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Corrigé BFEM Maths 2021

Exercice 1

1) On considère les réels suivants :

$A=(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})^{2}$

$B=3\sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\sqrt{108}-\sqrt{8}\times\sqrt{2}$

$a=-3\sqrt{3}+4$

$b=-2-\sqrt{5}$

$c=2+\sqrt{5}$

$d=3\sqrt{3}-4$

Parmi les réels

$a\;,\ b\;,\ c\$ et

$\ d$ indiquons celui qui est égal à

$A$ et celui qui est égal à

$B.$

Pour cela, nous calculons d'abord les réels

$A\$ et

$\ B.$

En effet, le réel

$A$ peut encore s'écrire :

$A=(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})^{2}=(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})$

Alors, en utilisant la forme développée des identités remarquables, on trouve :

$\begin{array}{rcl} A&=&(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})(2+\sqrt{5})\\\\&=&(2^{2}-(\sqrt{5})^{2})(2+\sqrt{5})\\\\&=&(4-5)(2+\sqrt{5})\\\\&=&(-1)(2+\sqrt{5})\\\\&=&-2-\sqrt{5}\end{array}$

D'où,

$\boxed{A=-2-\sqrt{5}}$

Par conséquent,

$\boxed{b=A}$

Soit

$B=3\sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\sqrt{108}-\sqrt{8}\times\sqrt{2}$

Alors, en mettant les termes

$\sqrt{12}\$ et

$\ \sqrt{108}$ sous une forme plus simple, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{12}&=&\sqrt{4\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{108}&=&\sqrt{36\times 3}\\\\&=&\sqrt{36}\times\sqrt{3}\\\\&=&6\sqrt{3}\end{array}$

Remplaçons ensuite

$\sqrt{12}\$ et

$\ \sqrt{108}$ par leur écriture simplifiée puis, calculons.

On obtient :

$\begin{array}{rcl} B&=&3\sqrt{12}-\dfrac{1}{2}\sqrt{108}-\sqrt{8}\times\sqrt{2}\\\\&=&3\times 2\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}\times 6\sqrt{3}-\sqrt{8\times 2}\\\\&=&6\sqrt{3}-\dfrac{6}{2}\sqrt{3}-\sqrt{16}\\\\&=&6\sqrt{3}-3\sqrt{3}-4\\\\&=&3\sqrt{3}-4\end{array}$

Donc,

$\boxed{B=3\sqrt{3}-4}$

Par conséquent,

$\boxed{d=B}$

2) On donne :

$x=\dfrac{-1}{3-2\sqrt{2}}$

$y=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

$z=\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

a) Montrons que

$x=-3-2\sqrt{2}.$

Soit

$x=\dfrac{-1}{3-2\sqrt{2}}$ alors, en rendant rationnel le dénominateur de

$x$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} x&=&\dfrac{-1}{3-2\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{-1(3+2\sqrt{2})}{(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{9-(4\times 2)}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{9-8}\\\\&=&\dfrac{-3-2\sqrt{2}}{1}\\\\&=&-3-2\sqrt{2}\end{array}$

D'où,

$\boxed{x=-3-2\sqrt{2}}$

b) Donnons un encadrement de

$x$ à

$10^{-1}$ près sachant que

$1.414<\sqrt{2}<1.415.$

On a :

$1.414<\sqrt{2}<1.415$

Alors, en multipliant chaque membre par

$-2$ tout en changeant le sens des inégalités, on obtient :

$-2\times 1.414>-2\sqrt{2}>-2\times 1.415$

En calculant, on trouve :

$-2.828>-2\sqrt{2}>-2.830$

En ajoutant

$-3$ à chaque membre de l'inégalité, on obtient :

$-3-2.828>-3-2\sqrt{2}>-3-2.830$

Ce qui donne alors :

$-5.828>-3-2\sqrt{2}>-5.830$

On peut donc écrire :

$-5.830<x<-5.828$

Ainsi, un encadrement de

$x\$ à

$\ 10^{-1}$ prés est donné par :

$\boxed{-5.9<x<-5.8}$

c) Calculons

$y^{2}\$ et

$\ z^{2}.$

Soit

$y=\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ alors, en élevant au carré, on trouve :

$\begin{array}{rcl} y^{2}&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}-2\times\sqrt{\dfrac{1}{2}}\times\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}-2\times\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\dfrac{3}{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}-2\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\\\&=&\dfrac{4}{2}-2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&2-\sqrt{3}\end{array}$

D'où,

$\boxed{y^{2}=2-\sqrt{3}}$

Soit

$z=\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ alors,

$z^{2}$ est donné par :

$\begin{array}{rcl} z^{2}&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}+2\times\sqrt{\dfrac{1}{2}}\times\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+2\times\sqrt{\dfrac{3}{4}}+\dfrac{3}{2}\\\\&=&\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\\\\&=&\dfrac{4}{2}+2\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\&=&2+\sqrt{3}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{z^{2}=2+\sqrt{3}}$

d) Déduisons de la question précédente que

$\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{6}.$

D'après le résultat de la question précédente, on a :

$y^{2}=2-\sqrt{3}\$ et

$\ z^{2}=2+\sqrt{3}.$

Donc, dans l'expression

$\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$ , en remplaçant

$2-\sqrt{3}$ par

$y^{2}\$ et

$\ 2+\sqrt{3}$ par

$z^{2}$ , on trouve :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}&=&\sqrt{y^{2}}+\sqrt{z^{2}}\\\\&=&|y|+|z|\\\\&=&\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|\end{array}$

Calculons alors :

$\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|$

On a :

$\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)>0$

Donc,

$\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|=\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Calcul de :

$\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|$

On a :

$\sqrt{\dfrac{1}{2}}>0\$ et

$\ \sqrt{\dfrac{3}{2}}>0$

Par suite,

$\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}\$ et

$\ \left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)^{2}=\dfrac{3}{2}$

Comme

$\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}$ alors,

$\sqrt{\dfrac{1}{2}}<\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Donc,

$\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}<0$

Ainsi,

$\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|=-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl}\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|+\left|\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right|&=&-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&=&-\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&=&2\sqrt{\dfrac{3}{2}}\\\\&=&2\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\&=&2\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{6}}{2}\\\\&=&\sqrt{6}\end{array}$

D'où,