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Corrigé BFEM Maths 2016

Exercice 1

1) Recopions et complétons :

a) Pour tout réel

$x\;,\ \sqrt{x^{2}}=|x|$

b) Pour tous réels

$x\$ et

$\ y$ , si

$|x|=|y|$ alors,

$x=y\$ ou

$\ x=-y$

2) Soit

$m\$ et

$\ n$ deux réels tels que :

$m=4-3\sqrt{2}\quad\text{et}\quad n=2+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}$

a) Montrons que le réel

$m$ est négatif.

Pour cela, calculons

$4^{2}\$ et

$\ (3\sqrt{2})^{2}$

On a :

$4^{2}=16\$ et

$\ (3\sqrt{2})^{2}=18$

Comme 18 est supérieur à 16 et que 4 et

$3\sqrt{2}$ sont tous des réels positifs alors,

$3\sqrt{2}$ est supérieur à 4.

Donc,

$4-3\sqrt{2}<0$ c'est-à-dire ;

$m$ est négatif.

b) Montrons que

$m^{2}=34-24\sqrt{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} m^{2}&=&(4-3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(4)^{2}-2\times 4\times(3\sqrt{2})+(3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&16-24\sqrt{2}+18\\\\&=&34-24\sqrt{2}\end{array}$

Ce qui montre alors que

$\boxed{m^{2}=34-24\sqrt{2}}$

Calculons

$n^{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} n^{2}&=&\left(2+\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)^{2}\\ \\&=&(2)^{2}+2\times 2\times\dfrac{3}{2}\sqrt{2}+\left(\dfrac{3}{2}\sqrt{2}\right)^{2}\\ \\&=&4+6\sqrt{2}+\dfrac{9}{2}\\ \\&=&6\sqrt{2}+\dfrac{17}{2}\end{array}$

Donc,

$\boxed{n^{2}=6\sqrt{2}+\dfrac{17}{2}}$

c) On donne

$Z=\sqrt{34-24\sqrt{2}}$

Écrivons

$Z$ sous la forme

$a\sqrt{2}+b\$ avec

$a\$ et

$\ b$ deux entiers relatifs.

On a :

$Z=\sqrt{34-24\sqrt{2}}\$ or,

$34-24\sqrt{2}=m^{2}$

donc,

$Z=\sqrt{m^{2}}=|m|$

mais comme

$m$ est négatif alors,

$|m|=-m=-34+24\sqrt{2}$

ainsi,

$\boxed{Z=-34+24\sqrt{2}}$

d) Justifions que

$m^{2}+4n^{2}=68$

On a :

$\begin{array}{rcl} m^{2}+4n^{2}&=&34-24\sqrt{2}+4\left(6\sqrt{2}+\dfrac{17}{2}\right)\\ \\&=&34-24\sqrt{2}+24\sqrt{2}+34\\\\&=&34+34\\\\&=&68\end{array}$

Ce qui justifie donc que

$\boxed{m^{2}+4n^{2}=68}$

Exercice 2

1) Une série statistique à caractère quantitatif continu, groupée en classes d'amplitude 10 compte 5 classes de centres respectifs

$C_{1}\;,\ C_{2}\;,\ C_{3}\;,\ C_{4}\$ et

$\ C_{5}$ et d'effectifs respectifs

$n_{1}\;,\ n_{2}\;,\ n_{3}\;,\ n_{4}\$ et

$\ n_{5}$

Donnons l'expression de sa moyenne

$M.$

On a :

$M=\dfrac{n_{1}\times C_{1}+n_{2}\times C_{2}+n_{3}\times C_{3}+n_{4}\times C_{4}+n_{5}\times C_{5}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}}$

2) Lors d'un recrutement au service militaire, les tailles de 100 candidats ont été répertoriées dans le tableau ci-dessous.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Taille (en cm)}&[135\;;\ 145[&[145\;;\ 155[&[155\;;\ 165[&[165\;;\ 175[&[175\;;\ 185[\\ \hline\text{Fréquence}&0.12&a&0.28&0.32&b \\ \hline\text{E.C.C}& & & & & \\ \hline\end{array}$

a) Sachant que la moyenne de cette série est de

$161\;cm$ , calculons

$a\$ et

$\ b$

Soi

$N$ l'effectif total alors on a :

$N=n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}$

donc,

$\begin{array}{rcl} M&=&\dfrac{n_{1}\times C_{1}+n_{2}\times C_{2}+n_{3}\times C_{3}+n_{4}\times C_{4}+n_{5}\times C_{5}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+n_{4}+n_{5}}\\ \\&=&\dfrac{n_{1}}{N}C_{1}+\dfrac{n_{2}}{N}C_{2}+\dfrac{n_{3}}{N}C_{3}+\dfrac{n_{4}}{N}C_{4}+\dfrac{n_{5}}{N}C_{5}\\ \\&=&f_{1}C_{1}+f_{2}C_{2}+f_{3}C_{3}+f_{4}C_{4}+f_{5}C_{5}\end{array}$

ainsi,

$161=0.12\times C_{1}+a\times C_{2}+0.28\times C_{3}+0.32\times C_{4}+b\times C_{5}$

Calculons les centres

$C_{1}\;,\ C_{2}\;,\ C_{3}\;,\ C_{4}\$ et

$\ C_{5}$

On a :

$C_{1}=140\;,\ C_{2}=150\;,\ C_{3}=160\;,\ C_{4}=170\$ et

$\ C_{5}=180$

Par conséquent,

$0.12\times 140+a\times 150+0.28\times 160+0.32\times 170+b\times 180=161\quad\text{équation (1)}$

Aussi, on sait que la somme des fréquences est égale à 1.

Donc,

$0.12+a+0.28+0.32+b=1\quad\text{équation (2)}$

Considérons alors le système suivant :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 0.12\times 140+a\times 150+0.28\times 160+0.32\times 170+b\times 180&=&161\\ 0.12+a+0.28+0.32+b&=&1\end{array}\right.$ qui devient

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} 116+150a+180b&=&161\quad(1)\\ 0.72+a+b&=&1\qquad(2)\end{array}\right.$

En résolvant ce système, on déterminera

$a\$ et

$\ b.$

Dans (2) on a :

$a=1-0.72-b=0.28-b$

en remplaçant cette valeur de

$a$ dans (1) on aura :

$116+150(0.28-b)+180b=161$

donc,

$116+42-150b+180b=161$

par suite,

$30b=3$ d'où,

$b=\dfrac{3}{30}=0.1$

ainsi,

$\boxed{b=0.1}$

Or,

$a=0.28-b$ donc, en remplaçant cette valeur de

$b$ dans (1) on obtient :

$a=0.28-0.1$

ce qui donne :

$\boxed{a=0.18}$

b) Pour la suite, on prendra

$a=0.18\$ et

$\ b=0.10$

b)1) Recopions et complétons le tableau

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Taille (en cm)}&[135\;;\ 145[&[145\;;\ 155[&[155\;;\ 165[&[165\;;\ 175[&[175\;;\ 185[\\ \hline\text{Fréquence}&0.12&0.18&0.28&0.32&0.10 \\ \hline\text{E.C.C}&12&30&58&90&100 \\ \hline\end{array}$

b)2) Déterminons le nombre de candidats qui ont une taille au moins égale à

$165\;cm$

D'après le tableau on constate que 58 candidats ont une taille inférieure à

$165\;cm.$

Ce qui signifierait que 42 candidats ont une taille au moins égale à

$165\;cm.$

b)3) Déterminons graphiquement la classe médiane de la série.

Pour cela, construisons d'abord le diagramme des effectifs cumulées croissants.

$\text{Diagramme des effectifs cumulés croissants}$

On sait que la moitié de l'effectif total est

$\dfrac{100}{2}=50.$

Donc, d'après diagramme des effectifs cumulées croissants, l'abscisse

$m$ du point d'ordonnée 50 appartient à la classe

$[155\;;\ 165[.$

Or, cette abscisse

$m$ constitue la médiane de la série.

Par conséquent, la classe médiane est la classe

$[155\;;\ 165[.$

Exercice 3

Dans un repère orthonormal

$(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J})$ on donne les droites

$(\mathcal{D})\ :\ y=2x+4\quad\text{et}\quad (\mathcal{D}')\ :\ x+2y-3=0$

1) Démontrons que

$(\mathcal{D})$ passe le point

$B(-5\;;\ -6)\$ et que

$(\mathcal{D}')$ passe

$E(5\;;\ -1).$

On a :

$(\mathcal{D})$ passe le point

$B(-5\;;\ -6)$ si, et seulement si, les coordonnées du point

$B$ vérifient l'équation de la droite

$(\mathcal{D}).$

Faisons donc cette vérification.

On a :

$\begin{array}{rcl} 2\times(x_{B})+4&=&-10+4\\\\&=&-6\\\\&=&y_{B}\end{array}$

Ce qui prouve que les coordonnée de

$B$ vérifient l'équation de

$(\mathcal{D}).$

Par conséquent,

$(\mathcal{D})$ passe par le point

$B(-5\;;\ -6).$

De la même manière, pour montrer que

$(\mathcal{D}')$ passe par

$E(5\;;\ -1)$ on procède par vérification.

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} x_{E}+2y_{E}-3&=&5+2\times(-1)-3\\\\&=&5-2-3\\\\&=&0\end{array}$

Et donc, les coordonnée de

$E$ vérifient bien l'équation de

$(\mathcal{D}').$

Par conséquent,

$(\mathcal{D}')$ passe par

$E(5\;;\ -1).$

2) Démontrons que

$(\mathcal{D})\$ et

$\ (\mathcal{D}')$ sont perpendiculaires en un point

$A$ dont on donnera les coordonnées.

Soit

$\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\2\end{pmatrix}$ le vecteur directeur de

$(\mathcal{D})$ et

$\vec{u}'\begin{pmatrix} -2\\1\end{pmatrix}$ celui de

$(\mathcal{D}').$

On a :

$(\mathcal{D})\$ et

$\ (\mathcal{D}')$ perpendiculaires si, et seulement si,

$\vec{u}.\vec{u}'=0$

Soit donc,

$\begin{array}{rcl} \vec{u}.\vec{u}'&=&1\times(-2)+2\times 1\\\\&=&2-2\\\\&=&0\end{array}$

Cela montre alors que

$(\mathcal{D})\$ et

$\ (\mathcal{D}')$ sont perpendiculaires.

Pour trouver les coordonnées de leur point d'intersection, nous résolvons le système suivants formé des équations des deux droites :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} y&=&2x+4\qquad(1)\\ x+2y-3&=&0\qquad\qquad\ (2)\end{array}\right.$

En remplaçant l'expression de

$y$ dans (2) on obtient :

$x+2\times(2x+4)-3=0$

soit alors,

$5x+8-3=0$ ou encore,

$5x=-5$

ce qui donne donc,

$x=\dfrac{-5}{5}=-1$

Remplaçons cette valeur de

$x$ dans (1) pour déterminer

$y.$

On aura alors :

$y=2\times(-1)+4=-2+4=2$

D'où,

$\boxed{A\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}}$

3) Calculons les distances

$AB\$ et

$\ AE$

On a :

$\begin{array}{rcl} AB&=&\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(-5-(-1))^{2}+(-6-2)^{2}}\\\\&=&\sqrt{(-4)^{2}+(-8)^{2}}\\\\&=&\sqrt{16+64}\\\\&=&\sqrt{80}\\\\&=&4\sqrt{5}\end{array}$

Donc,

$\boxed{AB=4\sqrt{5}}$

De même on a :

$\begin{array}{rcl} AE&=&\sqrt{(x_{E}-x_{A})^{2}+(y_{E}-y_{A})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(5-(-1))^{2}+(-1-2)^{2}}\\\\&=&\sqrt{(6)^{2}+(-3)^{2}}\\\\&=&\sqrt{36+9}\\\\&=&\sqrt{45}\\\\&=&3\sqrt{5}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{AE=3\sqrt{5}}$

4) Traçons

$(\mathcal{D})\$ et

$\ (\mathcal{D}')$ dans le repère

$(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}).$

Le point

$A$ étant le point de rencontre des deux droites alors,

$(\mathcal{D})\$ et

$\ (\mathcal{D}')$ passent donc par ce point.

Ainsi, la droite passant par les points

$B\$ et

$\ A$ représentera la droite

$(\mathcal{D})$ et celle passant par les points

$E\$ et

$\ A$ va représenter la droite

$(\mathcal{D}').$

5) Démontrons que

$ABE$ est un triangle rectangle en

$A$ puis calculons

$\tan\widehat{ABE}.$

On sait que

$A\;,\ B\in(\mathcal{D})\$ et

$\ A\;,\ E\in(\mathcal{D}')$ et que

$(\mathcal{D})\$ et

$\ (\mathcal{D}')$ sont perpendiculaires en

$A.$

Donc,

$\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \overrightarrow{AE}$ sont orthogonaux.

Par conséquent,

$ABE$ est un triangle rectangle en

$A.$

On a :

$\begin{array}{rcl} \tan\widehat{ABE}&=&\dfrac{\text{coté opposé à l'angle } \widehat{B}}{\text{coté adjacent à l'angle } \widehat{B}}\\ \\&=&\dfrac{AE}{AB}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}\\\\&=&\dfrac{3}{4}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\tan\widehat{ABE}=\dfrac{3}{4}}$

Exercice 4

Soit

$\mathcal{C}(O\;;\ 3\;cm)$ le cercle de centre

$O$ et de rayon

$3\;cm.$

Plaçons deux points

$A\$ et

$\ B$ sur

$(\mathcal{C})$ tels que

$AB=4\;cm.$

Sur la corde

$[AB]$ , plaçons un point

$C$ tel que

$BC=2\;cm.$

Le cercle

$(\mathcal{C}')$ circonscrit au triangle

$AOB$ recoupe la droite

$(OC)$ en

$M.$

1) Faisons une figure

2) Démontrons que

$\widehat{OMB}=\widehat{OAB}$

On a :

$\widehat{OMB}\$ et

$\ \widehat{OAB}$ sont deux angles inscrits au cercle

$(\mathcal{C}')$ et interceptant le même arc

$\overset{\displaystyle\frown}{OB}$ donc, ils sont égaux.

D'où,

$\boxed{\widehat{OMB}=\widehat{OAB}}$

3) Démontrons que

$\widehat{AMC}=\widehat{OBA}$

$M\;,\ C\$ et

$\ O$ étant trois points alignés alors, les angles

$\widehat{AMC}\$ et

$\ \widehat{AMO}$ sont confondus donc,

$\widehat{AMC}=\widehat{AMO}$

Or,

$\widehat{AMO}\$ et

$\ \widehat{OBA}$ sont deux angles inscrits au cercle

$(\mathcal{C}')$ et interceptant le même arc

$\overset{\displaystyle\frown}{OA}$ donc, ils sont égaux.

Ainsi,

$\widehat{AMO}=\widehat{OBA}$

Par conséquent,

$\boxed{\widehat{AMC}=\widehat{OBA}}$

4) Démontrons que la droite

$(OM)$ est la bissectrice de l'angle

$\widehat{AMB}$

$[AB]$ étant une corde de

$(\mathcal{C})$ ne contenant pas le point

$O$ centre du cercle alors,

$OAB$ est un triangle isocèle en

$O.$

Par conséquent,

$\widehat{OAB}=\widehat{OBA}.$

Or, d'après les questions 2) et 3) on avait :

$\widehat{OMB}=\widehat{OAB}\quad\text{et}\quad\widehat{AMO}=\widehat{OBA}$

On en déduit donc que :

$\widehat{OMB}=\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=\widehat{AMO}$

d'où :

$\widehat{OMB}=\widehat{AMO}$

Ce qui montre que la droite

$(OM)$ est la bissectrice de l'angle

$\widehat{AMB}.$

Auteur:

Diny Faye

Commentaires

Abibatou diaw (non vérifié)

lun, 07/12/2021 - 12:18

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Je fais la classe de troisième et je veux traiter ces exercices de maths

répondre

Ablay sall Boss (non vérifié)

ven, 07/23/2021 - 18:13

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J'aime beaucoup mathématiques

répondre

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