Série d'exercice sur les primitives et l'étude de fonctions 1e S

Classe: 
Première

Exercice

Déterminer les primitives de la fonction f puis celle qui s'annule en (+2)

préciser l'intervalle de définition

1) f(x)=(x1)(x2);2) f(x)=4x42x2+5x

3) f(x)=x+1x2;4) f(x)=(x+1)3

5) f(x)=1(x+1)3;6) f(x)=x+1x

7) f(x)=1x+1;8) f(x)=(2x1)(x2x)2

9) f(x)=2x+1(x2+x+1)2;10) f(x)=3xx2+1

11) f(x)=x4+x2+1x2;12) f(x)=3sinπx2

13) f(x)=sin2x;14) f(x)=sin3x+cos(2x+3)

15) f(x)=cosxsin2x;16) f(x)=sin2xcosx

Exercice 1

Recherche d'asymptotes

Dans chacun des cas suivants :

Montrer que la droite D dont l'équation est donnée est asymptote à la courbe C de la
fonction f en et en +

Étudier la positon relative de la courbe C et de la droite D.

1) f(x)=3x+1x1D : y=3

2) f(x)=2x1+1x2D : y=2x1

3) f(x)=x2+2x+1D : x+1

4) f(x)=x3x2+1D : y=x

5) f(x)=x+3x24xD : y=0

6) f(x)=x2x+3D : y=x12

Exercice 2

Recherche d'asymptotes

Montrer que la courbe représentant le graphe de chacune des fonctions f suivantes admet une asymptote non parallèle aux axes de coordonnées.

(il est recommandé d'étudier d'abord l'ensemble de définition de chaque fonction).

1) f(x)=x2+x+1x+1;2) f(x)=x23x+3x

3) f(x)=2x2+3x5x+1;4) f(x)=6x2+5x62x+3

5) f(x)=x2+|x|+1|x|+2;6) f(x)=|2x23xx2|

7) f(x)=xxx1;8) f(x)=x2x2+1;9) f(x)=x+x21

Exercice 3

Dans chacun des cas suivants :

Montrer que la droite D dont l'équation est donnée est asymptote à la courbe C de la Fonction f en et en +.

Étudier la position relative de la courbe C et de la droite D.

1) f(x)=3x+1x1D : y=3

2 f(x)=2x1+1x2D : y=2x1

3) f(x)=x2+2x+1D : y=x+1

4) f(x)=x3x2+1D : y=x

5) f(x)=x+3x24xD : y=0

6) f(x)=x2x+3D : y=x12

Étude de fonction

Exercice 1

a) Déterminer la fonction polynôme du second degré f telle que

f(0)=4; f(0)=3; f(1)=3

b) Étudier cette fonction.

Exercice 2

Soit la fonction :
{f(x)=x21six<1f(x)=x2x+2six1

1) Démontrer que f est continue en 1

2) Calculer les limites aux bornes (Faites l'étude des branches infinies).

3) Étudier la dérivabilité de f en 1.

4) Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente à droite à la courbe (Cf) au point d'abscisse 1.

5) Calculer la dérivée f(x) de la fonction f sur ]; 1[ et sur ]1; +[
 
6) Étudier le sens de variation de f sur ]; 1[ et sur (1; +[ puis dresser le tableau de variation.

7) Tracer (Cf)

Exercice 3

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x1+2xx2+1

on désigne par (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O, i, j)

1) Étudier la fonction f (limites, dérivée, sens de variation et tableau)

2) Montrer que (D) : y=x1 est une asymptote à la courbe (C)

3) Montrer que I(0; 1) est centre de symétrie de (C)

4) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) en I puis préciser la position de (C) par rapport à (T)

5) Déterminer les points A et B de (C) où la tangente est parallèle à la droite d'équation y=x2

6) Montrer que pour tout réel x : x2f(x)x

7) Tracer (C), (T) ainsi que les droites (D) et (D) d'équations y=x2
et y=x

Exercice 4

1) Montrer que 1+xx2+1=0  x=0

2) Soit h : xx2+11+xx2+1

Préciser Dh et déterminer les limites aux bornes de Dh

3) Déterminer les asymptotes de (Ch) (On étudiera la position de (Ch) par rapport à l'asymptote horizontale et l'asymptote oblique)

4) Étudier les variations de h et dresser le tableau de variation de h.

5) Construire (Ch) dans un repère orthonormé (unité : 1cm)

Exercice 5

Soit f la fonction définie par : f(x)=13(x2+x+1x); x0

1) Calculer f(x) et vérifier que pour tout x0, f(x) a même signe que 2x3+x21
 
Pour trouver le signe de f(x), on étudie la fonction g telle que : g(x)=2x3+x21

2) a) Étudier les variations de g

b) En déduire que l'équation g(x)=0 admet une solution et une seule α telle que 0.5<α<1

Quel est le signe de g(x) sur ]; α] ? sur ]α; +[ ?

3) Dresser le tableau de variation de f.

4) Notons h la fonction définie par h(x)=13(x2+x)

a) Étudier les limites de f(x)h(x) en + et .

Qu'en déduit-on pour les courbes (Cf) et (Ch) ?

b) Étudier la position de (Cf) par rapport à (Ch)

5) Tracer (Cf) et (Ch) dans un même repère orthonormal (unité : 3cm)

Exercice 6

On considère la fonction f définie par : f(x)=x2+2x

On note (Cf) la courbe de f et Δ la droite d'équation y=x+1

1) Déterminer Df, puis calculer les limites aux bornes de Df

2) Étudier la dérivabilité de f en -2 puis en 0.

Que peut-on en déduire pour (Cf) ?

3) Calculer f(x) pour x<2 et pour x>0

4) Étudier le signe de f(x) pour x<2 et pour x>0

5) Dresser le tableau de variation de f.

6) Montrer que Δ est une asymptote oblique de (Cf) au voisinage de +

7) Déterminer l'autre asymptote oblique Δ de (Cf)

8) Soit f1 la restriction de f à ]; 2]

Montrer que f1 est bijective de ]; 2] sur un intervalle J à préciser.

9) Préciser f11(x)

10) Étudier la position de (Cf) par rapport à Δ sur [0; +[,

puis celle de (Cf) par rapport à Δ sur ]; 2]

11) Construire (Cf), Δ, Δ

puis (Cf11) courbe de f11 dans un repère (O, i, j)

Étude des fonctions circulaires

Exercice 1

Déterminer les limites des fonctions suivantes aux points x0 indiqués ou en +

1) f:xxsinx(x0=0)et g:xtanxx(x0=0)

2) f:xsinxx+tanx(x0=0)et g:xsin3x2x(x0=0)

3) f:xtan2x5x(x0=0)et g:xsin3xsin5x(x0=0)

4) f:xsin3xtan2x(x0=0)et g:xsinx1cosx(x0=0)

5) f:xsinxtanxx3(x0=0)et g:xsin2xsinxsin2x+sinx(x0=0)

6) f:xtan6xtanx12sinx(x0=π6)et g:xsin3x12cosx(x0=π3)

7) f:x2cos2x1cos3x(x0=π6)et g:xtanxsin2x1(x0=π4)

8) f:xsinxcosxxπ4(x0=π4)et g:xcosx3sinxxπ6(x0=π6)

9) f:x1+cosxx(+)et g:xxsinxx2+1(+)

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la dérivée de la fonction f.

1) f(x)=(1x)23x;2) f(x)=3sinx5cosx

3) f(x)=tanx+x;4) f(x)=2sinx13cosx+1

5) f(x)=cos2x+sin3xtan6x;6) f(x)=sin(2x+π3)

7) f(x)=cosx+xsinxsinxxcosx;8) f(x)=1tan2x1+tan2x

Exercice 3

Étudier les fonctions suivantes et dessiner leurs courbes représentatives dans les intervalles précisés.

1) f(x)=cos2x+12cosx1(sur [0; π])

2) f(x)=2sinx+x(sur [0; π[)

3) f(x)=4cos2xcos3x

4) f(x)=4sinx+1sinx1(sur [0; 2π[)

5) f(x)=tan2x2tanx(sur [0; π[)

6) f(x)=1sinx(sur [0; 2π[)

7) f(x)=1+sinx1cosx intervalle à préciser

8) f(x)=cosx+xsinx [π; π]

Exercice 4

Soit la fonction :
{f(x)=x21six<1f(x)=x2x+2six1

1) Démontrer que f est continue en 1

2) Calculer les limites aux bornes (faites l'étude des branches infinies)

3) Étudier la dérivabilité de f en 1.

4) Déterminer une équation de la demi-tangente à gauche et une équation de la demi-tangente à droite à la courbe (Cf) au point d'abscisse 1.

5) Calculer la dérivée f(x) de la fonction f sur ]; 1[ et sur (1; +[

6) Étudier le sens de variation de f sur ]; 1[ et sur (1; +[ puis dresser le
tableau de variation.

7) Tracer (Cf)

Exercice 5

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=x1+2xx2+1

on désigne par (C) sa courbe dans un repère orthonormé (O, i, j)

1) Étudier la fonction f (limites, dérivée, sens de variation et tableau)

2) Montrer que (D) : y=x1 est une asymptote à la courbe (C)

3) Montrer que I(0; 1) est centre de symétrie de (C)

4) Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (C) en I puis préciser la position de (C) par rapport à (T)

5) Déterminer les points A et B de (C) où la tangente est parallèle à la droite d'équation y=x2

6) Montrer que pour tout réel x : x2f(x)x

7) Tracer (C), (T) ainsi que les droites (D) et (D) d'équations y=x2 et y=x

Exercice 6

1) Montrer que 1+xx2+1=0  x=0

2) Soit h : xx2+11+xx2+1

Préciser Dh et déterminer les limites aux bornes de Dh

3) Déterminer les asymptotes de (Ch)

(On étudiera la position de (Ch) par rapport à l'asymptote horizontale et l'asymptote oblique)
 
4) Étudier les variations de h et dresser le tableau de variation de h.

5) Construire (Ch) dans un repère orthonormé (unité : 1cm)

Exercice 7

Soit f la fonction définie par : f(x)=13(x2+x+1x); x0

1) Calculer f(x) et vérifier que pour tout x0, f(x) a même signe que 2x3+x21

Pour trouver le signe de f(x), on étudie la fonction g telle que : g(x)=2x3+x21

2) a) Étudier les variations de g

b) En déduire que l'équation g(x)=0 admet une solution et une seule α telle que 0.5<α<1

Quel est le signe de g(x) sur ]; α] ? sur ]α; +[ ?

3) Dresser le tableau de variation de f.

4) Notons h la fonction définie par h(x)=13(x2+x)

a) Étudier les limites de f(x)h(x) en + et .

Qu'en déduit-on pour les courbes (Cf) et (Ch) ?

b) Étudier la position de (Cf) par rapport à (Ch)

5) Tracer (Cf) et (Ch) dans un même repère orthonormal (unité : 3cm)

Exercice 8

On considère la fonction f définie par : f(x)=x2+2x

On note (Cf) la courbe de f et Δ la droite d'équation y=x+1

1) Déterminer Df, puis calculer les limites aux bornes de Df.

2) Étudier la dérivabilité de f en -2 puis en 0.

Que peut-on en déduire pour (Cf) ?

3) Calculer f(x) pour x<2 et pour x>0

4) Étudier le signe de f(x) pour x<2 et pour x>0

5) Dresser le tableau de variation de f.

6) Montrer que Δ est une asymptote oblique de (Cf) au voisinage de +.

7) Déterminer l'autre asymptote oblique Δ de (Cf)

8) Soit f1 la restriction de f à ]; 2]
 
Montrer que f1 est bijective de ]; 2] sur un intervalle J à préciser.

9) Préciser f11(x)

10) Étudier la position de (Cf) par rapport à Δ sur [0; +[, puis celle de (Cf) par rapport à Δ sur ]; 2]

11) Construire (Cf), Δ, Δ puis (Cf11) courbe de f11
dans un repère (O, i, j)

Commentaires

Excellent

Intéressant

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