Symétrie orthogonale par rapport à une droite donnée - 6e
Classe:
Sixième
Activité
1) Plie une feuille de papier en deux.
2) A l'aide de la pointe de ton compas, fais un petit trou à travers les deux parties de la feuille.
3) Déplie la feuille. Note et les points déterminés par les deux trous obtenus.
4) Dessine la droite obtenue en passant par la ligne de pliage.
Que représente pour le segment
5) Où se trouve le point si le point est sur la droite
Les points et sont symétriques par rapport à la droite
Solution
1) 2) Plions une feuille de papier en deux puis à l'aide de la pointe de ton compas, faisons un petit trou à travers les deux parties de la feuille.
3) Déplions la feuille puis notons et les points déterminés par les deux trous obtenus.
4) Dessinons la droite obtenue en passant par la ligne de pliage.
Le résultat de l'activité montre que est perpendiculaire au segment
Avec mon compas je vérifie que avec le point de rencontre de et
est la médiatrice du segment
On dit alors que est le symétrique de par rapport à ou est le symétrique de par rapport à
I. Points symétriques par rapport à une droite
I.1. Définition
Soit une droite donnée du plan et un point de ce plan.
On dit que est le symétrique de par rapport à la droite lorsque la droite est la médiatrice de
I.2. Vocabulaire
On peut dire que :
Le point est le symétrique de par rapport à la droite
Les points et sont symétriques par rapport à la droite
I.3. Notation
On note :
I.4 Construction à la règle et à l'équerre
Je trace la droite puis je place le point
Je trace la perpendiculaire à passant par Cette droite coupe en
Je place le point tel que soit le milieu de
On dit que le point est le symétrique de par rapport à la droite
On note :
I.5. Construction à la règle et au compas
Je trace la droite et je place le point
Avec un même écartement du compas, je place deux points et équidistants par rapport à sur la droite
Sans changer l'écartement du compas, je trace à partir de et deux arcs de cercle de l'autre coté de la droite.
Ces deux arcs se recoupent en un point ; c'est le point symétrique de par rapport à
On note :
Remarque
Tout point appartenant à la droite est son propre symétrique.
On note :
II. Symétrique d'une figure simple
II.1. Symétrique d'un segment
Trace un segment et une droite hors de
Construire les points et symétriques respectifs de et par rapport à
Quelle est le symétrique du segment
Le symétrique d'un segment est le segment
D'une manière générale, le symétrique d'un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur.
II.2. Symétrique d'une demi-droite
Trace une droite
Trace une demi-droite
Construis les points et symétriques respectifs de et par rapport à
Le symétrique d'une demi-droite est la demi-droite
D'une manière générale, le symétrique d'une demi-droite par rapport à une droite est une demi-droite.
II.3. Symétrique d'une droite
Trace une droite
Trace une droite
Construis le symétrique de la droite par rapport à la droite
Soient et deux points de et soient et leurs symétriques respectifs par rapport à
Alors, passe par et On a :
D'une manière générale, le symétrique d'une droite par rapport à une droite est une droite.
II.4. Symétrique d'un cercle
Soit un cercle de centre et de rayon
Trace une droite et marque un point appartenant à
Construis les points et symétriques respectifs de et par rapport à la droite
Quelle est le symétrique du cercle
D'où,
Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
II.5. Symétrique d'un angle
On donne un angle
Trace une droite
Construis les points et symétriques respectifs de et par rapport à la droite
Quelle est le symétrique de l'angle
De plus,
Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
II.6. Symétrique d'un triangle
Construis un triangle
Trace une droite
Construis les points et symétriques respectifs de et par rapport à la droite
Quelle est le symétrique du triangle par rapport à la droite
Le symétrique d'un triangle est un triangle de même nature.
II.7. Symétriques de droites parallèles
Soit et deux droites parallèles.
Trace une
Construis et symétriques respectifs des droites et par rapport à la droite
Comment sont les droites et
Les symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles.
II.8. Symétriques de droites perpendiculaires
et sont deux droites perpendiculaires.
Soit une droite donnée.
Construis et symétriques respectifs des droites et par rapport à la droite
Comment sont les droites et
Les symétriques de deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires.
III. Axes de symétrie
Une droite est un axe de symétrie d'une figure, si les deux parties de la figure se superposent par un pliage le long de la droite
III.1. Axe de symétrie d'un segment
Trace un segment
Trace la droite médiatrice du segment
est un axe de symétrie de
D'une manière générale l'axe de symétrie d'un segment est la médiatrice de ce segment.
III.2. Axe de symétrie d'un cercle
Dans un cercle, tout diamètre est axe de symétrie de ce cercle
III.3. Axe de symétrie d'un triangle isocèle
Soit un triangle isocèle en
Construis la médiane issue de
Cette médiane est l'axe de symétrie du triangle isocèle.
Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet où le triangle est isocèle constitue l'axe de symétrie de ce triangle.
III.4. Axe de symétrie d'un triangle équilatéral
Soit un triangle équilatéral.
Trace toutes les médianes de ce triangle.
Pour un triangle équilatéral, chaque médiane est axe de symétrie.
Donc, dans un triangle équilatéral on distingue trois axes de symétrie.
IV. Propriétés
Conservation des distances : Pour un segment de longueur donnée, son image par symétrie orthogonale est un segment de même longueur.
Milieu d'un segment : L'image du milieu d'un segment par symétrie orthogonale est le milieu de l'image de ce segment.
Points alignés : Les images de points alignés par symétrie orthogonale sont encore des points alignés, dans le même ordre.
Droites perpendiculaires : Les images de droites perpendiculaires par symétrie orthogonale sont également des droites perpendiculaires.
Commentaires
Mame saye kane (non vérifié)
sam, 06/11/2022 - 21:30
Permalien
Pour être plus efficace et plus précis et plus fonctionnel, fort
Mame saye kane (non vérifié)
sam, 06/11/2022 - 21:30
Permalien
Pour être plus efficace et plus précis et plus fonctionnel, fort
Mame saye kane (non vérifié)
sam, 06/11/2022 - 21:30
Permalien
Pour être plus efficace et plus précis et plus fonctionnel, fort
Ajouter un commentaire