Bac Maths S2 2e groupe 2017

Les questions 1) et 2) sont indépendantes

 

1) Le plan $(\mathcal{P})$ est muni d'un repère orthonormal direct $(O\;;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$

 

On désigne par $A$ et $B$ les points d'affixes $z_{A}=-2$ et $z_{B}=-1+\mathrm{i}.$

 

A tout point $M$, d'affixe différente de 2, on associe le point $M'$ d'affixe $$z'=\dfrac{\mathrm{i}z+\mathrm{i}+1}{z+2}$$

 

Déterminer puis tracer l'ensemble $E$ des points $M$ tels que $|z'|=1.$

 

2) Soit le polynôme $P$ défini par $P(z)=z^{3}+(-2+\mathrm{i})z^{2}+z-2+\mathrm{i}.$

 

a) Vérifier que $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$ sont racines de $P.$

 

b) Factoriser $P(z)$ en polynômes du premier degré.

On considère la suite $(U_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $$U_{n}=\ln\dfrac{2n+1}{2n-1}$$

 

1) Calculer $U_{1}\;,\ U_{2}\;,\ U_{3}$ et $U_{4}.$

 

2) Calculer $U_{1}+U_{2}+U_{3}+U_{4}.$

 

3) Étudier la convergence de la suite $(U_{n}).$

 

4) Soit $S_{n}=U_{1}+U_{2}+\cdots+U_{n}.$

 

a) Montrer que $S_{n}=\ln(2n+1).$

 

b) Calculer la limite de $S_{n}$ en $+\infty.$

1) Résoudre l'équation différentielle $(E)\ :\ y'-2y=0.$

 

2) a) Trouver la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=\dfrac{1}{2}$

 

b) Déterminer le réel $a$ tel que $$\int_{0}^{a}f(x)\mathrm{d}x=2$$

1) Résoudre dans $\mathbb{R}^{3}$ le système suivant : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y+z &=& 16\\ x-y+z &=& 6\\ x-4y+19z &=& 153 \end{array}\right.$

 

2) Considérons la série $(X_{i}\;,\ Y_{i})$ suivante : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&a&4&b&8&c&12 \\ \hline y_{i}&-3&a&4&-b&7&c \\ \hline\end{array}$$

 

a) Exprimer $\bar{X}\;,\ \bar{Y}$ et $\tfrac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}x_{i}y_{i}$ en fonction des réels $a\;,\ b$ et $c.$

 

b) Déterminer $a\;,\ b$ et $c$ sachant que $\bar{X}=\dfrac{40}{6}\;,\ \bar{Y}=\dfrac{14}{6}$ et $cov(X\;,\ Y)=\dfrac{179}{18}$