\widehat{ABE}&=&\dfrac{\text{coté opposé à l'angle } \widehat{B}}{\text{coté adjacent à l'angle } \widehat{B}}\\ \\&=&\dfrac{AE}{AB}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{3}{4}\end{array}$
Ainsi, $\boxed{\tan\widehat{ABE}=\dfrac{3}{4}}$
Exercice 4
Soit $\mathcal{C}(O\;;\ 3\;cm)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $3\;cm.$
Plaçons deux points $A\ $ et $\ B$ sur $(\mathcal{C})$ tels que $AB=4\;cm.$
Sur la corde $[AB]$, plaçons un point $C$ tel que $BC=2\;cm.$
Le cercle $(\mathcal{C}')$ circonscrit au triangle $AOB$ recoupe la droite $(OC)$ en $M.$
1) Faisons une figure
2) Démontrons que $\widehat{OMB}=\widehat{OAB}$
On a : $\widehat{OMB}\ $ et $\ \widehat{OAB}$ sont deux angles inscrits au cercle $(\mathcal{C}')$ et interceptant le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{OB}$ donc, ils sont égaux.
D'où, $\boxed{\widehat{OMB}=\widehat{OAB}}$
3) Démontrons que $\widehat{AMC}=\widehat{OBA}$
$M\;,\ C\ $ et $\ O$ étant trois points alignés alors, les angles $\widehat{AMC}\ $ et $\ \widehat{AMO}$ sont confondus donc, $\widehat{AMC}=\widehat{AMO}$
Or, $\widehat{AMO}\ $ et $\ \widehat{OBA}$ sont deux angles inscrits au cercle $(\mathcal{C}')$ et interceptant le même arc $\overset{\displaystyle\frown}{OA}$ donc, ils sont égaux.
Ainsi, $\widehat{AMO}=\widehat{OBA}$
Par conséquent, $\boxed{\widehat{AMC}=\widehat{OBA}}$
4) Démontrons que la droite $(OM)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{AMB}$
$[AB]$ étant une corde de $(\mathcal{C})$ ne contenant pas le point $O$ centre du cercle alors, $OAB$ est un triangle isocèle en $O.$
Par conséquent, $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}.$
Or, d'après les questions 2) et 3) on avait : $$\widehat{OMB}=\widehat{OAB}\quad\text{et}\quad\widehat{AMO}=\widehat{OBA}$$
On en déduit donc que : $\widehat{OMB}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\widehat{AMO}$
d'où : $\widehat{OMB}=\widehat{AMO}$
Ce qui montre que la droite $(OM)$ est la bissectrice de l'angle $\widehat{AMB}.$
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Abibatou diaw (non vérifié)
lun, 07/12/2021 - 12:18
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Pdf
Ablay sall Boss (non vérifié)
ven, 07/23/2021 - 18:13
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J'aime beaucoup mathématiques
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